7.2. Приведенные уравнения Эйнштейна

В гл. 2 тензор Риччи был выражен через частные производные компонент метрического тензора по координатам. Для целей этой главы удобно получить выражение, применимое во всем многообразии а не только по отдельности в каждой координатной окрестности. Для этой цели введем наряду с физической метрикой фоновую метрику При двух метриках требуется осторожность в обращении с ковариантными и контравариантными индексами. (Во избежание путаницы мы откажемся на время от обычного правила поднятия и опускания индексов.) Ковариантные и коигравариантные формы и связаны соотношением

Удобно принять контравариантную форму метрики за основу и считать, что ковариантная форма выводится из (7.1). Используя альтернирующий тензор определенный фоновой метрикой, можно представить связь между в следующем явном виде:

где

есть определитель из компонент в базисе, ортонормированием относительно метрики

Разность связности Г, определяемой метрикой и связности Г, определяемой является тензором и может быть выражена через ковариантную производную относительно Г (ср. с разд. 3.3):

где вертикальной чертой обозначена ковариантная производная относительно Г, а символом — разность величин определенных относительно и Тогда из (2.20) следует, что

Отсюда

и

Наш план состоит в следующем. Выберем подходящую фоновую метрику и представим уравнения Эйнштейна в виде

Это уравнение будем рассматривать как нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для определения через его значения и значения его первых производных на некоторой начальной поверхности. Разумеется, чтобы эта система была полна, нужно задать уравнения, которым подчиняются физические поля, входящие в тензор энергии-импульса Однако даже тогда, когда это сделано, мы еще не имеем системы, которая однозначно определяет развитие во времени через начальные данные. Причина этого уже упоминалась: решения уравнений Эйнштейна могут быть единственны лишь с точностью до диффеоморфизма. Для получения определенного решения этот произвол устраняется наложением четырех калибровочных условий на ковариантные производные относительно фоновой метрики Мы будем пользоваться так называемыми «гармоническими» условиями:

которые аналогичны калибровочному условию Лоренца в электродинамике. Вместе с этим условием получим приведенные уравнения Эйнштейна

Мы обозначим левую часть уравнения (7.8) через где — оператор Эйнштейна. Таким образом, при подходящем выборе тензора энергии-импульса мы получаем гиперболические уравнения второго порядка и в разд. 7.5 продемонстрируем существование и единственность его решений. Но до этого нужно еще проверить совместность гармонических условий с уравнениями Эйнштейна. Поясним это: мы получили (7.8) из уравнений Эйнштейна, положив Теперь мы должны убедиться, что решение, к которому приводит (7.8), действительно обладает таким свойством. Для этого продифференцируем (7.8) и свернем. Получим уравнение вида

где точкой с запятой обозначена производная относительно а тензоры зависят от Уравнение (7.9) можно рассматривать как линейное гиперболическое уравнение второго порядка для Тогда, поскольку правая часть обращается в нуль, можно воспользоваться теоремой единственности решения для таких уравнений (предложение 7.4.5) и показать, что всюду, если значения этой величины и ее первых производных равны нулю на начальной поверхности.

В следующем разделе мы увидим, что подходящим диффеоморфизмом начальные данные для можно обратить в нуль.

Остается еще показать, что единственное решение, полученное наложением гармонического калибровочного условия, связано диффеоморфизмом с любым другим решением уравнений Эйнштейна с теми же начальными данными. Это будет сделано в разд. 7.4 путем специального выбора фоновой метрики.