2. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения

Четыре гипотезы а о среднем и дисперсии нормального распределения рассматривались в разделе 9 главы 3. Там отмечалось, что при обычных уровнях значимости РНМ критерий существует только для первой гипотезы. Мы покажем теперь, что стандартные (основанные на отношении правдоподобия) критерии являются РНМ несмещенными Для всех четырех гипотез, а также и для некоторых двусторонних гипотез.

При меняющихся и а плотности

выборки из образуют двупараметрическое семейство, которое совпадает с (1) при

Поэтому по теореме 3 главы 4 существует РНМ несмещенный критерий для гипотезы которая при эквивалентна : а Критическая область для этого случая может быть получена из формулы (12) главы 4 при замене неравенств на обратные, так как теперь гипотеза имеет вид В рассматриваемом случае имеем

где

Если это записать в форме

то из независимости и (см. пример 1) будет следовать, что не зависит от х. Поэтому критерий отвергает гипотезу, когда т. е. когда

где определяется равенством Поскольку имеет распределение с степенью свободы, то уравнение для приводится к виду

где обозначает плотность -распределения с степенью свободы.

К этому результату можно прийти и с помощью теоремы 1. В качестве статистики фигурирующей в условиях теоремы, т. е. не зависящей от К при и при всех можно взять

Эта статистика, действительно, не зависит от X при всех Так как является возрастающей функцией и при каждом то критическая область для РНМ несмещенного критерия должна иметь вид .

Этот вывод показывает также, что РНМ несмещенная критическая область для или имеет вид

где константы С определяются из уравнений

Так как линейна по и, мы видим, что РНМ несмещенному критерию гипотезы соответствует область принятия

с константами, вычисляемыми из соотношений

Это — критерий, найденный в примере 2 главы 4 при замене на и числа степеней свободы на , что можно было предвидеть. Теорема 1 показывает, что РНМ несмещенный критерий для этой (и аналогичных) гипотез зависит только от Так как распределение V не зависит от и при меняющемся а порождает экспоненциальное семейство, то задачи сводятся к аналогичным задачам для однопараметрического экспоненциального семейства, т. е. к уже решенным.

Мощность вышеприведенных критериев может быть точно выражена в терминах -распределения. Например, в случае одностороннего критерия (9) она равна

Этот же самый метод может быть применен к проверке гипотез (при альтернативе (при альтернативе Переходя, если необходимо, к величинам мы можем, не ограничивая общности, предположить Приведем (8) к виду (1), полагая

Теорема 3 главы 4 показывает, что для гипотез эквивалентных существуют РНМ несмещенные критерии. Поскольку при

не зависит от (см. пример 1), то по теореме 1 РНМ несмещенная критическая область для имеет вид или, что то же самое, вид

где

Перейдем к гипотезе Обозначим При эта величина не зависит от к тому же линейна относительно Распределение при симметрично относительно точки . Следовательно, условия (4), (5), (6) с заменой V на выполняются для критической области вида Так как

то абсолютная величина является возрастающей функцией от Поэтому критическая область принимает вид

Из (16) мы видим, что есть отношение двух независимых случайных величин Знаменатель распределен как квадратный корень из -величины с степенями свободы, деленной на Распределение числителя при нормально Распределение подобного отношения называется распределением Стьюдента с степенью свободы и имеет плотность

Распределение симметрично относительно , и константы Со и С для одно- и двустороннего критериев находятся из уравнений

При имеет так называемое нецентральное -распределение (оно выведено в задаче 3). Некоторые свойства функции мощности одно- и двустороннего -критерия даны в задачах 1, 2 и 4. Отметим, что распределение а вместе с тем и мощность указанных выше критериев, зависит только от «параметра нецентральности» Это видно, например, из формулы для плотности, приводимой в задаче 3, но может быть установлено и следующим непосредственным путем. Допустим, что и обозначим с общее значение отношений Если распределены по закону то имеют распределение Итак, следовательно, имеет такое же распределение, как и что и требовалось доказать.

Пусть некоторая альтернатива к Тогда мощность зависит от а. При

так как по теореме 6 главы 2 функция непрерывна. Следовательно, каков бы ни был объем выборки, вероятность обнаружить ложность гипотезы при не может быть сделана при всех а. Это не удивительно, так как распределения становятся практически неразличимыми, если а слишком велико. Чтобы получить процедуру с гарантиро-. ванной мощностью при объем выборки следует сделать зависящим от а. Этого можно достигнуть применением последовательной процедуры с правилом остановки, опирающимся на оценки а, но невозможно при выборках фиксированного объема (см. задачи 15 и 17).

Критерии для более общих гипотез получаются из найденных выше заменой переменных на Критические области для этих гипотез, как и раньше, даются формулами (15), (17) и (19), но на этот раз с

Из записи распределений (8) в форме экспоненциального семейства с видно, что существует РНМ несмещенный критерий для гипотезы а но метод неприменим к более интересной гипотезе а он неприменим и к аналогичной гипотезе, когда среднее выражено в единицах стандартного отклонения: а Последняя гипотеза будет обсуждаться в главе 6.

Данные выше РНМ несмещенные критерии для среднего и дисперсии в определенном отношении заметно различаются. Если случайные величины образуют выборку из любого распределения с конечной дисперсией и нулевым средним и если объем выборки достаточно велик, то статистика (16) распределена приближенно по закону Это следует из центральной предельной теоремы (в соответствии с которой имеет предельное распределение того факта, что стремится по вероятности к единице, и из одной теоремы о сходимости, принадлежащей Крамеру. Поэтому размер -критерия будет, по крайней мере при больших выборках, приближенно равен заданному уровню значимости, даже если основное распределение отклоняется от нормального.

С другой стороны, предельное распределение для уже будет зависящим от исходного распределения величин X, точнее будет связано с величиной четвертого момента Так как не зависит от среднего значения то, не ограничивая общности, мы можем принять имеет предельное распределение стремится по вероятности к нулю. Поэтому величина имеет то же самое предельное распределение, что и именно, по

центральной предельной теореме, — нормальное распределение где дисперсия величин Отсюда вытекает, что размер критериев для дисперсии (9) и (11) может быть далек от заданных уровней значимости, даже и при больших объемах выборки, если только исходное распределение отклоняется от нормального.