11. Проверка независимости в двумерном нормальном распределении

До сих пор методы настоящей главы применялись, главным образом, к проблеме двух выборок. Мы используем теперь два рассматривавшихся подхода — нормальную модель раздела 3 и непараметрическую модель раздела проверке гипотезы независимости в двумерном нормальном распределении.

Плотность вероятности для выборки из двумерного нормального распределения равна

Здесь и являются средними и дисперсиями соответственно, коэффициент корреляции между Гипотезы могут быть исследованы методами настоящей главы, и такое исследование будет предпринято в главе 6. Здесь же мы рассмотрим только гипотезу т. е. гипотезу независимости и соответствующую одностороннюю гипотезу

Семейство плотностей (70) имеет экспоненциальную форму (1) с

и

Гипотеза и гипотеза эквивалентны. Так как выборочный коэффициент корреляции

не меняется при замене и У на то распределение не зависит от а зависит только от Следовательно, при оно не зависит от По теореме 2 при не зависит от Из теоремы 1 выводим, что РНМ несмещенный критерий отклоняет при

или, что то же самое, при

Статистика линейна по и ее распределение при симметрично относительно . Поэтому РНМ несмещенный критерий гипотезы при альтернативе отвергает гипотезу, если

Так как величина имеет при -распределение с степенями свободы (см. задачу 32), то константы Ко и находятся из уравнений

Раз распределение зависит только от то и функция мощности критерия имеет это свойство.

Рассмотрим теперь задачу без предположения нормальности — в непараметрической постановке. Для любого двумерного распределения обозначим случайную величину, распределение которой совпадает с условным распределением У при данном х. Мы скажем, что между имеется положительная зависимость, если при любых величина стохастически больше Грубо говоря, большие значения У соответствуют

большим значениям X: в этом интуитивный смысл положительной зависимости. Примером может служить любое двумерное нормальное распределение с задачу 36).

Возьмем теперь общее двумерное распределение, имеющее плотность относительно меры Лебега, и рассмотрим гипотезу независимости при альтернативе положительной зависимости. Если какой-либо несмещенный критерий, то при независимости вероятность отклонения гипотезы равна а, т. е.

для всех плотностей По теореме 3 отсюда находим, что

Здесь суммирование распространяется на все точек множества которое получается из фиксированной точки всевозможными перестановками в отдельности.

В классе всех критериев, удовлетворяющих этому условию, наиболее мощный по отношению к нормальным альтернативам (70) с выделяется тем, что отклоняет гипотезу при наибольших значениях функции (70) на каждом множестве здесь Так как все суммы: постоянны на то можно сказать, что критерий отвергает гипотезу для к наибольших значений в каждом

Из значений, которые статистика принимает на различных будет только В самом деле, значение статистики не изменяется, если величины подвергаются одной и той же перестановке. Поэтому критерию может быть придана более простая форма: гипотеза отвергается для к наибольших значений суммы на каждом множестве ; здесь предполагается, что Можно показать, что этот критерий не смещен по отношению ко всем альтернативам с положительной зависимостью (см. задачу 41 в главе 6).

Сравним критерий перестановок со стандартным нормальным критерием, основанным на выборочном коэффициенте корреляции Пусть обозначает множество упорядоченных

Критическая область для критерия перестановок имеет вид

или, что то же, вид

Оказывается, что разность между и граничной точкой соответствующего нормального критерия (71) стремится к нулю, и оба критерия становятся эквивалентными при стремящемся к бесконечности. Достаточные условия для этого состоят в том, что

и

Следовательно, при больших стандартный нормальный критерий (71) служит приближением к критерию перестановок, который непрактичен при сколько-нибудь значительном объеме выборки.

12. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

13. Литературные ссылки

(см. скан)

(см. скан)