5. Сравнение двух пуассоновских или биномиальных совокупностей

Часто возникает необходимость сравнения двух способов воздействия на изучаемые объекты или какого-либо способа воздействия с контрольной ситуацией, где он не применяется. Если результатом наблюдений является число успехов в последовательности испытаний каждого способа, например число пациентов, излеченных от некоторой болезни, проблема сводится к проверке равенства двух биномиальных вероятностей. При сравнении степени радиоактивности двух веществ исходными были бы распределения Пуассона, а проблема состояла бы в проверке тождественности этих распределений.

Желая проверить, дает ли предлагаемый способ выигрыш по сравнению с контрольными испытаниями, где он не применяется, мы формулируем одностороннюю гипотезу. Обозначая и значения параметра при применении воздействия и в контрольных опытах, мы представим класс альтернатив в виде Основная гипотеза имеет вид если априори известно, что предлагаемый способ или не вносит изменений, или дает преимущество, и вид если допускается возможность ухудшения. Так как при обеих формулировках критерии оказываются одними и теми же, то более безопасная вторая формулировка часто оказывается и более предпочтительной.

Односторонние гипотезы оказываются уместными и в тех случаях сравнения новых способов со стандартными, когда первые представляют интерес исключительно лишь при условии улучшения результатов. С другой стороны, если два способа находятся в одинаковом положений, то проверяют гипотезу при двусторонней альтернативе Здесь формулировка представляется довольно искусственной, так как в случае

отклонения гипотезы мы несомненно стремимся понять, какой же способ лучше. Однако двусторонние критерии находят важное применение при построении доверительных границ для меры превосходства одного способа над другим.

Чтобы применить теорему 3 к задаче сравнения, необходимо представить соответствующие распределения в экспоненциальной форме с например, или словом, в такой форме, чтобы интересующая нас гипотеза была эквивалентна встречающимся в теореме 3. В настоящем разделе будут рассмотрены пуассоновское и биномиальное распределения. Случаем нормальных распределений мы займемся в главе 5.

Начнем с распределений Пуассона. Пусть независимы и имеют распределения соответственно, так что их совместное распределение может быть представлено в форме

Согласно теореме 3 существует РНМ несмещенные критерии для четырех гипотез Ни касающихся параметра или, что то же самое, отношения Сюда, в частности, включаются гипотезы (или при альтернативе к при альтернативе Сравнивая распределение с (10), мы видим, что здесь и по теореме 3, критерии применяются условным образом в целых точках отрезка прямой лежащего в первом квадранте х, у-плоскости. Условное распределение У при равно (см. задачу 12 главы 2)

т. е. является биномиальным распределением, соответствующим испытаниям с вероятностью успеха Первоначальные гипотезы сводятся этим приемом к аналогичным гипотезам относительно параметра биномиального распределения. Например, гипотеза превращается в которую отвергают при слишком больших У. Критическое значение зависит, конечно, не только от а, но и от Его можно определить по таблицам биномиального распределения, а при больших (приближенно) по таблицам нормального закона.

Во многих применениях отношение оказывается разумной мерой расхождения между пуассоновскими совокупностями

поскольку параметры указывают на скорость (в пространстве или во времени), с которой появляются события в сравниваемых процессах Пуассона. Можно было бы надеяться, что мощность указанных выше критериев зависит только от этого отношения, но это в действительности не так. Более того, при каждом фиксированном соответствующем альтернативе к проверяемой гипотезе, мощность является возрастающей функцией X и стремится к 1 при и к а при Чтобы показать это, рассмотрим мощность условного критерия при данном Эта мощность есть возрастающая функция поскольку она представляет собой мощность оптимального критерия, построенного по биномиальным испытаниям. Статистика имеет распределение Пуассона с параметром и ее распределения при меняющемся X образуют экспоненциальное семейство. Из леммы 2 главы 3 следует, что безусловная мощность является возрастающей функцией При или по вероятности, стремится к или а мощность относительно фиксированной альтернативы к а или 1.

Приведенные выше критерии применимы и к выборкам из двух распределений Пуассона. Статистики будут при этом достаточными для и будут распределены по закону Пуассона с параметрами соответственно. При планировании эксперимента естественно желание взять столь большим, чтобы критерий гипотезы, скажем имел при фиксированной альтернативе мощность, не меньшую заданного Однако замечания, сделанные по поводу функции мощности при остаются справедливыми при любом и потому высказанное пожелание неосуществимо при фиксированном сколь бы велико оно ни было. Это можно увидеть и непосредственно, поскольку при вероятность события стремится к 1 как при так и при Поэтому мощность любого критерия уровня а при альтернативе и при меняющемся X не может быть «удалена» от а. Эту трудность можно преодолеть только при последовательной процедуре наблюдения. Мы можем, например, выбрать столь большим, чтобы критерий гипотезы построенный по биномиальным испытаниям, имел мощность при альтернативе Наблюдая пары до тех пор, пока не станет мы получим критерий, мощность которого при всех альтернативах с

Сравнение биномиальных вероятностей совершенно аналогично. Пусть независимые случайные величины с совместным распределением

Мы можем проверить каждую из четырех гипотез относительно параметра или, что эквивалентно, относительно отношения Сюда включаются, в частности, проблемы проверки при альтернативе и при альтернативе Как и в случае распределений Пуассона, и критерий выражается в терминах условного распределения на отрезке прямой Это распределение равно

где

В частном случае гипотез пограничное значение (см. формулы (13), (18), (19)) равно , а соответствующее значение равно 1. Условное распределение превращается в гипергеометрическое расределение