8.4. Характер сингулярностей

В этом и следующем разделах мы исследуем характер сингулярностей, предсказываемых теоремой 4. Мы рассматриваем именно эту теорему, а не другие, потому что из нее можно получить больше информации о сингулярности. Однако сингулярности, предсказываемые остальными теоремами, обладают сходными свойствами.

Сразу встает вопрос: сколь сильное нарушение днфференцируемости метрики допустимо? Теоремы предыдущего раздела утверждают, что пространство-время должно быть геодезически неполным, если метрика принадлежит классу Это условие необходимо для того, чтобы были хорошо определены сопряженные точки и вариации длин дуг; иными словами, чтобы решения уравнения геодезических зависели от начальных положений и направлений дифференцируемым образом. Одиако о геодезической неполноте можно говорить при условии, что решения уравнения геодезических существуют. Они существуют, когда метрика принадлежит классу единственность решений и их непрерывная зависимость от начальных положений и направлений имеет место, если метрика класса (т.е. если связность локально липшииева). Фактически можно обсуждать -неполноту, опираясь лишь на существование положительно-определенной

метрики в расслоении реперов которая почти всюду определена и локально ограничена. Это имеет место, если компоненты связности определены почти всюду и локально ограничены, т. е. если метрика класса

Итак, может показаться, что содержание теорем о сингулярностях не связано с неограниченным ростом кривизны, а свидетельствует лишь о наличии разрыва кривизны (т. е. метрика становится класса вместо Мы покажем, что это не так: при выполнении условий теоремы 4 пространство-время должно быть времениподобно геодезически неполным (и, следовательно, -неполным), даже если потребовать, чтобы метрика была класса Метод доказательства состоит в том, чтобы аппроксимировать С-метрику С-метрикой и произвести вариацию длины дуги в этой метрике.

Предположим, что данное пространство-время нерасширяемо при метрике класса и что выполнены условия теоремы 4. Теперь требуется, чтобы условие времениподобного схождения выполнялось «почти всюду», причем тензор Риччи определяется через обобщенные производные. Единственный пункт в доказательстве теоремы 4, который теряет силу в -метрике, — это тот, где используется вариация длины дуги для того, чтобы показать, что не может существовать точка для которой причем — максимальное значение на 9. Итак, если бы многообразие было геодезически полным, то нашлись бы такая точка и ортогональная к 9 геодезическая от до длиной Пусть — открытое множество с компактным замыканием, которое содержит и пусть и соответственно положительно определенная и лоренцева С-метрика. Для можно найти лоренцеву -метрику удовлетворяющую на условиям

3) где — постоянная, зависящая от

4) для любого вектора К, для которого . (Метрику можно построить, покрывая конечным числом локальных координатных окрестностей интегоируя координатные компоненты с подходящей сглаживающей функцией и суммируя интегралы с разложением единицы т. е.

где

Свойство (1) означает, что при достаточно малых значениях точка будет лежать в будет содержаться в . Поэтому в метрике будет существовать геодезическая от до длиной Кроме того, будет стремиться к нулю при

В силу свойств (1), (2), (3) и стандартных теорем для обыкновенных дифференциальных уравнений при касательные векторы к геодезическим в метрике будут стремиться к касательным к геодезическим в метрике с теми же начальными точками и направлениями. При этом, если -единичный касательный вектор к геодезической в метрике ортогональной к , то на

величины будут ограничены сверху. Следовательно, для любого найдется такая постоянная что при будет удовлетворяться неравенство Теперь мы можем установить противоречие, показав, что достаточно малое изменение энергетического условия не будет препятствовать появлению сопряженных точек в метрике на расстоянии, меньшем . В самом деле, расхождение геодезических в метрике подчиняется уравнению Райчаудхури:

Отсюда

Поэтому, если бы начальное значение было отрицательным, а было меньше единицы, то величина стала бы отрицательной на расстоянии от не превышающем Но при . Отсюда видно, что при достаточно малых в метрике на любой геодезической, ортогональной , будет сопряженная точка на расстоянии от меньшем чем

Поэтому многообразие должно быть времениподобно геодезически полным, даже если мы требуем от метрики лишь принадлежности классу

Из этого результата вытекает, что при попытке расширить пространство-время с целью сделать неполные геодезические полными или метрика перестанет быть лоренцевой, или кривизна должна быть локально неограниченной, т. е. должна быть сингулярность кривизны. Однако, даже если кривизна локально не ограничена, все же метрику можно интерпретировать как [Решение уравнений Эйнштейна в обобщенных функциях при условии, что объемные интегралы компонент тензора кривизны

по любой компактной области будут конечны. Последнее будет справедливо, если метрика лоренцева, непрерывна и обладает квадратично интегрируемыми первыми производными. В частности, это будет выполнено, если метрика лоренцева и класса е. локально липшицева). Примерами таких -решений служат гравитационные ударные волны (кривизна имеет поведение типа -функции на изотропных -поверхностях; см., например, [29, 130]), массивные тонкие оболочки (где кривизна ведет себя как -функция на времениподобных -новерхностях; см., например, [83]) и решения, содержащие вещество без давления («пыль»), в которых геодезические линии тока обладают двумерными и трехмерными каустиками (см. [65, 120]).

Ввиду нелинейной зависимости кривизны от метрики не всегда возможно аппроксимировать -решение в обобщенных функциях -метрикой, подчиняющейся условию схождения или хотя бы нарушающей это условие на не слишком большую величину, как в предыдущем случае (свойство 4). Однако во всех упомянутых выше примерах это возможно. Для этого в сущности есть физическое оправдание: их надо рассматривать как математические идеализации или О-решений, которые подчиняются условию сближения и в которых кривизна велика в малых областях. К этим -решениям можно было бы применить теоремы разд. 8.2 и доказать существование в них неполных геодезических. Из этого ясно, что предсказываемые сингулярности не могут быть лишь гравитационными ударными волнами или каустиками линий тока, а должны представлять собой более серьезные нарушения метрики. (С обычными гидродинамическими ударными волнами связаны лишь разрывы плотности и давления, и в этом случае метрика может быть класса Хотя мы и не можем доказать это строго, мы уверены, что сингулярности должны оказаться такими, чтобы метрику нельзя было расширить даже как решение уравнений Эйнштейна в обобщенных функциях, т. е. наряду с неограниченностью в сингулярной точке компонент тензора кривизны их объемные интегралы в любой окрестности такой точки должны быть не ограничены. Так обстоит дело во всех известных примерах сингулярностей, за исключением особого случая решения Тауба — НУТ, которым мы займемся в следующем разделе. Если эта догадка верна для «характерных» особенностей (т. е. для всех особенностей, кроме тех, начальные условия для которых образуют множество меры пуль), то мы можем рассматривать сингулярность как точку, в которой уравнения Эйнштейна (и, наверное, остальные известные законы физики) теряют силу.

Другой вопрос, на который хотелось бы иметь ответ: каково число неполных геодезических, если есть сингулярность? Если только одна, то может создаться впечатление, что эту

сингулярность можно игнорировать. Из доказательства теоремы 4 можно видеть, что при отсутствии горизонта Коти, т. е. если Ф — поверхность Коши, ни одну времениподобную кривую с поверхности Ф (неважно, геодезическая она или нет) нельзя продолжить до длины, превышающей , где максимальное значение метрики на .

Рис. 53. (см. скан) Точка удалена из пространства-времени, поскольку на ней находится сингулярность. Соответственно для поверхности существует горизонт Коши

На самом деле этот результат справедлив даже тогда, когда поверхность некомпактна, если при этом имеет отрицательную нижнюю грань. Однако это не обязательно свидетельствует о том, что любая времениподобная кривая должна встретиться с сингулярностью. Скорее, сингулярность будет сочетаться с горизонтом Коши, и потому мы лишимся возможности предсказывать будущее. Пример этого дан на рис. 53. Здесь метрика сингулярна в точке и соответственно эта точка вырезана из пространственно-временного многообразия. Существует горизонт Коши, расходящийся от этой дыры. Этот пример показывает, что самое большее, на что можно надеяться, — это доказать существование трехмерного семейства геодезических, которые неполны и остаются в пределах области Кошм поверхности Ф (в нашем примере это — геодезические, которые проходят через Могут быть иные

геодезические, которые уходят из области Коши и которые неполны, но мы не можем предсказать их поведение но условиям, заданным на .

Ясно, что в должно быть более одной неполной геодезической. Действительно, из теоремы 4 следует, что должна быть геодезическая у, ортогональная к , которая остается в но неполна. Пусть — точка, в которой у пересекает Тогда можно слегка изменить поверхность в окрестности точки так, чтобы получилась новая поверхность , для которой по-прежнему но которая не ортогональна к у. Тогда по теореме 4 должна найтись другая, ортогональная к времениподобная геодезическая у, которая неполна и не пересекает горизонт совпадающий с

В действительности можно доказать, что имеется по меньшей мере трехмерное семейство времениподобных геодезических (по одной через каждую точку некоторой ахрональной поверхности), которые остаются в и неполны. Все эти геодезические соответствуют одной и той же точке границы в смысле неразложимых прошлых множеств (разд. 6.8), т. е. все они имеют одно и то же прошлое. Однако в силу построения предыдущего раздела они не могут соответствовать одним и тем же точкам. Схема доказательства такова. В теореме 4 было показано, что должна существовать направленная в будущее ортогональная к времениподобная геодезическая, которую нельзя продолжить до длины Можно высказать более сильное утверждение: должна существовать такая геодезическая у, которая остается в пределах и в каждой своей точке является кривой максимальной длины, т. е. для каждой длина y от до равна Идея теперь состоит в том, чтобы рассмотреть функцию при Ясно, что она ограничена на Из того факта, что y— кривая максимальной длины от , следует, что в окрестности у функция непрерывна, и поверхности являются пространственноподобными поверхностями, пересекающими y ортогонально. Тогда времениподобные геодезические, ортогональные к этим поверхностям, остаются внутри , следовательно, неполны.