3. Наиболее мощные инвариантные критерии

Класс всех инвариантных функций может быть получен как совокупность функций от максимального инварианта Поэтому, в частности, класс всех инвариантных критериев совпадает со множеством критериев, зависящих только от максимальной инвариантной статистики Это замечание, будучи справедливым во всех обычных ситуациях, требует некоторых ограничений на класс измеримых множеств в -пространстве, которые будут обсуждены в конце настоящего раздела; в приводимых ниже примерах они выполняются.

Пример 4. Пусть Предположим, что плотность случайной величины X при гипотезе равна где изменяется от до Задача проверки гипотезы при альтернативе инвариантна относительно группы преобразований

которая в параметрическом пространстве индуцирует преобразования

Согласно примеру 1 максимальным инвариантом относительно группы является функция Распределение не зависит от и при гипотезе имеет плотность

Если рассматривать случайную величину У, то проблема проверки гипотезы при альтернативе превращается в задачу проверки простой гипотезы при простой альтернативе. Наиболее мощный критерий тогда не зависит от

и поэтому является РНМ среди всех инвариантных критериев Согласно лемме Неймана — Пирсона гипотеза отвергается, если

Пример 5. Если выборка из нормального распределения то гипотеза остается инвариантной при преобразовании . В терминах достаточных статистик это преобразование переходит в преобразование и максимальным инвариантом является Поэтому класс инвариантных критериев есть класс критериев, зависящих от Как следует из теоремы 2 главы 3, существует РНМ инвариантный критерий, отклоняющий гипотезу когда Этот критерий совпадает с РНМ несмещенным критерием (9) из главы 5.

Пример 6. Если выборки из двух нормальных распределений то множество достаточных статистик состоит из Задача проверки гипотезы остается инвариантной при преобразованиях а также относительно умножения на одно и то же число всех четырех величин. Максимальным инвариантом относительно первой группы преобразований является функция . В пространстве значений этой функции группа умножений на числа индуцирует преобразования относительно которых максимальным инвариантом будет отношение Статистика поделенная на имеет распределение с плотностью, задаваемой формулой (21) главы 5, так что плотность распределения вероятностей величины равна

Это семейство плотностей, зависящее от параметра А, является семейством с монотонным отношением правдоподобия; таким образом, среди всех критериев для проверки гипотезы , основанных на статистике а следовательно, и среди всех инвариантных критериев, существует РНМ с критической областью Этот критерий совпадает с РНМ несмещенным критерием (20) главы 5.

Пример 7. В методе попарных сравнений, применяемом для выяснения эффективности какого-либо способа обработки, экспериментальный материал состоит из пар субъектов. Из каждой пары случайным образом выделяется для обработки один субъект, тогда как второй служит для контроля. Пусть равно 1 или в зависимости от того, говорит ли результат эксперимента с парой в пользу субъекта, подвергшегося обработке или в пользу контрольного; пусть Рассмотрим гипотезу об отсутствии эффекта обработки, т. е. о том, что при альтернативе, состоящей в том, что для всех

Эта задача остается инвариантной относительно всех перестановок величин и максимальным инвариантом относительно этой группы является функция, равная суммарному числу успехов Распределение X задается формулой

где и где суммирование распространено по всем наборам индексов Наиболее мощный инвариантный критерий при альтернативной гипотезе отвергает Н, когда

Чтобы показать, что есть возрастающая функция от заметим, что и что

и

Здесь в обоих равенствах второе суммирование в левых частях распространено по всем индексам из которых ни один не равен а суммирование в правых частях производится соответственно по всем без всяких ограничений. Тогда

что и надо было показать. Поэтому независимо от выбранной альтернативы критерий отвергает гипотезу когда следовательно, является РНМ инвариантным критерием.

Если сравнению приписать знак плюс при равном 1, и минус при равном , то, как легко видеть, этот критерий превращается в критерий знаков (см. пример 8 главы 3 и раздел 7 главы 4).

Достаточные статистики упрощают задачу посредством редукции выборочного пространства, причем этот процесс не изменяет параметрического пространства. С другой стороны, инвариантность путем редуцирования данных к максимально инвариантной статистике (распределение которой может зависеть только от некоторой функции от параметра) обычно сокращает также и параметрическое пространство. Точные утверждения содержатся в следующей теореме.

Теорема 3. Если функция инвариантна относительно группы преобразований и если является максимальным инвариантом относительно индуцированной группы то распределение зависит только от

Доказательство. Пусть Тогда следовательно,

Этот результат можно перефразировать, сказав, что принцип инвариантности идентифицирует все параметрические точки, эквивалентные относительно преобразований

В приложениях, например в примерах 5 и 6, максимальные инварианты относительно часто оказываются действительными функциями, а семейство вероятностных плотностей величины имеет монотонное отношение правдоподобия. Тогда при проверке гипотезы среди всех критериев, зависящих только от существует который, следовательно, является РНМ инвариантным критерием. При этом гипотеза отвергается, если где

Рассмотрим теперь эту проблему как задачу с двумя решениями соответствующими принятию или отклонению гипотезы , и с функцией потерь Предположим, что зависит только от параметра скажем, пусть и пусть

В таком случае, из теоремы 3 главы 3 следует, что семейству критических областей при изменении а от до 1 соответствует семейство решающих процедур полное относительно класса процедур, зависящих только от т. е. полное семейство инвариантных процедур. При этом, как и раньше, выбор частных значений уровня значимости а можно рассматривать как удобный способ выделения критериев из этого семейства.

В начале данного раздела было установлено, что класс всех инвариантных критериев совпадает с классом критериев, основанных на статистике являющейся максимальным инвариантом. Однако указанием некоторой функции статистика полностью не определяется, поскольку требуется также указать класс измеримых множеств. Если в рассматриваемом случае есть класс всех множеств В, для которых

то класс всех инвариантных критериев совпадает с классом критериев, основанных на статистике Действительно, пусть -измерима и С — борелевское множество на числовой прямой. Тогда следовательно, так что -измерима и является критерием, основанным на статистике

В большинстве приложений является измеримой функцией со значениями в евклидовом пространстве. Поэтому удобно в качестве системы множеств взять здесь класс всех борелевских множеств. Тогда если произвольная измеримая функция, зависящая только от то неясно, будет ли необходимо -измеримой. Факт измеримости можно установить, если предположить, что также евклидово пространство, класс борелевских множеств и что область борелевское множество. Мы сейчас установим этот факт при одном дополнительном предположении (которое в применениях обычно очевидным образом выполняется и которое поэтому в дальнейшем не будет проверяться в каждом отдельном случае), что существует измеримая по Борелю векторная функция такая, что отображает пространство в борелевское подмножество пространства что это отображение взаимно однозначно и что обратное отображение также является измеримым по Борелю. Тогда для каждой измеримой функции от х существует измеримая функция от такая, что Если зависит только от то функция зависит только от т. е. где есть измеримая функция от Так, в примере 1 (I), где в качестве функции можно взять