2.6. Метрика

Метрический тензор в точке есть симметричный тензор типа в так что С-метрика на есть С-поле симметричного тензора Метрика приписывает каждому вектору его «длину» и задает «косинус угла»

между любыми двумя векторами для которых Будем говорить, что векторы ортогональны, если

Компонентами относительно базиса являются

т. е. компоненты равны просто скалярным произведениям базисных векторов Если пользоваться координатным базисом, то

Длины касательного пространства, определяемые метрикой, связаны с длинами на многообразии следующим образом. Длина пути между точками вдоль кривой

класса кусочно класса с касательным вектором таким, что имеет один знак во всех точках равна

Выражения (2.23), (2.24) можно символически представить в форме

используемой в классических руководствах для выражения длины «бесконечно малой» дуги, задаваемой смещением координат

Метрика называется невырожденной, если не существует такого ненулевого вектора для которого при всех В терминах компонент метрика не вырождена, если матрица из компонент неособенна. Далее мы всегда будем предполагать, что метрический тензор не вырожден. Тогда соотношением

мы можем однозначно определить симметричный тензор типа (2,0) с компонентами относительно базиса дуального к базису Иначе говоря, матрица тоже неособенна, и тензоры можно использовать для установления изоморфизма между любым ковариантным тензорным аргументом и любым контравариантным аргументом, иначе говоря, для «поднятия» и «опускания индексов». Таким образом, если Х—компоненты контравариантного вектора, ему однозначным образом сопоставляется ковариантный вектор с компонентами причем Аналогично, тензору типа мы можем однозначно сопоставить тензоры Вообще мы будем рассматривать подобные взаимосвязанные ковариантные и контравариантные тензоры как различные представления одного и того же геометрического объекта; в частности, можно считать представлениями (относительно дуальных базисов) одного и того же геометрического объекта . Однако в некоторых случаях, когда мы будем иметь дело более чем с одной метрикой, нужно будет тщательно различать, какая из метрик используется для поднятия или опускания индексов.

Сигнатура в точке есть число, равное разности числа положительных и числа отрицательных собственных значений матрицы Если метрика не вырождена и непрерывна, то сигнатура постоянна на Подходящим выбором базиса компоненты метрического тензора в любой точке можно

привести к виду

где — сигнатура — размерность . В этом случае базисные векторы образуют ортонормированную систему в т. е. каждый из них есть единичный вектор, ортогональный ко всем остальным базисным векторам.

Метрика, сигнатура которой равна называется положительно определенной; для такой метрики а ее каноническая форма имеет вид

Положительно определенная метрика является «метрикой» в пространстве в топологическом смысле этого слова.

Метрика с сигнатурой, равной называется лоренцевой метрикой; ее каноническая форма:

Если наделено лоренцевой метрикой, нулевые векторы в можно разделить на три класса: вектор называется времениподобным, изотропным или пространственноподобным в зависимости от того, отрицателен, равен нулю или положителен скалярный квадрат ). Изотропные векторы образуют в двухполостный конус, отделяющий времениподобные векторы от пространственноподобных (рис. 8). Если — какие-либо два непространственноподобных (т. е. времениподобных или изотропных) вектора, лежащие в одной и той же полости изотропного конуса точки то причем равенство имеет место, только когда X и — параллельные изотропные векторы [т. е. при ].

Любое паракомпактное -многообразие допускает положительно определенную (т. е. такая метрика определена на всем ). Чтобы убедиться в этом, возьмем разложение единицы для локально-конечного атласа Тогда можно задать равенством

где — естественное скалярное произведение в евклидовом пространстве таким образом атлас используется для задания метрики путем отображения евклидовой метрики в Ясно, что

такое введение метрики неинвариантно относительно изменения атласа и, следовательно, на имеется много подобных положительно определенных метрик.

Рис. 8. (см. скан) Изотропные конусы; определяемые лоренцевой метрикой.

В противоположность этому паракомпактное -многообразие допускает лоренцеву -метрику тогда и только тогда, когда оно допускает неисчезающее -поле линейных элементов; под полем линейных элементов подразумевается сопоставление каждой точке пары равных и противоположно направленных векторов , т. е. поле линейных элементов подобно векторному полю, но не имеет определенного знака. Чтобы убедиться в этом, введем на многообразии положительно определенную -метрику g. Тогда в каждой точке можно следующим образом определить лоренцеву метрику

где X — один из векторов пары в р. (Отметим, что X появляется в этом выражении четное число раз, и поэтому несущественно, подставлять X или —X.) Очевидно, и если Y, Z — ортогональны к X относительно то они ортогональны к X также относительно причем Следовательно, ортонормированный относительно базис будет ортонормированным и относительно Поскольку метрика не единственна, то на имеется множество лоренцевых метрик, если есть хотя бы одна. Обратно, пусть дана лоренцева метрика рассмотрим уравнение где — какая-либо положительно определенная метрика. При этом получим одно отрицательное и положительных собственных чисел Я. Поле собственного вектора X, соответствующего отрицательному собственному значению, будет локально определено с точностью до знака нормирующего множителя; его можно нормировать, наложив условия и получить таким образом поле линейных элементов на

В действительности любое некомпактное многообразие допускает поле линейных элементов, а чтобы такое поле допускало компактное многообразие, необходимо и достаточно, чтобы характеристика Эйлера многообразия равнялась нулю (т. е. тор допускает, а сфера не допускает поле линейных элементов). Позднее будет установлено, что многообразие может быть разумной моделью пространства-времени, только если оно некомпактно и в силу этого на нем существует множество лоренцевых метрик.

До сих пор мы рассматривали метрический тензор и связность как две не зависимые друг от друга структуры на Однако при заданной метрике на имеется единственная связность без кручения, для которой ковариантная производная равна нулю, т. е.

При этой связности параллельный перенос векторов сохраняет скалярное произведение, задаваемое метрикой поэтому, в частности, длины векторов инвариантны. Например, если вектор, касательный к геодезической, то вдоль этой геодезической

Из (2.25) следует, что для производных векторных С-полей X, Y, Z

Складывая это выражение с аналогичным выражением для и вычитая аналогичное выражение для

получим

Выбирая в качестве X, Y, Z базисные векторы, выразим компоненты связности через производные компонент метрики и производные Ли базисных векторов:

В частности, при использовании координатного базиса эти производные Ли равны нулю и получаются обычные соотношения Кристоффеля для координатных компонент связности:

Далее мы везде будем предполагать, что на введена эта единственная -связность без кручения, определяемая -метрикой . С ее помощью можно ввести нормальные координаты (разд. 2.5), используя, например, ортонормированный базис в Впредь под нормальными координатами мы будем подразумевать нормальные координаты, заданные с помощью ортонормированного базиса.

Тензор Римана для связности, задаваемой метрикой, есть -тензор, обладающий свойством симметрии

в дополнение к симметриям (2.21). Из равенств (2.21) и (2.27а) следует, что тензор Римана симметричен также по парам индексов

Отсюда видно, что тензор Риччи симметричен:

Свертка тензора Риччи есть по определению скалярная кривизна:

Вследствие этих симметрий имеет алгебраически независимых компонент, где — размерность Из них компонент можно выразить через компоненты тензора Риччи. Если то При имеет одну независимую компоненту, которая по существу совпадает с При тензор кривизны полностью определяется тензором Риччи. Если остальные компоненты тензора кривизны

можно выразить через тензор Вейля определяемый равенством

Из того, что последние два слагаемых в правой части обладают свойствами симметрии тензора кривизны, следует, что также обладает этими свойствами. Легко убедиться, что в дополнение к этому

т. е. тензор Вейля — это та часть тензора кривизны, все свертки которой равны нулю.

Иначе тензор Вейля можно охарактеризовать тем, что он является конформным инвариантом. Две метрики и называются конформными, если можно подобрать некоторую ненулевую функцию такую, что

Тогда для любых векторов в точке

т. е. углы и отношения длин при конформных преобразованиях сохраняются; в частности, конформные преобразования сохраняют структуру изотропного конуса в поскольку

соответственно. Поскольку компоненты метрики связаны соотношениями

то координатные компоненты связностей, определяемых метриками (2.28), связаны между собой равенством

Вычисляя тензор Римана для получаем

где

причем ковариантные производные в этом уравнении взяты относительно метрики Отсюда (при условии )

и

Это последнее равенство выражает тот факт, что тензор Вейля конформно-инвариантен. Из полученных соотношений следует, что

Расщепив тензор Римана на две части, выражаемые соответственно через тензор Риччи и тензор Вейля, можно с помощью тождеств Бианки (2.22) получить дифференциальные соотношения между тензором Вейля и тензором Риччи; свертывая (2.22), имеем

а после вторичной свертки

Пользуясь определением тензора Вейля (при ), можно переписать (2.31) в виде

Если равенство (2.31) содержит всю информацию, имеющуюся в тождествах Бианки (2.22) и, таким образом, при соотношение (2.32) эквивалентно этим тождествам.

Диффеоморфизм будем называть изометрией, если он переводит метрику в себя, иначе говоря, если отображенная метрика равна в каждой точке. Тогда отображение сохраняет скалярные произведения

Если данная локальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов порожденная векторным полем К, есть группа изометрий (т. е. при каждом t преобразование есть изометрия), то К будем называть векторным полем Киллинга. Производная Ли метрики относительно К равна нулю:

так как при каждом но, согласно (2.17), и, следовательно, векторное поле К Киллинга удовлетворяет

уравнению Киллинга

Обратно, если К — векторное поле, удовлетворяющее уравнению Киллинга, то и

Итак, для того, чтобы К было векторным полем Киллинга, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению Киллинга. Тогда локально можно выбрать координаты в которых в этих координатах уравнения Киллинга принимают вид

В общем случае пространство не обладает какими-либо симметриями и поэтому не допускает никаких векторных полей Киллинга. Пространства частного вида могут допускать линейнонезависимых векторных полей . Можно показать, что совокупность всех векторных полей Киллинга на таких пространствах образует -мерную алгебру Ли над (верхний предел может быть меньше, если метрика вырождена), причем умножение в этой алгебре задается скобками Ли [см. (2.16)]. Локальная группа диффеоморфизмов, порожденных этими векторными полями, есть -мерная группа Ли изометрий на многообразии Полная группа изометрий на может включать некоторые дискретные изометрии (такие, как отражения в плоскости), которые не порождаются векторными полями Киллинга; свойства симметрии пространства целиком определяются этой полной группой изометрий.