10. Инвариантные доверительные множества

Доверительные множества для параметра 6 при наличии мешающих параметров рассматривались в главе 5 (разделы 4 и 5) в предположении, что параметр действительный. Соответствие между областью где принимается гипотеза и доверительным множеством для задается формулами (34) и (35) главы 5. Однако оно не зависит от этого предположения и выполнено независимо от того, является ли действительным числом, вектором или служит только для обозначения неизвестной функции распределения (в последнем случае доверительные интервалы становятся доверительными границами для функции распределения). Указанное соответствие, которое можно выразить в виде соотношения

служило основой для получения равномерно наиболее точных и равномерно наиболее точных несмещенных доверительных множеств. В настоящем разделе это соотношение будет использовано для получения равномерно наиболее точных инвариантных доверительных множеств.

Мы начнем с определения инвариантности для доверительных множеств. Пусть группа преобразований переменной X, сохраняющая семейство распределений индуцированная группа преобразований на Если то мы будем предполагать, что зависит только от и , но не от так что индуцирует преобразование в пространстве значений параметра Чтобы не усложнять обозначений, будем писать Для каждого преобразования обозначим через преобразование множеств в пространстве параметра определенное формулой

так что есть множество, полученное применением преобразования к каждой точке Каждая доверительная процедура, задаваемая классом доверительных множеств будет называться инвариантной относительно группы преобразований если

Это определение является частным случаем применения общего принципа инвариантности, рассмотренного в главе 1. Если преобразование интерпретировать как замену системы координат, то (27) означает, что доверительные множества не зависят от координатной системы, в которой выражены исходные данные. Утверждение, что преобразованный параметр лежит в эквивалентно тому, что а это эквивалентно

первоначальному утверждению, что если только выполнено условие (27).

Пример И. Пусть независимые нормально распределенные величины со средними и единичной дисперсией, и пусть группа всех движений плоскости, которая порождается всеми сдвигами и ортогональными преобразованиями. Здесь для всех Инвариантный класс доверительных множеств образуют, например, все круги радиуса с центром в

Множество это множество всех точек и, следовательно, оно получается, если подвергнуть движению . В результате получится окружность радиуса с центром тем самым условие (27) удовлетворяется.

В соответствии с определением, данным в главах 3 и 5, класс доверительных множеств для будет называться равномерно наиболее точным инвариантным классом с доверительным уровнем , если среди всех инвариантных классов множеств с этим уровнем он минимизирует вероятность

Чтобы из семейства РНМ инвариантных критериев получить доверительные множества с этим свойством, изучим соотношение между инвариантностью доверительных множеств и связанных с ними критериев.

Предположим, что для каждого существует группа преобразований которая сохраняет инвариантной задачу проверки гипотезы Пусть группа преобразований, порожденная совокупностью групп

Лемма 4. (I) Пусть -любой класс доверительных множеств, который инвариантен относительно группы преобразований и пусть тогда область принятия инвариантна при для каждого .

(II) Если, кроме того, для каждого область принятия является РНМ инвариантной для гипотезы уровня а, то класс доверительных множеств будет равномерно наиболее точным среди всех доверительных множеств доверительного уровня .

Доказательство. (I) Рассмотрим некоторое фиксированное и пусть Тогда

Здесь третье равенство выполнено, так как инвариантно, а пятое — поскольку следовательно,

(II) Если есть некоторый другой инвариантный класс доверительных множеств с заданным уровнем, то соответствующие области согласно (I), определяют инвариантные критерии для гипотез Отсюда следует, что эти критерии являются равномерно не более мощными, чем критерии с областями принятия Следовательно,

что и надо было показать.

Из этой леммы непосредственно следует, что если для каждой гипотезы (инвариантной относительно найдены РНМ инвариантные области и если доверительные множества инвариантны относительно то эти множества являются равномерно наиболее точными инвариантными доверительными множествами.

Пример 12. В предположениях, сделанных в примере 11, задача проверки гипотезы инвариантна относительно группы ортогональных преобразований около точки

где матрица ортогональна. Относительно этой группы преобразований существует РНМ инвариантный критерий с областью принятия гипотезы (задача 8 главы 7)

Пусть наименьшая группа, содержащая группы для всех Поскольку эта группа является подгруппой группы примера 11 (эти две группы в действительности совпадают, но сейчас это несущественно), то доверительные множества инвариантны при следовательно, являются среди инвариантных равномерно наиболее точными.

Пример 13. Пусть независимые, нормально распределенные величины со средним и дисперсией Построение доверительных интервалов для основано на решении задачи о проверке гипотезы которая инвариантна относительно группы преобразований инвариантный критерий для имеет область принятия

которой соответствуют доверительные интервалы

Группа в настоящем случае состоит из всех преобразований которая для параметра индуцирует преобразование Применение соответствующего преобразования к интервалу (28) преобразует его во множество точек где удовлетворяет (28), т. е.

в интервал, начальная и конечная точки которого имеют вид

и

Поскольку интервал с этими концами совпадает с интервалом, полученным заменой в (28) на то доверительные интервалы (28) инвариантны при следовательно, являются среди инвариантных равномерно наиболее точными.