4. РНМ несмещенные критерии для экспоненциальных семейств со многими параметрами

Важный класс составляют гипотезы относительно действительного параметра в экспоненциальном семействе, при условии, что остальные параметры остаются неуточненными, «мешающими» параметрами. Во многих подобных случаях РНМ несмещенные критерии существуют и могут быть построены с помощью теории предыдущего раздела.

Пусть X распределено по закону

и пусть Мы рассмотрим проблему проверки следующих гипотез при альтернативах :

Мы предположим, что пространство параметров выпукло и что его размерность равна т. е., что оно не содержится ни в каком линейном пространстве размерности . В частности, это имеет место, если естественное пространство параметров экспоненциального семейства. Мы предположим также, что в найдутся как точки, для которых меньше, так и точки, для которых больше соответственно.

Можно ограничиться только достаточными статистиками которые имеют совместное распределение

При данном остается единственной переменной, и по лемме 8 главы 2 условное распределение при данном входит в экспоненциальное семейство

Для условных распределений по следствию 2 главы существует РНМ критерий для проверки с критической функцией такой, что

где константы определяются из уравнения

Для проверки в семействе условных распределений можно по теореме 6 главы 3 построить РНМ критерий с критической функцией

где константы определяются из уравнения

Рассмотрим теперь критерий такой, что

где определяются из уравнения

При данном этот критерий в соответствии с разделом 2 настоящей главы будет РНМ несмещенным для проверки и РНМ среди всех критериев, удовлетворяющих (17).

Пусть, наконец, критическая функцня, удовлетворяющая (16) с константами С и у, которые находятся из уравнений

и

При данном из результатов раздела 2 снова выводим, что является РНМ несмещенным критерием для проверки и РНМ в классе всех критериев, для которых выполняются (18) и (19).

До сих пор критические функции рассматривались как условные при Интерпретируя их теперь как критерии, основанные на и и предназначенные для гипотез относительно распределений X (или совместного распределения возвращаясь к первоначальной точке зрения, мы приходим к следующей важной теореме.

Теорема 3. Определим критические функции: по (12) и (13); по (14) и (15); по (16) и (17), по (16), (18) и (19). Эти функции приводят к РНМ несмещенным критериям уровня а для проверки гипотез Ни соответственно, если совместное распределение дается формулой (11).

Доказательство. Статистика достаточна для при любом фиксированном и, следовательно, достаточно для каждого

По лемме 8 главы 2 соответствующее семейство распределений получается из формулы

Так как, по предположению, выпукло, имеет размерность и содержит точки, лежащие по обе стороны от то выпукло и имеет размерность Поэтому содержит -мерный прямоугольник. По теореме 1 семейство

полно. Из подобия критерия на со, вытекает

(1) Рассмотрим сначала По теореме 6 главы 2 для экспоненциального семейства мощность любого критерия непрерывна. Следовательно, достаточно доказать, что является РНМ критерием в классе всех критериев, подобных на (лемма 1), и тем самым в классе критериев, удовлетворяющих (13). С другой стороны, безусловная мощность критерия при альтернативе равна

Мы сделаем максимальной безусловную мощность, максимизируя условную мощность при каждом отдельном максимизируя выражение, стоящее в квадратных скобках). Так как делает максимальной условную мощность при любой альтернативе и при ограничении (13), то мы получаем требуемый результат.

(2) Доказательства для совершенно аналогичны. По лемме 1 достаточно доказать, что являются РНМ среди всех критериев, подобных на следовательно, среди критериев, удовлетворяющих (15). При каждом максимизируют условную мощность в соответствующих задачах при указанном ограничении. Поэтому они максимизируют и безусловную мощность.

(3) Несмещенность критерия для влечет подобие на и

В левой части этого соотношения дифференцирование можно перенести под знак математического ожидания, и с помощью тех же вычислений, что ранее привели к (6), мы находим, что это уравнение равносильно следующему:

Поэтому, так как полно, несмещенность влечет (18) и (19). Как и в уже разобранных случаях, критерий (который удовлетворяет является РНМ среди всех критериев, удовлетворяющих этим двум условиям. Так же, как при доказательстве леммы 1, из сравнения с критерием а вытекает, что предложенный критерий — РНМ несмещенный.

(4) Функции определены при каждом фиксированном как функции от и. Для завершения доказательства необходимо установить, что эти функции измеримы по совокупности переменных так что математическое ожидание (20) существует. Мы докажем здесь это утверждение для доказательство для остальных случаев намечено в задачах 14 и 15. Чтобы показать измеримость мы выведем сначала измеримость по определенных в (12) и (13). Опуская индекс и обозначая

условную функцию распределения при мы можем переписать (13) в форме

Здесь таково, что следовательно,

где Мы видим, что и будут измеримы, если измеримы по совокупности переменных измерима по

При каждом фиксированном и функция измерима по и при каждом фиксированном она является функцией распределения, а потому монотонна и непрерывна справа. Из второго свойства вытекает, что в том и только том случае, когда для каждого существует рациональное такое, что

Следовательно, обозначая занумерованные каким-либо образом рациональные числа, имеем

Отсюда видно, что измерима по совокупности переменных Для доказательство совершенно аналогично. Так как равносильно то -измерима при любом фиксированном у. Доказательство закончено.

Критерий доказанной теоремы остается РНМ несмещенным, если заменить множеством т. е. если проверять гипотезу при альтернативе Предположение о том, что содержит точки с было в действительности использовано только для доказательства наличия внутри -мерного прямоугольника. Но это утверждение остается верным, если заменить на

Оставшаяся часть этой главы, равно как и вся следующая глава, посвящена в основном применениям предыдущей теоремы к различным статистическим задачам. Этот путь — наиболее быстрый путь доказательства того, что соответствующие критерии являются РНМ несмещенными. Однако имеется и другой, более элементарный, вариант подхода к проблеме. Именно, доказательство теоремы 3 совершенно элементарно во всех пунктах, за исключением следующих: (I) того факта, что условные распределения при данном образуют экспоненциальное семейство, (II) что семейство распределений полно, (III) что производная от существует и может быть вычислена Дифференцированием под знаком математического ожидания, (IV) что функции измеримы. Вместо проверки свойств (I) — (IV) в общем случае, как было сделано в выше приведенном доказательстве, можно проверять эти свойства непосредственно в каждой отдельной задаче, что порой очень легко.

С помощью преобразования параметров теорема 3 может быть распространена на гипотезы относительно параметров типа

Преобразование формально дается нижеследующей леммой, доказательство которой очевидно.

Лемма 2. Экспоненциальное семейство распределений (10) может быть представлено в виде

где

Применение теоремы 3 к распределениям в той форме, как они даны в этой лемме, приводит к РНМ несмещенным критериям для гипотезы и определенных, аналогично предыдущему, гипотез

Проверяя одну из гипотез мы часто интересуемся мощностью критерия по отношению к какой-либо альтернативе . Как подчеркнуто в обозначении и видно из (20), эта мощность зависит, обычно, от неизвестных «мешающих» параметров . С другой стороны, мощность условного критерия при данном

не зависит от и имеет, следовательно, известное значение.

Величину можно интерпретировать двумя способами. (I) Это есть вероятность отклонения при Если значение уже известно и равно то возникает представление, что, по крайней мере в некоторых проблемах, указанная вероятность дает более подходящее к ситуации выражение мощности, чем Последнее получается осреднением по значениям не имеющим отношения к рассматриваемому случаю, Этот аргумент наталкивается на трудности, так как могут налагаться еще и дополнительные условия, и неясно, когда же следует остановиться.

(II) Более отчетливая интерпретация состоит в том, что рассматривается как оценка Так как

то эта оценка является несмещенной в смысле главы 1 (равенство 11). Далее, из теории несмещенных оценок и полноты экспоненциального семейства следует, что в классе всех

несмещенных оценок мощности предлагаемая имеет наименьшую дисперсию.

Безотносительно к способу интерпретации имеет по сравнению с безусловной мощностью тот недостаток, что ее величина становится известной после проведения наблюдений. Следовательно, она непригодна для планирования эксперимента, в частности, для определения размера выборки, если это необходимо сделать заранее, до проведения эксперимента. С другой стороны, заданная мощность при альтернативе достигается последовательным накоплением наблюдений до тех пор, пока условная мощность не станет