6.6. Глобальная гиперболичность

С областями развития тесно связано свойство глобальной гиперболичности [99]. Множество называется глобально гиперболическим, если на выполняется предположение о сильной причинности и если для любых двух точек компактно и содержится в . В некотором смысле можно считать, что это определение говорит о том, что ни одна точка из не принадлежит краю пространства-времени, т. е. бесконечности или сингулярности. Термин «глобальная гиперболичность» возник в связи с тем, что волновое уравнение с источником в виде -функции в имеет в единственное решение, обращающееся в нуль вне (см. гл. 7).

Напомним, что называют причинно-простым, если для любого компактного множества содержащегося в замкнуты в

Предложение 6.6.1

Открытое глобальное гиперболическое множество -причинно простое.

Пусть любая точка множества Допустим, что есть точка

Поскольку открыто, должна быть точка Но тогда что невозможно, так как должно быть компактным и поэтому замкнутым. Таким образом, замкнуты в

Допустим теперь, что существует точка

Пусть — бесконечная последовательность точек сходящаяся к причем Для каждого будет компактным непустым множеством. Поэтому будет непустым множеством. Пусть — точка этого множества. Тогда при всех будут лежать в . Но замкнуто. Поэтому содержит

Следствие

Если — компактные множества компактно.

Можно найти конечное число точек для которых

Аналогично, существует конечное число точек таких, что содержится в

Тогда содержится в

и замкнуто.

В работе [99] Лере дал иное, но эквивалентное введенному выше определение глобальной гиперболичности; сейчас мы его сформулируем. Для точек для которых в выполняется условие сильной причинности, мы введем — пространство всех (непрерывных) непространственноподобных кривых, соединяющих при этом принимается, что две кривые представляют одну и ту же точку пространства если они получаются одна из другой перепараметризацией, т. е. если существует непрерывная монотонная функция такая, что (Пространство можно

ввести, даже если на условие сильной причинности не выполняется.) Топология определяется заданием окрестностей кривой состоящих из всех тех кривых в точки которых в лежат в окрестности точек у (рис. 45). Определение Лере [99] состоит в том, что множество называется глобально гиперболическим, если компактно для всех Эквивалентность этих определений видна из следующего результата:

Рис. 45. Окрестность точек кривой у в Окрестность у в состоит из всех кривых от до точки которых лежат в

Предложение 6.6.2 (Зейферт [156], Герок [52])

Пусть на открытом множестве выполняется сильная причинность. Тогда для глобальной гиперболичности необходимо и достаточно, чтобы пространство было компактно для всех

Предположим сначала, что компактно. Пусть — бесконечная последовательность точек и пусть — последовательность непространственноподобных кривых от до проходящих через соответствующую Ввиду компактности существует кривая X, к которой в топологии сходится некоторая подпоследовательность Пусть — такая окрестность кривой X в что компактно. Тогда будет содержать все а значит, и все при достаточно больших следовательно, имеется точка которая является предельной точкой последовательности Очевидно, лежит на X. Таким образом, любая бесконечная последовательность в имеет предельную точку в Поэтому компактно.

Обратно, допустим компактно. Пусть бесконечная последовательность непространственноподобных кривых от до По лемме 6.2.1, примененной к открытому множеству в нем существует направленная в будущее непространственноподобная кривая X с началом в которая непродолжима в и для которой найдется подпоследовательность сходящаяся к при каждом Кривая X должна иметь конечную точку в будущем, поскольку, согласно предложению 6.4.7, она не может быть полностью заключена в будущем в компактном множестве и не может покинуть это множество иначе как в

Пусть — любая окрестность и пусть — конечное множество точек на X, таких, что и каждая имеет окрестность удовлетворяющую условию Тогда для достаточно больших с . Следовательно, сходится к в топологии и пространство компактно.

Связь между глобальной гиперболичностью и областями Коши устанавливается следующими утверждениями:

Предложение 6.6.3

Если — замкнутое ахрональное множество, то

если оно не пусто, является глобально гиперболическим множеством.

Докажем сначала несколько лемм.

Лемма 6.6.4

Если то каждая непродолжимая в прошлое непространственноподобная кривая, проходящая через пересекает

Пусть — непродолжимая в будущее непространствеиноподобная кривая, проходящая через Тогда можно найти точку и непродолжимую в прошлое непространственноподобную кривую X, проходящую через нее, такие, что для каждой точки найдется точка лежащая в области Так как X пересекает 9 в некоторой точке то существует

Следствие

Если то любая непродолжимая иепростран ственноподобная кривая, проходящая через пересекает

Имеем Если или результат получается сразу. Если

то и отсюда снова следует то же утверждение.

Лемма 6.6.5

В выполняется условие сильной причинности.

Допустим, что через проходит непространственноподобная кривая X. Согласно предыдущему результату, должны существовать точки Поскольку точка то она принадлежит также и что противоречит ахрональности . Таким образом, в выполняется условие причинности. Теперь допустим, что в нарушается условие сильной причинности. Тогда, как и в лемме 6.4.6, должна существовать бесконечная последовательность направленных в будущее непространственпоподобных кривых которая сходится к проходящей через непродолжимой изотропной геодезической у. При этом существовали бы точки , следовательно, нашлась бы некоторая которая пересекает , а значит, и Это противоречит ахрональности

Доказательство предложения 6.6.3. Мы хотим показать, что компактно, если Рассмотрим сначала тот случай, когда и предположим, что Пусть — бесконечная последовательность непространственноподобных кривых, соединяющих и Согласно лемме 6.2.1, будет существовать направленная в будущее непространственноподобная предельная кривая с началом в которая непродолжима в Она должна иметь конечную точку будущем в так как иначе она пересекла бы , что невозможно, поскольку Рассмотрим теперь случай, когда Если конечной точкой предельной кривой X является то она и есть искомая предельная точка в Если не является конечной точкой X, то на ней должна быть точка поскольку X непродолжима в Пусть — подпоследовательность, которая сходится к для любой точки между и Пусть X — направленная в прошлое предельная кривая подпоследовательности с началом в Если конечной точкой в прошлом кривой X является точка то она и будет искомой предельной точкой в Допустим, что не является конечной точкой кривой X и она не ироходит через у. Тогда на ней должна быть некоторая точка Пусть — подпоследовательность сходящаяся к для любой точки между и Пусть Т — открытая окрестность кривой не содержащая у. Тогда для достаточно больших все должны принадлежать Т. Однако это невозможно,

ибо у — предельная точка Поэтому должна существовать непространственноподобная кривая от до которая будет предельной точкой последовательности в пространстве

Случаи, когда вместе с дуальными им случаями, исчерпывают все возможные комбинации. Следовательно, во всех этих случаях мы получаем непространственноподобную кривую от до являющуюся предельной точкой последовательности в топологии пространства

Подобными же рассуждениями можно доказать

Предложение 6.6.6

Если то или компактно, или пусто.

Чтобы показать, что глобально гиперболична вся область а не только ее внутренняя часть, необходимо наложить некоторые дополнительные условия.

Предложение 6.6.7

Если — замкнутое ахрональное множество, такое, что в одновременно удовлетворяются и условие сильной причинности, и одно из следующих условий:

1) непричинность (что имеет место, если и только если 9 непричинно);

2) компактность — тогда -глобально гиперболическое множество.

Допустим, что в какой-то точке условие сильной причинности не выполняется. Тогда в силу утверждения, аналогичного лемме 6.6.5, через должна проходить непродолжимая изотропная геодезическая, в каждой точке которой нарушена сильная причинность. Но это невозможно, поскольку такая кривая пересекала бы 9. Следовательно, на выполняется сильная причинность.

Если то выполняется условие предложения 6.6.3. Когда можно, как и при доказательстве предложения 6.6.3, провести из направленную в будущее предельную кривую , а из — направленную в прошлое предельную кривую Я и выбрать подпоследовательность которая сходится к для каждой точки на или . В случае (1) Я пересекает в единственной точке . В любой окрестности х будут точки кривых с достаточно большими , следовательно, ввиду ахрональности 9 в ней будет точка . Отсюда, будет сходиться к Аналогично, будет сходиться к . Таким образом, и можно соединить , что приводит к непространственноподобной предельной кривой в

В случае (2) предположим, что не является конечной точкой в будущем кривой X. Тогда X покинет область поскольку она пересекает и в силу предложения 6.4.7 должна выйти из компактного множества Поэтому на X можно найти точку которая не лежит в Для каждого выберем точку Поскольку 9 компактно, найдутся некоторая точка и подпоследовательность такие, что соответствующие точки сходятся к у. Допустим, что у не лежит на X. Тогда при достаточно больших будет лежать в будущем любой окрестности точки Это означает, что Однако последнее невозможно, поскольку х находится в но не в компактном множестве Поэтому X пройдет через у. Аналогично, X тоже пройдет через у. Итак, эти кривые можно соединить и получить предельную кривую.

Из предложения 6.6.3 следует, что существование поверхности Коши для открытого множества означает глобальную гиперболичность Из следующего предложения видна справедливость обратного утверждения.

Предложение 6.6.8 (Герок [57])

Если открытое множество глобально гиперболично, то оно, рассматриваемое как многообразие, гомеоморфно , где — трехмерное многообразие и есть поверхность Коши в многообразии для каждого а

Как и при доказательстве 6.4.9, введем на меру так, чтобы полный объем по этой мере был равен единице. Для введем функцию -объем области по мере Ясно, что ограниченная функция на она убывает вдоль любой направленной в будущее непространственноподобной кривой. Мы покажем, что глобальная гиперболичность означает непрерывность на так что нам не нужно, как при доказательстве предложения 6.4.9, «усреднять» объем будущего. Достаточно лишь доказать, что непрерывна на любой непространственноподобной кривой X.

Пусть и пусть — бесконечная последовательность точек на X, лежащих строго в прошлом относительно Пусть Допустим, что не полунепрерывна сверху в . При этом должна существовать точка Тогда но каждая точка , следовательно, что невозможно, поскольку, согласно предложению замкнуто в Подобным же образом доказывается нолунепрерывность снизу.

По мере движения точки в будущее вдоль непродолжимой непространственноподобной кривой на значение должно стремиться к нулю. Предположим, что имеется некоторая точка, которая лежит в будущем любой точки. Тогда направленная в будущее кривая к войдет в компактное множество и останется внутри его при любом что невозможно в силу предложения 6.4.7, так как на выполняется условие сильной причинности.

Рассмотрим теперь определенную на функцию Любая поверхность будет непричинным множеством и, согласно предложению 6.3.1, вложенным в трехмерным -многообразием. Она будет также поверхностью Коши для потому что вдоль любых непространственноподобных кривых стремятся к нулю в прошлом и в будущем соответственно. На можно ввести времениподобное векторное поле V и задать непрерывное отображение которое переводит точки вдоль интегральных кривых поля V на пересечения этих кривых с Тогда есть гомеоморфизм на который можно превратить в диффеоморфизм, если сгладить как при доказательстве предложения 6.4.9.

Таким образом, если все пространство-время глобально гиперболично, оно обладает весьма скучной топологией.