ДОПОЛНЕНИЕ

1. Отношения эквивалентности; группы

Отношение у между точками пространства называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. если

Пример 1. Рассмотрим класс статистических решающих процедур как пространство, точками которого являются отдельные процедуры. Тогда отношение если процедуры имеют одну и ту же функцию риска, есть отношение эквивалентности. В качестве другого примера рассмотрим на действительной прямой все функции с действительными значениями как точки пространства. Тогда соотношение если почти всюду, будет отношением эквивалентности.

Пусть дано отношение эквивалентности; обозначим множество точек пространства, эквивалентных точке х. Тогда если в противном случае. Так как по (I) каждая точка пространства принадлежит, по крайней мере, одному из множеств то из этого следует, что множества — классы эквивалентности, определенные отношением образуют разбиение пространства на части.

Множество элементов называется группой, если выполняются следующие условия.

(I) Определена операция — групповое умножение, которая любым двум элементам ставит в соответствие элемент с Элемент с называется произведением и обозначается

(II) Групповое умножение подчиняется ассоциативному закону

(III) Существует элемент называемый единичным, такой, что

(IV) Для каждого элемента существует ему обратный элемент такой, что

Можно показать, что как единичный элемент, так и обратный любому элементу а определяются однозначно.

Пример 2. Множество всех -ортогональных матриц составляет группу, если матричное умножение и обращение матриц принять соответственно за групповое умножение и обратную операцию и если единичную матрицу принять за единичный элемент группы. С тем же самым определением групповой операции класс всех невырожденных -матриц также образует группу. С другой стороны, класс всех -матриц не удовлетворяет условию (IV).

Если элементы являются отображениями некоторого пространства на себя, причем групповое произведение определяется как результат выполнения преобразования с помощью элемента а и последующего применения элемента 6, то называется группой преобразований. В данном случае предположение (IV) удовлетворяется автоматически. Для любой группы преобразований, определенной на пространстве отношение между точками

, если существует элемент такой, что будет отношением эквивалентности.

Тот факт, что удовлетворяются условия эквивалентности (I), (II) и (III), следует из формулировок (III), (IV) и (I) (соответственной свойств группы.

Пусть любой класс взаимно однозначных отображений пространства и пусть является классом всех конечных произведений где каждый показатель равен или и где среди элементов могут быть равные. Тогда легко проверяется, что группа и к тому же наименьшая группа, содержащая