7. Критерий знаков

Чтобы определить, какой из двух товаров предпочитает потребитель, опрашивают лиц. Результат отмечается знаком плюс, когда предпочитают товар и знаком минус в другом случае. Полное число плюсов У имеет тогда биномиальное распределение Рассмотрим проблему проверки гипотезы об отсутствии разницы в спросе при альтернативе (как и раньше, мы отвлекаемся от того факта, что при отклонении гипотезы необходимо решить, какой из товаров предпочитают). Соответствующий критерий, двусторонний критерий знаков, отклоняет гипотезу, если значение слишком велико. Это — РНМ несмещенный критерий (раздел 2).

Допустим, что потребители могут воздержаться от ответа. Обозначим вероятности предпочесть предпочесть В и воздержаться соответственно, тогда числа потребителей, для которых осуществляются указанные возможности, имеют совместное полиномиальное распределение с вероятностями

и гипотеза, которую надлежит проверить, имеет вид Распределение (22) можно записать в форме

из которой видно, что это — экспоненциальное семейство с Гипотеза , как легко видеть, эквивалентна гипотезе . Поэтому существует РНМ несмещенный критерий для . Мы придем к этому критерию, если сначала фиксируем а затем определим наилучший несмещенный условный критерий для при Так как условное распределение У при данном

является биномиальным то проблема сводится к проверке гипотезы в биномиальном распределении с испытаниями, а в этом случае критическая область имеет вид Мы получаем, следовательно, РНМ критерий, отбрасывая случаи, когда предпочтение не было высказано («ничьи»), и применяя критерий знаков к оставшимся данным.

Мощность критерия сильно зависит от определяющего распределение величины Можно ожидать, что при больших число испытаний в условном биномиальном распределении будет мало, и поэтому мощность критерия также будет невелика. Правда, в этом случае есть и преимущество — большое значение указывает, безотносительно к величине что потребители в целом весьма безразличны к товарам, о которых идет речь.

Вышеприведенный условный критерий знаков применим в любой ситуации, где наблюдаются независимых испытаний, каждое из которых заканчивается успехом неудачей или ничьей. В качестве альтернативного способа обращения с ничьими иногда предлагают приписать каждой ничьей наудачу (с вероятностями 1/2) знак плюс или минус. После такого «расщепления» ничьих полное число плюсов становится биномиальной случайной величиной с распределением где Гипотеза заменяется гипотезой и отклоняется, когда . С определяется тем, что вероятность отклонения должна быть равна а при Этот критерий можно рассматривать как рандомизированный критерий, основанный на Как критерий для он не смещен, поскольку или при или Так как критерий включает рандомизацию не только на границе критической области, то он менее мощен, чем РНМ несмещенный критерий для этой ситуации. Таким образом, случайное «расщеп-ленне» ничьих приводит к потере мощности.

Можно полагать, что это замечание поможет ответить на следующий вопрос: что лучше делать при определении вкусов потребителей — позволять им воздержаться или настаивать на выражении ими определенного мнения. Однако здесь неприменимо предположение о полной случайности «расщепления» ничьих. Даже в случаях, когда индивидуум полностью не уверен в том, что именно он предпочитает, обычно имеется небольшая склонность к одной из двух возможностей. Она в большинстве случаев обнаруживается при вынужденном решении. Но эта сторона дела уравновешивается большей изменчивостью вынужденных

решений по сравнению с добровольными. Какой из этих двух факторов главный, зависит от степени предпочтения.

Часто вопрос о предпочтении возникает, когда сравниваются стандартный продукт и некоторая его модификация или новый продукт. Если каждому опрашиваемому необходимо выразить определенное мнение, то гипотеза формулируется обычно как односторонняя: где означает, что предпочитают модификацию. Однако, если можно воздерживаться от ответа, то проверяемой гипотезой будет не поскольку, как правило, модификация интересна, если ее действительно предпочитают. Как было показано в примере 8 главы 3, односторонний критерий знаков, который отвергает гипотезу при слишком большом числе плюсов, является РНМ для этой задачи.

В некоторых исследованиях опрашиваемое лицо должно не только выразить свое предпочтение, но и дать более детальную оценку, например указать число из некоторой шкалы оценок. В зависимости от ситуации, гипотеза может принимать одну из двух форм. Можно интересоваться тем, имеется ли различие в отношении потребителей к двум видам товаров. Формально соответствующая гипотеза утверждает, что распределение оценок где выражает степень предпочтения лицом модифицированного продукта, симметрично относительно начала. Эта задача, в которой РНМ несмещенный критерий без дополнительных предположений может не существовать, будет рассмотрена в разделе 9 главы 6.

При ином подходе гипотеза имеет прежний вид Так как то

Здесь симметрия величин X более не предполагается, даже в случае Если не делать никаких предположений о распределении X, кроме того, что множество его возможных значений известно, то критерий знаков, основанный на числе положительных и отрицательных продолжает быть РНМ несмещенным.

Для доказательства заметим, что любое распределение X полностью определяется заданием вероятностей

и условных распределений величины X при условиях соответственно. Фиксируем любые два распределения и обозначим семейство всех распределений с и произвольными Каждый критерий для , который не смещен в первоначальном семействе

распределений где неизвестны, остается несмещенным и в более узком семействе Ниже мы покажем, что существует РНМ несмещенный критерий для в классе Оказывается, что является также несмещенным критерием для проверки и не зависит от Пусть любой другой несмещенный критерий для гипотезы в Рассмотрим какую-либо фиксированную альтернативу. Не ограничивая общности, можно предположить, что она входит в Так как критерий не смещен в он не смещен и для гипотезы проверяемой в Следовательно, мощность при выбранной альтернативе не меньше мощности Поэтому несмещенный критерий.

Чтобы построить РНМ несмещенный критерий для в обозначим плотности распределений по отношению к некоторой мере Совместная плотность величин X в точке с

равна

Совокупность статистик достаточна для и ее распределение дается формулой (22) с Мы видим, что, как и раньше, критерий знаков является РНМ несмещенным.

8. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

9. Литературные ссылки

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)