7. Двусторонние гипотезы

РНМ критерии существуют не только для односторонних, но также и для некоторых двусторонних гипотез типа

Проблемы подобного рода могут возникать, например, если мы желаем определить, удовлетворяются ли заданные требования относительно пропорции ингредиента в каком-либо медикаменте. Другой пример — определение того, является ли измерительный инструмент, скажем линейка, правильно размеченным. Мы выдвигаем гипотезу, что не лежит в заданных пределах. Здесь ошибка первого рода состоит в объявлении, что удовлетворительно, в то время, как оно таковым не является. На практике решение принять сопровождается обычно указанием, считать ли или Последствия гипотезы Я бывают, обычно, весьма весомы, и поэтому принятие в любом случае должна сопровождаться более тщательным исследованием. Так, если при испытании измерительного прибора перед его выпуском обнаруживают, что он не сбалансирован надлежащим образом, то потребуется дополнительная работа по доведению этого прибора до необходимого стандарта. В научном исследовании неравенства могут противоречить некоторым высказанным ранее предположениям, и может потребоваться более сложная теория или дополнительные эксперименты. В подобных ситуациях допустимы только две основные возможности: или действовать так, как если бы или производить дальнейшее исследование. Сведение задачи к проверке гипотезы Н

может оказаться весьма подходящим. В настоящем разделе мы докажем для экспоненциальных семейств существование РНМ критерия для .

Теорема 6. (I) В однопараметрическом экспоненциальном семействе существует РНМ критерий гипотезы или в при альтернативе Этот критерий определяется равенствами

где и Y определяются из условий

(II) Этот критерий минимизирует при условии (25) при всех

(III) При функция мощности этого критерия имеет максимум в точке лежащей между и строго убывает при удалении от вправо или влево. При этом исключается тот случай, когда существуют два числа для которых

Доказательство. (I) Мы можем ограничиться случаем, когда достаточная статистика, распределение которой в соответствии с леммой 7 главы 2 равно

где предполагается строго возрастающей. Пусть Рассмотрим сначала проблему максимизации при условии (25), если в нем Обозначим совокупность всех точек получающуюся, когда пробегает класс всех критических функций. Тогда точка будет внутренней точкой Это вытекает из следующего соображения. По следствию содержит точки и а потому содержит все точки По теореме 5 (утверждение (IV)) существуют константы и критерий такие, что удовлетворяют (25) и что когда

т. е. когда

и , когда левая часть последнего неравенства больше единицы.

Здесь оба числа а не могут одновременно быть отрицательными, так как тогда бы критерий всегда отклонял гипотезу. Если одно другое то левая часть строго монотонна, и критерий имеет односторонний характер, рассмотренный в следствии 2. Поэтому его функция мощности строго монотонна и не может удовлетворять (25). Следовательно, оба числа а положительны и критерий удовлетворяет (24). По теореме он максимизирует и при более слабых ограничениях Для завершения доказательства того, что этот критерий проверки необходимо установить, что он удовлетворяет неравенствам при и при . Это выводится из (II) посредством сравнения с критерием Пусть Для минимизации при условии (25) используем теорему 5 (IV). Нетрудно видеть, что интересующему нас критерию соответствует критическая область вида

Таким образом, он совпадает с критерием, найденным в (I). По теореме 5 (IV) первое и третье из условий (24) являются необходимыми и потому в предположении оптимальный критерий единствен.

(III) Не ограничивая общности, допустим, что Из (I) и непрерывности следует, что или удовлетворяет (III), или существуют три точки для которых Общее значение с этих величин лежит между 0 и 1, так как предположение (или 1) влекло бы (или 1) -почти всюду. Но эта возможность исключается равенствами (25). Как мы видели при доказательстве пункта (I), рассматриваемый критерий максимизирует при условиях каково бы ни было Возможность равенства с исключается следствием 4 во всех случаях, кроме того, когда -почти всюду. По сделанным в формулировке пункта (III) предположениям, из последнего равенства вытекало бы существование трех точек для которых

Но это невозможно, так как функция выпукла.

На практике, чтобы определить С, и уначинают с некоторых пробных значений затем отыскивают такие что и вычисляют Последнее, как правило, оказывается или слишком большим, или слишком маленьким.

При выборе следующих пробных значений полезно заметить следующее: если то истинная область приемки лежит справа от выбранной, т. е. или , или и тогда Если то справедливо обратное утверждение. Сказанное вытекает из леммы 2, примененной к Любой критерий удовлетворяющий соотношениям (24) и должен располагаться или справа, или слева от критерия удовлетворяющего (24) и (25). В соответствии с тем, находится ли слева или справа от функция является монотонно возрастающей или монотонно убывающей, и по лемме а или

Хотя в экспоненциальном семействе существует РНМ критерий проверки гипотезы: или критерий для двойственной гипотезы или для гипотезы может не существовать (см. задачу 26). Но, как будет показано в главе 4, существуют РНМ несмещенные критерии для этих гипотез.