11. Мощность и средний размер выборки для последовательного критерия отношений вероятностей

Предыдущий раздел в какой-то степени вводит в заблуждение тем, что в нем рассматривается проверка простой гипотезы при простой альтернативе. Но эта постановка задачи интересна, главным образом, теми следствиями, которые получаются из нее применительно к более реалистической ситуации семейства распределений, зависящих от непрерывного параметра. К сожалению, утверждение о равномерно наибольшей мощности, справедливое для критерия отношений вероятностей с фиксированным объемом выборки в случае семейств с монотонным отношением правдоподобия (теорема 2), не распространяется на последовательный критерий. Более точно, рассмотрим последовательный критерий отношений вероятностей для проверки гипотезы при альтернативе и пусть (отклонения его функция мощности. Тогда, если — некоторая другая альтернатива, то последовательный критерий отношений вероятностей для проверки при этой альтернативе, соответствующий вероятностям ошибок не совпадает, вообще говоря, с первоначальным критерием, который поэтому не минимизирует Действительно, представляется правдоподобным, что с общей точки зрения последовательный критерий отношений вероятностей не приводит к наилучшей последовательной процедуре для семейств с непрерывным параметром, хотя, обычно он лучше, чем соответствующий критерий с фиксированным объемом выборки.

Допустим, что плотность зависит от действительного параметра и что проверяется гипотеза При этом обычно не интересуются мощностью критерия при альтернативах , близких к но желают контролировать вероятность обнаружения альтернатив, достаточно удаленных от Критерий, следовательно, должен удовлетворять условиям

что будеть иметь место, в частности, когда

и неубывающая функция . Последовательный критерий отношений вероятностей для проверки при альтернативе и вероятностях ошибок решает поставленную задачу, если предположить, что его функция мощности — неубывающая.

Лемма 4. Пусть независимы и одинаково распределены с плотностью Допустим, что семейство имеет отношение правдоподобия, монотонное относительно Тогда любой последовательный критерий отношений вероятностей для проверки при альтернативе имеет неубывающую функцию мощности.

Доказательство. Пусть где не убывает, и пусть По лемме 2 для функции распределения величины имеем при всех Следовательно, по лемме 1, существуют случайные величины и функции при всех такие, что распределения величин совпадают с соответственно. Рассматриваемый последовательный критерий допускает следующее геометрическое представление на -плоскости. Наблюдения продолжаются до тех пор, пока выборочная точка остается внутри полосы, образованной параллельными прямыми

Гипотеза отвергается, если путь, образованный точками

выходит из полосы через верхнюю границу. Вероятность этого события равна, следовательно, вероятности отклонения гипотезы. Для ее подсчета при нужно заменить на а при на Так как всех то путь, порожденный величинами заведомо покидает полосу через верхнюю границу, если это происходит с путем, порожденным (Последовательно, ), что и требовалось доказать.

Таким образом, в случае монотонного отношения правдоподобия последовательный критерий отношений вероятностей с вероятностями ошибок удовлетворяет (36). Из оптимального свойства, сформулированного в разделе 10, вытекает, что среди всех критериев, удовлетворяющих (36), последовательный критерий отношений вероятностей минимизирует средний объем выборки при и при Но теперь нас интересует при всех . Обычно функция имеет максимум между и убывает, когда точка удаляется от точки

максимума в любом направлении. Часто оказывается, что максимум меньше — наименьшего фиксированного размера выборки, при котором существует критерий, удовлетворяющий (36). Но это не всегда так. В частности, в обстановке примера 9 при фиксированный объем выборки по равен 160, и хотя для большинства значений оказывается меньшим этой границы, при равно 170. Важная проблема отыскания критерия, который минимизировал бы при условии (36), все еще не решена.

Точное определение функции мощности и среднего объема выборки для последовательного критерия отношений вероятностей в общем случае представляет собой крайне трудную задачу. Однако, если уравнение

имеет ненулевое решение (что верно при не слишком жестких ограничениях), то возможно дать простые приближенные формулы (см. задачу 38). В этом случае

также является плотностью вероятности. Допустим теперь, что (другой случай разбирается аналогично), и рассмотрим последовательный критерий отношений правдоподобия с границами А для проверки при альтернативе При такой процедуре наблюдения продолжаются до тех пор, пока

Если обозначает вероятность отклонения гипотезы при истинном распределении то по (34) можно определить приближенные выражения для границ

Однако рассматриваемый критерий в точности совпадает с последовательным критерием отношений вероятностей с вероятностями ошибок для проверки при альтернативе Следовательно, вероятности отклонения гипотезы этими критериями при истинном распределении должны быть равны. Разрешая вышеприведенные

соотношения относительно а, мы находим

Приближенное значение для может быть получено из тождества Вальда

которое, во всяком случае, выполняется тогда, когда величины независимы и одинаково распределены, и процедура такова, что средний объем выборки конечен. Доказательство этого соотношения смотри в задаче 37. Если величины определены равенством (35), и процедура соответствует последовательному критерию отношений вероятностей, то может быть аппроксимирована выражением когда отклоняется, и выражением , когда Н принимается. Поэтому в предположении из (39) вытекает

Пример 10. В биномиальной схеме примера 9 уравнение (37) принимает вид

Левая часть, как функция является выпуклой и равна единице при Отсюда видно, что, за исключением случая (когда левая часть минимальна при уравнение (41) имеет ненулевое решение. Соотношения (38) и (41) задают приближенную функцию мощности в параметрическом виде. Ее можно вычислять, придавая различные значения определяя из (38) и (41) соответствующие значения и (для определяется по непрерывности). Ниже приведено сравнение точных и приближенных значений и числовые данные взяты из примера 9:

(см. скан)