3. Максиминные критерии и инвариантность

Когда проблема проверки при альтернативе остается инвариантной относительно преобразований некоторой группы, представляется разумным ожидать, что существует инвариантная пара наименее благоприятных распределений (или, по меньшей мере, последовательности распределений, которые в пределе, в некотором смысле, являются наименее благоприятными и инвариантными) и что, вместе с тем, существует инвариантный максиминный критерий. Это приводит к возможности обойти трудности подхода, намеченного в предыдущих параграфах. Если бы мы смогли доказать, что для инвариантной проблемы всегда существует инвариантный критерий, который максимизирует минимум мощности на то мы были бы вправе ограничиться только инвариантными критериями. В частности, в этом случае РНМ несмещенный критерий автоматически обладал бы желательным максиминным свойством. Эти догадки оказываются правильными в важном классе задач, хотя они, к сожалению, не переносятся на общий случай. Чтобы найти соответствующие условия, удобно сначала разделить статистический и теоретико-групповой аспекты проблемы посредством следующей леммы.

Лемма 2. Пусть доминированное семейство распределений на и пусть группа преобразований на такая, что индуцированная группа оставляет инвариантными подмножества и пространства Допустим, что для любой критической функции существует (почти) инвариантная критическая функция для которой

при всех Тогда, если существует критерий уровня а, максимизирующий то существует и (почти) инвариантный критерий с этим свойством.

Доказательство. Пусть и пусть (почти) инвариантный критерий, такой, что (10) выполняется с

Тогда

и

что и требовалось доказать.

Чтобы установить условия, при которых существует инвариантный или почти инвариантный критерий удовлетворяющий (10), рассмотрим сначала простейший случай конечной группы Пусть Тогда, если определить равенством

то ясно, что будет критической функцией, и притом инвариантной относительно Она также удовлетворяет (10), так как и является средним нескольких величин, минимальная и максимальная из которых совпадают соответственно с первым и последним членами в (10).

Конечный случай иллюстрируется примером 3. В нем проблема остается инвариантной относительно перестановок переменных Лемма 2 применима и показывает, что существует инвариантный критерий, максимизирующий Поэтому, в частности, РНМ инвариантный критерий, полученный в примере 7 главы 6, обладает требуемым максиминным свойством и, следовательно, является решением проблемы.

Определение (11) приводит к мысли о возможности и в других случаях получить усреднением значений по отношению к надлежаще выбранному распределению вероятностей на группе Посмотрим, каким условиям должно было бы удовлетворять подобное распределение. Пусть -поле подмножеств распределение вероятностей на Отвлекаясь на время от проблем измеримости, определим соотношением

Тогда и (10) имеет место, как можно заключить из теоремы Фубини (теорема 3 главы 2), применяя ее к интегралу от по распределению Для любого

где и где мера, определенная формулой

т. е. мера, в которую переводится трансформацией Таким образом, будет обладать желаемой инвариантностью, всех если правоинвариантна, т. е. если

Для справедливости приведенных выше рассуждений нужны следующие предположения измеримости:

(I) При любом множество пар является -измеримым (этим обеспечивается измеримость функции определяемой по

(II) при любых множество принадлежит

Пример 5. Пусть конечная группа с элементами класс всех подмножеств вероятностная мера, приписывающая вероятность каждому из элементов. В этом случае (13) выполняется и определение (12) сводится к

Пример 6. Рассмотрим группу ортогональных -матриц и определим групповое произведение как обычное произведение матриц. Каждую матрицу можно рассматривать как точку в -мерном евклидовом пространстве, координаты которой равны элементам матрицы. Тогда группа порождает некоторое множество в этом пространстве. В качестве -поля мы возьмем борелевские подмножества Чтобы доказать существование на правоинвариантной вероятностной меры, построим случайную ортогональную матрицу, распределение вероятностей которой удовлетворяет (13) и тем самым является искомой мерой. Свяжем с каждой невырожденной матрицей ортогональную матрицу получаемую применением к векторам-строкам матрицы х следующего процесса ортогонализации Грама — Шмидта. Пусть единичный вектор в направлении единичный вектор в плоскости, натянутой на и ортогональный к и образующий острый угол с Пусть матрица, строка которой равна

Допустим теперь, что случайные величины независимы и распределены по закону Обозначим X случайную матрицу и положим Покажем, что распределение случайной ортогональной матрицы удовлетворяет (13). С этой целью рассмотрим любую фиксированную ортогональную матрицу и любое фиксированное множество Тогда и из определения видно, что

Так как элементов матрицы имеют то же самое совместное распределение, что и элементы матрицы X, то и матрицы имеют одно и то же распределение, что и требовалось доказать.

Примеры 5 и 6 достаточны для тех применений, которые будут исследованы здесь. Эти примеры являются простыми

частиыми случаями по отношению к общим условиям существования инвариантных вероятностных мер, даваемых теорией меры Хаара.