4. Выборочный контроль по количественному признаку

Из партии некоторых изделий производится выборка с целью решения вопроса о том, является ли качество этой партии приемлемым. В простейшем случае каждое изделие классифицируется непосредственно как годное или негодное (контроль по качественному признаку), и решение выносится на основе суммарного числа дефектных изделий. В более общих случаях качество изделия характеризуется случайной величиной У (контроль по количественному признаку) и изделие считается годным, если У превышает заданную константу и. Тогда вероятность того, что изделие дефектно, равна

и задача состоит в том, чтобы проверить гипотезу

Как было показано в примере 8 главы 3, конкретные значения У нельзя использовать для проверки этой гипотезы, если ничего не известно о распределении У. В отсутствие подобной информации решение, как и раньше, будет приниматься просто по числу дефектных изделий в выборке. Мы рассмотрим сейчас эту задачу в предположении, что величины образуют выборку из нормального распределения

Тогда

где

обозначает функцию распределения стандартного нормального распределения, и гипотеза эквивалентна тому, что . В терминах переменных и, имеющих среднее дисперсию исходная задача сводится к проверке гипотезы

с Необходимость проверки этой гипотезы, которая для случая была рассмотрена в разделе 2 главы 5, возникает также и в других случаях. К подобной задаче приходят, например, когда интересуются средним нормального распределения, выраженным в единицах стандартного отклонения, а не в единицах фиксированной шкалы.

Для проверки гипотезы можно ограничиться рассмотрением пары величин — поскольку они образуют множество достаточных статистик Эти случайные величины независимы, распределение X совпадает с нормальным а распределение есть -распределение. Умножение на общий множитель преобразует параметры так что отношение а следовательно, и задача проверки гипотезы остаются инвариантными. Относительно этих преобразований максимальным инвариантом является функция или

распределение которой зависит только от максимального инварианта в параметрическом пространстве (см. раздел 2 главы 5). Тем самым, инвариантные критерии — это критерии,

которые зависят только от Остается в этом классе найти наиболее мощный критерий для проверки гипотезы Плотность вероятности равна (задача 3, главы 5)

где параметр нецентральности. Покажем, что семейство этих распределений имеет монотонное отношение правдоподобия. Чтобы установить, что отношение

является возрастающей функцией от для предположим сначала, что и положим Тогда рассматриваемое отношение пропорционально

где

и

Поскольку семейство плотностей имеет монотонное отношение правдоподобия, то интеграл от по этой плотности является убывающей функцией от (задача 10 из главы 3) и, следовательно, возрастающей функцией от для Аналогично рассмотрев преобразование найдем, что есть возрастающая функция от при Отсюда по непрерывности следует, что функция возрастает с ростом для всех

Тем самым для проверки гипотезы существует РНМ инвариантный критерий, который ее отвергает, когда где константа С определяется из условия (9). В терминах первоначальных величин У область отклонения гипотезы для РНМ инвариантного критерия принимает вид

Если эту задачу рассматривать как задачу с двумя решениями и функциями потерь (потери от принятия или отклонения гипотезы зависящими только от и удовлетворяющими условию, аналогичному (10), то класс критериев (11) образует полное семейство инвариантных процедур, когда С изменяется в пределах от до

Рассмотрим далее сравнение двух партий изделий, основанное на выборках из распределений и соответственно. Если

то возникает задача проверки гипотезы или, что то же, проверки гипотезы

Статистики образуют семейство достаточных статистик для . Рассматриваемая задача остается инвариантной при добавлении произвольной общей константы к Отсюда следует, что и 5 являются максимальными инвариантами. Эти функции остаются также инвариантными и приумножении величин а следовательно, и величин и 5 на общую положительную константу, что редуцирует исходные данные к максимальному инварианту Поскольку величина

имеет нецентральное -распределение с параметром нецентральности то РНМ инвариантный критерий отклоняет гипотезу когда Этот критерий совпадает с РНМ несмещенным критерием (27) из раздела 3 главы 5.

Аналогично, соответствующий двусторонний критерий (30) главы 5, с критической областью С является РНМ инвариантным критерием для проверки гипотезы при альтернативе