6. Несмещенность и инвариантность

Принципы несмещенности и инвариантности дополняют друг друга в том отношении, что один дает удачные результаты там, где применение другого не приносит успеха. Так, например, для сравнения двух биномиальных или пуассоновских распределений имеется РНМ несмещенный критерий, тогда как соображения инвариантности здесь неприменимы. РНМ несмещенный критерий существует также при проверке гипотезы при альтернативе а для нормально распределенных наблюдений, тогда как применение принципа инвариантности не дает здесь значительного продвижения. И обратно, существуют РНМ инвариантные критерии для проверки гипотез о специальных значениях одного или нескольких параметров (что будет рассмотрено в гл. 7), тогда как РНМ несмещенных критериев не существует. Имеются также гипотезы (как, например, односторонняя гипотеза для одномерного нормального распределения или гипотеза для двумерного (задача 11) с где РНМ инвариантный критерий существует, тогда как показать существование РНМ несмещенного критерия методами главы 5 не удается, и вопрос до сих пор остается открытым.

С другой стороны, в некоторых задачах с одинаковым успехом могут применяться оба принципа. В число таких проблем входят задачи проверки гипотез Стьюдента относительно среднего нормального распределения, и соответствующие задачи проверки гипотез для случая двух выборок в предположении равенства дисперсий в обоих выборках. Другим примером может служить задача проверки гипотез относительно дисперсии одного или двух нормальных распределений. Еще один такой пример дает проверка гипотезы о независимости в двумерном нормальном распределении (задача 11). Во всех перечисленных примерах обе оптимальные процедуры совпадают. Мы сейчас покажем, что это совпадение не случайно и имеет место в тех случаях, когда РНМ инвариантный критерий является РНМ также и среди всех почти инвариантных критериев и когда РНМ несмещенный критерий единствен. В этом смысле принципы несмещенности и почти инвариантности согласованы.

Теорема 6. Пусть для данной задачи проверки гипотезы существует единственный (с точностью до множеств меры ) РНМ несмещенный критерий кроме того, существует РНМ критерий, почти инвариантный относительно некоторой группы преобразований Тогда последний также является единственным (с точностью до множеств меры ), и оба критерия совпадают почти всюду.

Доказательство. Если есть класс несмещенных критериев уровня тогда и только тогда, когда Обозначая функцию мощности критерия через мы тем самым получим

Следовательно, имеют одну и ту же функцию мощности, и в силу предположенной единственности критерий почти инвариантен. Поэтому, если есть РНМ почти инвариантный критерий, то для всех . С другой стороны, несмещенный критерий, как это следует из сравнения его с инвариантным критерием поэтому для всех . Так как критерии имеют одну и ту же функцию мощности, то они совпадают почти всюду в силу единственности что и требовалось доказать.

Эта теорема дает возможность сделать определенные выводы для некоторых критериев, рассмотренных в главе 5. В теореме 3 главы 4 существование РНМ несмещенных критериев было установлено для одно- и двусторонних гипотез относительно значений параметра в экспоненциальном семействе распределений (10) главы 4. Для этого семейства статистики достаточны и полны и поэтому в терминах этих статистик РНМ несмещенный критерий единствен. Удобные явные выражения для некоторых из критериев, рассмотренных в главе 5, можно было бы получить, заметив, что в тех случаях, когда РНМ почти инвариантный критерий существует, он, согласно теореме 6, необходимо будет также и РНМ несмещенным. Этим доказывается, например, что критерии, построенные в примерах 5 и 6 настоящей главы, являются РНМ несмещенными.

Принципы несмещенности и инвариантности могут быть применены дополнительно один к другому в случаях, где каждый из них в отдельности не приводит к полному решению, а их совместное применение приводит к нему. В качестве примера

рассмотрим выборку и гипотезу при двусторонней альтернативе: Здесь достаточность и инвариантность сводят задачу к рассмотрению статистики Эта статистика имеет нецентральное -распределение с параметром нецентральности а степенью свободы. Можно показать, что это семейство, зависящее от параметра относится к строгому типу Пойа и, следовательно, в частности, к типу. Как и в задаче 25 главы 3, можно показать, что среди всех критериев, основанных на статистике существует РНМ несмещенный критерий с областью принятия вида где определяются из условия

В терминах исходных наблюдений построенный критерий будет РНМ среди всех несмещенных и инвариантных критериев, но вопрос о том, будет ли этот критерий РНМ несмещенным без ограничений инвариантности, остается открытым.

Другим случаем, в котором совместное применение инвариантности и несмещенности дает, по-видимому, многообещающий подход, является так называемая проблема Беренса — Фишера. Пусть выборки из двух нормальных распределений соответственно. Проблема состоит в том, чтобы проверить гипотезу без предположения равенства дисперсий Множество достаточных статистик для есть в этом случае ( где Добавление одной и той же постоянной к редуцирует задачу к статистикам а умножение всех переменных на одну и ту же положительную константу приводит к рассмотрению статистик

Можно ожидать, что каждая разумная критическая область представляется в виде

с определенным образом подобранной функцией Если от этого критерия потребовать так же несмещенности, то вероятность множества (15) должна быть равна а, когда для всех значений Но, существует ли функция с таким свойством, до сих пор не выяснено. Однако имеется приближенное решение, которое протабулировано и которое дает для практических целей удовлетворительные результаты.

Каждый РНМ несмещенный критерий обладает важным свойством допустимости (задача 1 главы 4), так что в этом случае не может существовать другого критерия равномерно не менее мощного, а для некоторых альтернатив даже более мощного, чем заданный. Аналогичное свойство для РНМ инвариантных критериев может и не выполняться, что показывает следующий пример.

Пример 10. Пусть случайные векторы распределены нормально с нулевыми средними и матрицами ковариаций

Предположим, что эти матрицы не вырождены, т. е. что в других же отношениях остаются неизвестными. Задача различения гипотез инвариантна относительно группы всех невырожденных преобразований

Поскольку вероятность того, что равна нулю, матрицы второго порядка с вероятностью единица не вырождены, и поэтому выборочное пространство можно считать состоящим только из невырожденных матриц. Для любых двух выборочных точек существует невырожденное линейное преобразование А такое, что Поэтому относительно не существует инвариантных критериев, за исключением

тривиального критерия а уровня а, мощность которого С другой стороны, независимы и распределены нормально и Основываясь на этих наблюдениях, можно построить РНМ критерий для различения гипотез с критической областью дача 33 главы 3). Функция мощности этого критерия строго возрастает по А и, следовательно, больше а для всех

Тем самым свойство допустимости оптимальных инвариантных критериев заведомо не выполняется автоматически и его надо устанавливать в каждом отдельном случае. Пусть функция максимальный инвариант относительно группы преобразований Предположим, для определенности, что проверке подлежит гипотеза Чтобы проверить допустимость критерия с уровнем значимости а, достаточно показать для некоторого подмножества альтернатив что для любого критерия уровня а из условия для всех вытекает равенство для всех . Типичные доказательства допустимости можно разделить на три категории, соответственно тому, как они устанавливают указанное свойство:

(а) локально, т. е. для всех , удовлетворяющих условию для некоторого для всех достаточно далеких альтернатив, т. е. для всех альтернатив, удовлетворяющих условию для некоторого для всех альтернатив с любым заданным расстоянием т. е. для альтернатив, удовлетворяющих условию Доказательства типа или не совсем удовлетворительны, поскольку они не исключают возможности существования критерия с мощностью, лучшей для всех практически важных альтернатив и худшей только тогда, когда оба критерия имеют мощность, очень близкую к 1, или когда альтернативы так близки к гипотезам, что значения их функций мощности становятся несущественными.

В качестве примера рассмотрим РНМ несмещенный критерий (из теоремы 3 главы 4) для проверки гипотезы Н: при альтернативе и при наличии мешающих параметров Чтобы показать, что этот критерий локально допустим, предположим, что некоторый другой критерий для имеющий уровень значимости а. Если для некоторого О, тогда по непрерывности найдется такое что для всех . Отсюда следует, что локально мощность критерия не больше, чем мощность критерия С другой стороны, если для всех то для всех и всех О, поскольку при доказательстве теоремы 3 было показано, что критерий является РНМ среди всех критериев, подобных на границе. Эта аргументация, однако, не исключает возможности существования критерия, который смещен вблизи , но который в то же

время является равномерно более мощным, чем при всех альтернативах, находящихся о на расстоянии, большем некоторого числа.

Свойство допустимости относительно удаленных альтернатив было установлено в задачах проверки некоторых гипотез о параметрах экспоненциальных семейств распределений, а также для альтернатив на любом расстоянии — в некоторых задачах о параметре сдвига. К числу последних относится задача проверки гипотезы при альтернативе для нормального распределения.