4. Оптимальные процедуры

В конце первого раздела было сказано, что цель статистической теории — отыскание такой решающей функции которая минимизирует функцию риска

К сожалению, минимизирующее зависит, вообще говоря, от неизвестного значения 0. Возьмем, например, некоторое специальное решение и рассмотрим решающую процедуру в соответствии с которой решение принимается независимо от исхода эксперимента. Предположим, что является

правильным решением для некоторого Тогда минимизирует риск для поскольку но, вероятно, ценой значительного риска для других значений 0.

При отсутствии решающей функции, которая минимизирует риск для всех значений 0, проблема остается математически неопределенной, так как неясно, что подразумевается под наилучшей процедурой. Хотя представляется невозможным дать определение оптимальности, которое было бы подходящим во всех случаях, приводимые ниже два подхода часто оказываются удовлетворительными.

Отсутствие оптимального решающего правила связано с тем, что процедура уделяет слишком большое внимание отдельному значению параметра, пренебрегая многими другими.

Рис. 1.

Это приводит к мысли ограничиться решающими процедурами, в какой-то степени беспристрастными; возможно, что внутри такого класса найдутся процедуры с равномерно наименьшим риском. Два ограничения подобного рода — инвариантность и несмещенность, будут обсуждены в следующем разделе.

Вместо сужения класса процедур возможен и другой подход к проблеме. Рассмотрим функции риска, соответствующие двум различным решающим правилам и . Если при всех 0, то ясно, что предпочтительнее , так как приводит к меньшему риску, каково бы ни было истинное значение 0. Однако положение неясно, когда графики этих функций пересекаются, как на рис. 1. Необходим принцип, который в подобных случаях устанавливает, какая из двух функций риска предпочтительнее, т. е. который упорядочивает множество функций риска. Оптимальной будет та процедура, функция риска которой является наилучшей в смысле этого порядка.

Некоторые критерии, которые были предложены для упорядочения функций риска, будут рассмотрены в разделе 6.

Слабым пунктом теории оптимальных процедур, как она намечена выше, является ее зависимость от не относящихся к

существу дела обстоятельств: ограничения класса процедур, принципа упорядочения и от сведений о функции потерь и распределениях наблюдаемых случайных величин. Эти сведения в приложениях часто бывают или недоступны, или ненадежны. Подобные трудности могут вызвать сомнение в ценности оптимальной теории, покоящейся на столь шатком основании. Но они в принципе не отличаются от трудностей, возникающих в любых применениях математики к действительности. Математические формулировки всегда включают упрощение и аппроксимацию; поэтому на решения, полученные с их использованием, нельзя полагаться без дополнительной проверки. В нашем случае проверка состоит из всеобъемлющей оценки действия процедуры, даваемой теорией, и в исследовании ее чувствительности к отклонениям от предположений, при которых она была рекомендована.

Отмеченные трудности могут быть частично преодолены рассмотрением одной и той же проблемы в разных постановках. Если различные критерии оптимальности приводят к одному и тому же решению, то оно будет наилучшим с нескольких точек зрения, и, следовательно, правдоподобно, что оно будет удовлетворительным вообще. В противоположном случае этот метод указывает слабые и сильные стороны различных решений и тем самым может привести к некоторой компромиссной процедуре. Аналогично, чувствительность процедуры к отклонениям от предположений, при которых она была выведена, может быть испытана, например, отбрасыванием одного из предположений и сравнением процедуры, полученной в более широкой модели, с первоначальной.