10. Критерии перестановок и рандомизация

В предыдущем разделе было показано, что рандомизация дает базис для проверки гипотезы об отсутствии эффекта обработки без каких-либо предположений об экспериментальных

единицах. В настоящем разделе будет получен специальный критерий для этой проблемы. В случае, когда экспериментальные единицы рассматриваются как постоянные, совместная плотность результатов наблюдений дается формулой (56) (при полной рандомизации) или формулой (60) (при использовании сходных пар). Более общим образом, пусть экспериментальный материал разбит на с подгрупп, рандомизация применяется в каждой из подгрупп и пусть результаты наблюдений в подгруппе равны

Для любой точки обозначим, как и раньше, знаком множество из точек, получаемых из и всевозможными перестановками координат внутри каждой подгруппы. Тогда совместная плотность величин равна

и при гипотезе отсутствия эффекта обработки

Может случиться, что не все координаты и или различны. Тогда, если некоторые из точек или совпадают, то каждая точка должна считаться с учетом ее кратности. Более точно, если рассматриваемых перестановок координат обозначить то в качестве можно взять упорядоченное множество точек Тогда соотношение (63), например, принимает вид

где обозначает

Теорема 4. Для того чтобы критическая функция удовлетворяла неравенству

при всех и всех векторах необходимо и достаточно выполнение условия

Доказательство основано на следующей лемме. Лемма 3. Пусть А — множество в мерном пространстве, мера Лебега которого положительна. Тогда для любого найдутся такие действительные числа что

где независимые нормально распределенные случайные величины со средними и дисперсиями

Доказательство. Не ограничивая общности, допустим, что Для любого найдется такой квадрат что

Это следует из того, что почти в каждой своей точке А имеет метрическую плотность 1 (или из более элементарного факта — возможности аппроксимировать измеримое множество по мере объединениями непересекающихся квадратов). Пусть а таково, что

и пусть

Если центр и если где длина стороны то

С другой стороны,

Складывая почленно оба неравенства, приходим к искомому результату.

Доказательство теоремы. Пусть любая критическая функция и пусть

Если (65) не выполняется, то существует такое что на множестве положительной меры По лемме существуют такие, что где независимы и распределены нормально с общей дисперсией и средними Мы имеем

что больше а, так как а Этим доказано, что (64) влечет (65). Обратное утверждение следует из первого равенства в (66).

Следствие 2. Пусть класс плотностей

Полным семейством критериев для проверки с уровнем а может служить класс критериев, для которых

Доказательство. Следствие утверждает, что для любого данного критерия с уровнем а найдется элемент который равномерно не менее мощен, чем По предыдущей теореме среднее значение на каждом множестве не превосходит а. На множествах, где это неравенство является строгим, мы можем увеличить таким образом, чтобы получить критическую функцию удовлетворяющую (67) и такую, что для любых При всех альтернативах мощность не меньше мощности т. е. искомый критерий. Точная

конструкция критерия показывающая его измеримость, приведена в задаче 28. Из следствия 2 видно, что в нормальном случае модель рандомизации (62) приводит в точности к тому же классу критериев, который был найден ранее в несколько иной обстановке. Из раздела 8 можно Ьывести, что наиболее мощный критерий уровня а для проверки (63) при простой альтернативе (62) дается формулой (52) с равной плотности (62). Если то критическая область этого критерия имеет вид

так как обе суммы и постоянны на и потому зависят только от Мы видим, что критерий зависит от А и индивидуальных эффектов так что РНМ критерий не существует.

Среди альтернатив (62) имеется один подкласс, занимающий центральное положение и представляющий особенный интерес. Это класс альтернатив, выделяемый предположением, что индивидуальные эффекты образуют выборку из нормального распределения. Хотя трудно ожидать, что это предположение выполняется точно, во многих случаях можно с основанием предполагать его приближенное выполнение. Соответствующий подкласс альтернатив дается вероятностными плотностями

Эти альтернативы привлекательны и с несколько иной точки зрения. Процедура случайного (внутри каждой подгруппы) сопоставления способов обработки с экспериментальными единицами уместна, как мы видели, тогда, когда изменчивость и внутри каждой группы мала. Эта процедура используется при уверенности, что последнее условие выполняется, что приводит к предположению, может быть приближенному, о постоянстве Такой случай может рассматриваться как предельный для нормальных распределений с дисперсией, стремящейся к нулю. Для последних плотность задается формулой (69).

Так как альтернативы (69) совпадают с альтернативами (53) раздела 8 с то критерий перестановок (54) оказывается наиболее мощным критерием для проверки

гипотезы в нормальной модели рандомизации (62) при альтернативах (69) с Критерий сохраняет это свойство в значительно более общей обстановке, в которой ни нормальность, ни выборочные свойства величин не участвуют. Пусть совместная плотность рассматриваемых случайных величин равна

где почти всюду непрерывны, а в остальном произвольны. При гипотезе эта плотность симметрична по переменным подгруппы при каждом так что критерий перестановок (49) имеет вероятность отклонения, равную а при всех распределениях из . По следствию 2 эти критерии перестановок образуют полный класс, что и требовалось установить.