2. Максимальные инварианты

Если задача проверки гипотез остается инвариантной относительно некоторой группы преобразований, то применение принципа инвариантности приводит к рассмотрению инвариантных критериев. Чтобы выбрать среди них наилучший, удобно сначала охарактеризовать совокупность всех инвариантных критериев.

Две точки будут рассматриваться как эквивалентные относительно группы

если существует преобразование для которого Определенное так отношение действительно является отношением эквивалентности, поскольку есть группа, и поэтому множества эквивалентных точек, траекторий образуют разбиение выборочного пространства (см. Дополнение, раздел 1). Точка х пробегает траекторию, когда к ней применяются все преобразования из это означает, что траектория, содержащая точку, состоит из всех точек Из определения инвариантности следует, что каждая функция инвариантна тогда и только тогда, когда она постоянна на каждой траектории.

Функция называется максимальным инвариантом, если она инвариантна и если выполняется условие:

т. е. если она постоянна на каждой траектории и на различных траекториях принимает различные значения. Все максимальные инварианты эквивалентны в том смысле, что множества точек, где они постоянны, совпадают.

Теорема 1. Пусть максимальный инвариант относительно группы Тогда необходимое и достаточное условие для инвариантности функции состоит в том, чтобы зависело от х только через т. е. чтобы существовала функция такая, что для всех х

Доказательство. Если для всех тогда т. е. инвариантна. С другой стороны, если инвариантна и если тогда для некоторой и поэтому

Пример 1. (I) Пусть и пусть группа сдвигов

Тогда множество разностей инвариантно относительно Чтобы показать, что функция у в то же время есть и максимальный инвариант, предположим, что для

Полагая видим, что с для всех что и нужно было показать. Функция у является, конечно, только одним из примеров представления максимального инварианта. В качестве других можно указать на

функцию . В частном случае, когда не существует нетривиальных инвариантных функций. Все пространство состоит из одной траектории, так что любые две точки преобразованием из могут быть переведены одна в другую. В таком случае группа преобразований называется транзитивной. Инвариантными функциями могут быть только константы

(II) Если есть группа преобразований

то специальную роль играет начало координат. Однако в статистических приложениях множество точек, отличных от начала координат, имеет меру единица, поэтому можно ограничиться рассмотрением только этой части выборочного пространства и тогда множество отношений будет максимальным инвариантом. Без этого ограничения две точки эквивалентны относительно максимального инвариантного разбиения, если среди их координат имеется одно и то же число нулевых координат (при условии, что таковые вообще имеются), если они стоят на одном и том же месте и если для каждых двух ненулевых координат х, отношения и равны.

(III) Пусть и пусть группа всех ортогональных преобразований -мерного пространства. Тогда функция является максимальным инвариантом, т. е. две точки могут быть переведены одна в другую ортогональным преобразованием в том и только том случае, когда они находятся на одинаковых расстояниях от начала координат. Доказательство этого получается немедленно, если ограничиться рассмотрением плоскости, содержащей точки и начало координат.

Пример 2. Пусть множество из перестановок координат х. Тогда множество упорядоченных координат (порядковых статистик) является максимальным инвариантом. Перестановка координат не изменяет, очевидно, множества значений координат и поэтому не изменяет величин С другой стороны, две точки с одними и теми же значениями порядковых статистик могут быть получены одна из другой перестановкой координат.

Пример 3. Пусть совокупность преобразований таких, что непрерывна и строго возрастает, и предположим, что мы рассматриваем только точки, у которых все координаты различны. Если координаты рассматривать как точек на действительной прямой, то указанное преобразование сохраняет их порядок. Обратно, если точки с одним и тем же порядком, скажем то существует преобразование удовлетворяющее сформулированным условиям и такое, что для всех Например, такую функцию можно определить, положив для для и сделав ее линейной между значениями Формальным выражением для максимального инварианта в этом случае служит множество рангов вектора Здесь ранг величины определяется посредством соотношения

так что есть число координат . В частности, если есть самая наименьшая из координат, если вторая наименьшая координата, и

Часто оказывается удобным получать максимальные инварианты в несколько этапов, на каждом шагу находя их для подгрупп группы Чтобы проиллюстрировать этот процесс и трудности, которые могут встретиться в его применении, положим и допустим, что все координаты различны и группа задается преобразованием

Применяя сначала подгруппу сдвигов найдем, что максимальный инвариант есть функция Другая подгруппа состоит в умножении на скалярный множитель Это преобразование индуцирует соответствующее умножение на множитель для и максимальным инвариантом относительно такого преобразования пространства является функция Откуда, в терминах получим, что функции являются максимальным инвариантом относительно группы

Предположим сейчас, что этот процесс производится в другом порядке. Применяя сначала подгруппу получаем максимальный инвариант Однако преобразования не индуцируют преобразования в -пространстве, поскольку не является функцией от

Вообще, пусть группа преобразований порождена двумя подгруппами в том смысле, что она является наименьшей группой, содержащей и Тогда состоит из множества произведений Следующая теорема показывает, что всякий раз, когда процесс нахождения максимальных инвариантов в несколько этапов вообще можно провести, он всегда приводит к максимальным инвариантам относительно группы

Теорема 2. Пусть группа преобразований и пусть подгруппы, порождающие Предположим, что максимальный инвариант относительно группы и для каждого выполняется условие

Если есть максимальный инвариант относительно группы состоящей из элементов таких, что когда то является максимальным инвариантом относительно группы

Доказательство. Чтобы показать, что функция инвариантна, возьмем Тогда

и по индукции последнее выражение можно свести к Теперь, чтобы показать, что функция в действительности является максимальным инвариантом, предположим, что Полагая получим и поскольку максимальный инвариант относительно то существует такое, что Тогда в силу того, что функция максимальный инвариант относительно существует такое, что Но так как есть элемент то это и завершает доказательство.