5. Почти инвариантность

Пусть группа преобразований, оставляющая семейство распределений X инвариантным. Критерий будет называться эквивалентным инвариантному критерию, если существует инвариантный критерий такой, что для всех х, за исключением множества -меры нуль; называется почти инвариантным относительно группы если

где исключительное множество меры нуль, возможно, зависит от Это определение будет использоваться при изучении связи между инвариантностью, с одной стороны, несмещенностью и некоторыми другими оптимальными свойствами, с другой. Поэтому важно знать, является ли РНМ инвариантный критерий также и РНМ среди почти инвариантных критериев. Оказывается, что в предположениях, которые точно сформулированы ниже, в теореме 4, и которые выполняются во всех обычных применениях, это действительно так.

Если критерий эквивалентен некоторому инвариантному критерию, то для всех Поскольку то отсюда следует, что критерий почти инвариантен. Следующая теорема дает условия, при которых, обратно, каждый почти инвариантный критерий эквивалентен некоторому инвариантному критерию.

Теорема 4. Пусть группа преобразований и пусть и -поля подмножеств такие, что для каждого множество пар для которых - измеримо. Предположим далее, что существует -конечная мера на такая, что из следует, что для всех Тогда каждая измеримая почти инвариантная относительно функция («почти» относительно некоторой -конечной меры эквивалентна некоторой инвариантной функции.

Доказательство. В силу сделанных предположений об измеримости, функция рассматриваемая как функция Двух переменных является -измеримой. Следовательно, — также -измерима и таковым же является множество точек где Если критерий почти инвариантен, то каждое сечение множества с фиксированным имеет -меру нуль. По теореме Фубини

(теорема 3 главы 2) существует поэтому множество N -меры нуль такое, что для всех

Без ограничения общности можно считать, что Пусть А — множество точек х, для которых

Если

то А есть множество точек х, для которых

Поскольку этот интеграл является измеримой функцией от то множество А измеримо. Пусть

Тогда измерима и для поскольку из равенства почти всюду относительно меры следует, что и что Чтобы показать теперь, что инвариантна, достаточно доказать, что множество инвариантно. Для каждой точки функция рассматриваемая как функция от постоянна, за исключением подмножества меры нуль Тогда имеет то же самое значение и для всех последние множества согласно предположению имеют -меру нуль. Таким образом, чем и заканчивается доказательство.

Следствие 1. Предположим, что задача проверки гипотезы при альтернативе остается инвариантной относительно и пусть выполнены предположения теоремы 4. Тогда если инвариантный критерий, то он будет также РНМ и в классе почти инвариантных критериев.

Доказательство. Если критерий почти инвариантен, то согласно теореме 4 он эквивалентен некоторому инвариантному критерию Критерии имеют одну и ту же функцию мощности и, следовательно, равномерно не менее мощен, чем

В приложениях семейство 9 обычно является доминированным, а любая -конечная мера, эквивалентная (которая существует согласно теореме 2 из Дополнения). Если критерий почти инвариантен для семейства то тогда почти

инвариантен и по отношению к мере следовательно, эквивалентен некоторому инвариантному критерию. Как правило, выборочное пространство является -мерным евклидовым пространством, классом всех борелевских множеств, а элементы группы представимы в форме где изменяется на множестве положительной меры в -мерном пространстве, а векторная функция как функция переменных, измерима по Борелю. Если в качестве взять класс всех борелевских множеств в -мерном пространстве, то условия измеримости теоремы 4 выполняются.

То требование, что для всех

выполняется, в частности, когда

Существование такой правоинвариантной меры для большого класса групп гарантируется теорией мер Хаара. С другой стороны, обычно бывает нетрудно проверить условие (13) и непосредственно.

Пример 8. Пусть группа всех невырожденных преобразований мерного пространства. В фиксированной системе координат элементы группы представляются невырожденными матрицами порядка с групповой операцией, задаваемой матричным произведением. В качестве -поля можно взять класс борелевских множеств в пространстве элементов матриц, а в качестве меры обычную меру Лебега на Рассмотрим теперь множество матриц с и множество матриц и фиксированным А. Если и то из неравенства для следует, что Поскольку каждое множество имеет -меру нуль тогда и только тогда, когда оно может быть покрыто соединением прямоугольников с суммарной мерой, не превосходящей заданного то отсюда следует, что а это и следовало показать.

В предыдущих главах сравнение различных критериев производилось только в терминах их функций мощности (возможно взвешенных в зависимости от степени значимости соответствующих потерь).

Поскольку ограничение инвариантными критериями представляет собой отход от этой точки зрения, то интересно выяснить вопрос о том, что же дает применение инвариантности к Функциям мощности. Каждый критерий, инвариантный или почти инвариантный относительно имеет функцию мощности, которая остается инвариантной относительно группы индуцированной группой в параметрическом пространстве.

Обратное, вообще говоря, неверно; пусть случайные величины независимы и нормально распределены со средним

и дисперсией Рассмотрим гипотезу а Критерий, который отвергает эту гипотезу, если

не инвариантен относительно группы преобразований однако его функция мощности инвариантна относительно группы

Два свойства — почти инвариантность критерия и инвариантность его функции мощности — становятся эквивалентными, если еще до применения принципа инвариантности задача сведена к достаточным статистикам, распределения которых образуют ограниченно полное семейство.

Лемма 2. Пусть семейство распределений ограниченно полно и пусть задача проверки гипотезы остается инвариантной при группе преобразований при всех . Тогда, для того чтобы функция мощности критерия была инвариантной относительно группы действующей в пространстве необходимо и достаточно, чтобы функция была почти инвариантной при преобразованиях из

Доказательство. Для всех мы имеем Если — почти инвариантно, и, следовательно, так что функция мощности критерия является инвариантной. Обратно, если то и из ограниченной полноты семейства следует, что почти всюду относительно Используя эту лемму, можно показать, что РНМ инвариантный критерий обладает также следующим оптимальным свойством.

Теорема 5. Пусть выполнены предположения леммы 2 и пусть функция — максимальный инвариант относительно Предположим, что среди критериев для гипотезы основанных на достаточной статистике существует РНМ почти инвариантный критерий, скажем Тогда является РНМ в классе всех критериев, основанных на первоначальных наблюдениях, функции мощности которых зависят только от

Доказательство Пусть -некоторый такой критерий и пусть Функция мощности критерия будучи идентична функции мощности зависит тогда только от следовательно, инвариантна относительно О. Из леммы 2 следует, что критерий почти инвариантен при и что имеет мощность, равномерно не меньшую, чем следовательно, чем

Пример 9. В задаче проверки гипотезы относительно дисперсий двух нормальных распределений величины ( образуют

полное множество достаточных статистик. Как было показано в примере 6, при подходящим образом подобранной группе преобразований существует РНМ инвариантный критерий, который отвергает рассматриваемую гипотезу, если Поскольку в настоящем случае из почти инвариантности этого критерия относительно вытекает, что он эквивалентен некоторому инвариантному (задача 13), то применима теорема 5 с Этот критерий является, следовательно, РНМ среди всех критериев, функции мощности которых зависят только от