2. Примеры

В главе 3 было установлено, что для семейства плотностей, зависящих от действительного параметра таким образом, что при отношение является монотонной функцией от некоторой действительной статистики, существует РНМ критерий проверки : при альтернативе Указанное предположение, хотя оно и выполняется для однопараметрических экспоненциальных семейств, весьма ограничительно. Поэтому в действительности РНМ критерий для существует довольно редко. Более общий подход предлагается формулировками предыдущего раздела. Так, если зону безразличия составляют те значения , для которых то задача сводится к максимизации минимума мощности на классе альтернатив Можно ожидать, что при надлежащих ограничениях наименее благоприятные распределения и из теоремы 1 приписывают вероятность 1 точкам соответственно и что, следовательно, область отклонения максиминного критерия задается неравенством Приводимая ниже лемма дает для этого достаточные условия.

Лемма 1. Пусть независимы и одинаково распределены с плотностью где действительные переменные. Допустим, что при любом отношение является неубывающей функцией х. Тогда критерий уровня а для проверки , максимизирующей минимум мощности на со, определяется равенствами

где находятся из уравнения

Доказательство. Функция не убывает по каждому из своих аргументов, так что по лемме 2 главы 3 при

Следовательно, функция мощности для монотонна и -критерий уровня а. Так как где к и — распределения, приписывающие вероятность 1 точкам то условие (4) выполнено, что доказывает как желаемый результат, так и то, что распределения наименее благоприятные.

Пример 1. Пусть — параметр сдвига, т. е. Допустим для простоты, что при всех х. Мы покажем, что семейство имеет монотонное относительно х отношение правдоподобия тогда и только тогда, когда функция — является выпуклой. Условие монотонности по х отношения правдоподобия эквивалентно

что в свою очередь эквивалентно

Поскольку где то выпуклость достаточна для выполнения рассматриваемого соотношения. Покажем, что это условие и необходимо. Пусть любые действительные числа, и пусть . Тогда и условие монотонности отношения правдоподобия влечет неравенство

Так как функция — измерима, то она выпукла

Вышеприведенному условию удовлетворяют, например (кроме нормального распределения, для которого совместные плотности образуют экспоненциальное семейство), симметричное экспоненциальное распределение с

и логистическое распределение с функцией распределения

т. е. с плотностью

Пример 2. Рассмотрим соответствующую задачу для масштабного параметра. Пусть где четная функция. Не ограничивая общности, мы можем иметь дело только с неотрицательными х, так как абсолютные значения образуют систему достаточных статистик для Если то плотность имеет вид Если при , то в соответствии с примером 1 необходимым и достаточным условием, чтобы было неубывающей функцией х при всех является выпуклость функции — или, что то же самое, выпуклость Помимо нормального и симметричного экспоненциального распределений (для которых совместные плотности образуют экспоненциальные семейства), примером, в котором это свойство выполняется, может служить распределение Коши с плотностью

Так как выпуклость влечет выпуклость — то для четной из монотонности отношения правдоподобия у семейства вытекает его монотонность Когда распределение нормальное или симметричное экспоненциальное, это свойство следует уже из примера 1. Однако монотонность отношения правдоподобия для масштабного параметра не влечет аналогичного свойства для соответствующего семейства с параметром сдвига. Это иллюстрируется примером распределения Коши. Поэтому рассматриваемое условие в применении к параметру сдвига более ограничительно, чем в применении к масштабному параметру.

Основная в применении теоремы 1 к конкретным проблемам состоит в необходимости знать, или по крайней мере уметь правильно угадывать, пару наименее благоприятных распределений. Руководством для отыскания этих распределений иногда могут служить соображения инвариантности. Если существует группа преобразований X такая, что индуцированная группа оставляет инвариантными со и то задача симметрична по отношению к тем , которые могут быть переведены друг в друга преобразованиями группы В этом случае кажется вероятным, что, коль скоро не обнаруживают той же симметрии, они делают задачу статистика более легкой и, следовательно, не будут наименее благоприятными.

Пример 3. В задаче попарного сравнения, рассмотренной в примере 7 главы 6, результаты наблюдений представляют собой независимые случайные величины, принимающие значения 1 и с вероятностями Гипотезе , которую необходимо проверить, соответствует множество Принимаются во внимание только альтернативы, Для которых при всех В качестве со мы выберем подмножество тех альтернатив, для которых Следовало бы ожидать, что

приписывает вероятность 1 точке а У приписывает положительные вероятности только точками у которых координат равны 1/2, а оставшиеся равны Вследствие симметрии по переменным представляется вероятным, что должно приписывать каждой из этих точек вероятность При таком определении критерий

отвергает гипотезу при

Последнее эквивалентно

а эта критическая область, как было показано ранее, соответствует РНМ инвариантному критерию для данной задачи. Так как критическая функция не Убывает по каждому из своих аргументов, то по лемме 2 главы 3 из неравенств при всех следует

т. е. выполняются условия теоремы 1.

Пример 4. Пусть выборка из Рассмотрим задачу проверки гипотезы при альтернативах или Задача остается инвариантной при преобразованиях которые индуцируют в пространстве параметров группу преобразований Поэтому следовало бы ожидать, что наименее благоприятное распределение X на прямой со: инвариантно относительно Отсюда вытекает, что X приписывает любому интервалу меру, пропорциональную его длине, т. е. не может быть распределением вероятностей, и теорема 1 непосредственно не применима. Эту трудность можно преодолеть, аппроксимируя X последовательностью распределений вероятностей, в разбираемом случае, например, последовательностью нормальных распределений

Оказывается, что в той специальной задаче, которую мы сейчас рассматриваем, существуют наименее благоприятные распределения являющиеся настоящими распределениями вероятностей и, следовательно, не обладающие инвариантностью. Эти распределения можно найти путем исследования соответствующей односторонней задачи из раздела 9 главы 3, что и производится ниже. На множестве , где меняется только в качестве распределения X для принимается нормальное распределение с произвольным средним и дисперсией Распределение X следует сконцентрировать на двух прямых -плоскости. Положим где нормально со средним и дисперсией в то время как приписывает вероятность 1 точке Вычисления, аналогичные проведенным в разделе 9 главы 3, показывают, что область принятия гипотезы определяется неравенством

которое эквивалентно неравенству

Вероятность последнего неравенства не зависит от Следовательно, могут быть определены таким образом, что вероятность принятия гипотезы будет равна при и будет иметь равные значения при

Из раздела 7 главы 3 выводим, что существуют такие которые приводят к указанным и что вышеприведенный критерий удовлетворяет условиям следствия с и с состоящим из двух прямых линий: