2.1. Многообразия

По существу многообразие есть пространство, локально подобное евклидову пространству в том смысле, что оно может быть покрыто кусками координатных сетей. Такая структура позволяет ввести дифференцирование, но не позволяет различить внутренним образом разные координатные системы. Следовательно, структурой многообразия определяются такие понятия, которые не зависят от выбора системы координат. Мы дадим точную формулировку понятия многообразия, введя предварительно некоторые определения.

Обозначим через евклидово пространство измерений, т. е. множество всевозможных наборов чисел с обычной топологией (открытые и замкнутые множества определены, как обычно). Пусть означает «нижнюю половину» т. е. область в которой Отображение открытого множества (соответственно на открытое множество (соответственно называется отображением класса или, короче, -отображением, если координаты точки в О, являющейся образом точки в О, есть -кратно непрерывно дифференцируемые функции (т. е. их производные существуют и непрерывны) координат точки Если отображение является отображением класса для любого то говорят, что это отображение класса или -отображение. Под -отображением мы подразумеваем непрерывное отображение.

Говорят, что функция на открытом множестве локально удовлетворяет условию Липшица, если для каждого открытого множества с компактным замыканием существует постоянная К, такая, что для любой пары точек означает

Отображение будем называть удовлетворяющим локально условию Липшица и обозначать это как если координаты точки как функции координат точки локально удовлетворяют условию Липшица. Аналогично, будем говорить, что есть -отображение, если оно класса и производные порядка координат являются функциями координат локально удовлетворяющими условию Липшица. В дальнейшем мы обычно рассматриваем функции класса но аналогичные определения и результаты справедливы и для функций класса

Пусть есть произвольное множество в R (соответственно в ) тогда отображение из в некоторое множество соответственно называется -отображением, если является сужением на С-отображения некоторого открытого множества О, содержащего на некоторое открытое множество содержащее .

n-Мерное многообразие класса или -многообразие, есть множество вместе с атласом класса С, т. е. с набором карт где — подмножества взаимно-однозначные отображения соответствующих на такие открытые множества в что

1) образуют покрытие

2) если не пусто, то отображение

есть -отображение некоторого открытого подмножества на открытое подмножество (рис. 4).

Каждое есть локально-координатная окрестность в том смысле, что в ней определены локальные координаты заданные отображением [т. е. если , то координатами точки являются координаты точки ].

Условие (2) требует, чтобы в пересечении двух координатных окрестностей координаты одной окрестности были функциями класса координат другой окрестности, и наоборот.

Какой-либо другой атлас называется совместным с данным -атласом, если их объединение есть атлас класса для всего многообразия Атлас, состоящий из всех атласов, совместных с данным, называется полным атласом многообразия. Таким образом, полный атлас есть множество всех возможных систем координат, покрывающих Топология в определяется требованием, чтобы все открытые множества состояли из объединений множества вида принадлежащих полному атласу. В такой топологии каждое отображение становится гомеоморфизмом.

Определение дифференцируемого многообразия класса с краем получается заменой на Тогда край многообразия обозначаемый определяется как множество всех точек многообразия , образы которых при отображении лежат на границе области представляет собой -мерное многообразие без края.

Эти определения могут показаться излишне сложными, однако простые примеры показывают, что описание пространства

единственной координатной окрестностью, вообще говоря, невозможно. Очевидно, двумерная евклидова плоскость, является многообразием. Декартовы координаты покрывают всю плоскость как одну координатную окрестность, в которой является тождественным отображением. Полярные координаты покрывают координатную окрестность нужны по меньшей мере две такие координатные окрестности, чтобы покрыть

Рис. 4. Там, где кооординатные окрестности и пересекаются, координаты связаны -отображением

Двумерный цилиндр представляет собой многообразие, получающееся из отождествлением точек Тогда являются координатами в окрестности , чтобы покрыть нужны две такие координатные окрестности. Лист Мёбиуса является многообразием, которое получается подобным же образом: отождествляются точки . Двумерную сферу (-сферу) единичного радиуса можно определить как поверхность в задаваемую уравнением Тогда

будут координатами в каждой из областей и понадобится шесть таких координатных окрестностей, чтобы покрыть всю сферу. В действительности вообще невозможно покрыть только одной координатной окрестностью. Аналогично, -мерную сферу (-сферу) можно определить как множество точек

Многообразие называется ориентируемым, если в полном атласе есть такой атлас что в каждом непустом пересечении якобиан где соответственно координаты в и положителен. Примером неориентируемого многообразия является лист Мёбиуса.

Пока мы дали самое общее определение многообразия. В большинстве случаев полезно наложить еще два условия, а именно, что хаусдорфово и паракомпактно. Это гарантирует нам обычные локальные свойства.

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если оно удовлетворяет аксиоме разделения Хаусдорфа: для любых двух различных точек существуют непересекающиеся открытые множества такие, что

Рис. 5. Пример нехаусдорфова многообразия. Эти две линии отождествлены при Однако точки а не отождествлены.

Нельзя считать, что всякое многообразие — непременно хаусдорфово. Рассмотрим, например, ситуацию, изображенную на рис. 5. На двух прямых отождествим те и только те точки и для которых Тогда любая точка содержится в некоторой (координатной) окрестности, гомеоморфной открытому подмножеству в Однако не существует непересекающихся открытых окрестностей , удовлетворяющих условию , где а — точка и а — точка

Атлас называют локально-конечным, если для любой точки найдется открытая окрестность, которая пересекается лишь с конечным числом множеств называют паракомпактным, если для любого атласа существует локально-конечньй атлас каждое Та которого содержится в некотором Связное хаусдорфово многообразие паракомпактно тогда и только тогда, когда оно обладает счетным базисом, т. е. существует такая счетная система открытых множеств, что любое открытое множество можно представить как объединение множеств из этой системы ([91], р. 271).

Если не оговаривается иное, все рассматриваемые далее многообразия предполагаются паракомпактными связными

хаусдорфовыми, многообразиями класса без края. Позднее мы увидим, что при наделении дополнительной структурой (о существовании аффинной связности см. разд. 2.4) требование паракомпактности выполняется автоматически в силу прочих ограничений.

Функция на О-многообразии есть отображение из Говорят, что она класса в точке если ее представление в некоторой локально-координатной окрестности есть функция класса (-функция) локальных координат точки называется -функцией на множестве если есть -функция в каждой точке

В дальнейшем мы воспользуемся следующим свойством паракомпактных многообразий (см. [91], р. 272). Пусть — любой локально-конечный атлас на паракомпактном О-многообразии; всегда можно найти систему функций класса таких, что

1) на при любом а;

2) носитель т. е. замыкание множества содержится в соответствующем

3) для всех

Такую систему функций будем называть разложением единицы. Этот результат справедлив, в частности, для функций класса но он, очевидно, не имеет места для аналитических функций (аналитическую функцию можно представить в виде сходящегося степенного ряда в некоторой окрестности каждой точки причем если она равна нулю в некоторой открытой окрестности, то она равна нулю всюду).

Наконец, прямое произведение многообразий есть многообразие со структурой, которая естественным образом определяется структурой для произвольных точек существуют координатные окрестности , содержащие соответственно и такие, что точка содержится в координатной окрестности и имеет в ней координаты где — координаты — координаты в Т.