Главная > Крупномасштабная структура пространства-времени
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.2. Приведенные уравнения Эйнштейна

В гл. 2 тензор Риччи был выражен через частные производные компонент метрического тензора по координатам. Для целей этой главы удобно получить выражение, применимое во всем многообразии а не только по отдельности в каждой координатной окрестности. Для этой цели введем наряду с физической метрикой фоновую метрику При двух метриках требуется осторожность в обращении с ковариантными и контравариантными индексами. (Во избежание путаницы мы откажемся на время от обычного правила поднятия и опускания индексов.) Ковариантные и коигравариантные формы и связаны соотношением

Удобно принять контравариантную форму метрики за основу и считать, что ковариантная форма выводится из (7.1). Используя альтернирующий тензор определенный фоновой метрикой, можно представить связь между в следующем явном виде:

где

есть определитель из компонент в базисе, ортонормированием относительно метрики

Разность связности Г, определяемой метрикой и связности Г, определяемой является тензором и может быть выражена через ковариантную производную относительно Г (ср. с разд. 3.3):

где вертикальной чертой обозначена ковариантная производная относительно Г, а символом — разность величин определенных относительно и Тогда из (2.20) следует, что

Отсюда

и

Наш план состоит в следующем. Выберем подходящую фоновую метрику и представим уравнения Эйнштейна в виде

Это уравнение будем рассматривать как нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для определения через его значения и значения его первых производных на некоторой начальной поверхности. Разумеется, чтобы эта система была полна, нужно задать уравнения, которым подчиняются физические поля, входящие в тензор энергии-импульса Однако даже тогда, когда это сделано, мы еще не имеем системы, которая однозначно определяет развитие во времени через начальные данные. Причина этого уже упоминалась: решения уравнений Эйнштейна могут быть единственны лишь с точностью до диффеоморфизма. Для получения определенного решения этот произвол устраняется наложением четырех калибровочных условий на ковариантные производные относительно фоновой метрики Мы будем пользоваться так называемыми «гармоническими» условиями:

которые аналогичны калибровочному условию Лоренца в электродинамике. Вместе с этим условием получим приведенные уравнения Эйнштейна

Мы обозначим левую часть уравнения (7.8) через где — оператор Эйнштейна. Таким образом, при подходящем выборе тензора энергии-импульса мы получаем гиперболические уравнения второго порядка и в разд. 7.5 продемонстрируем существование и единственность его решений. Но до этого нужно еще проверить совместность гармонических условий с уравнениями Эйнштейна. Поясним это: мы получили (7.8) из уравнений Эйнштейна, положив Теперь мы должны убедиться, что решение, к которому приводит (7.8), действительно обладает таким свойством. Для этого продифференцируем (7.8) и свернем. Получим уравнение вида

где точкой с запятой обозначена производная относительно а тензоры зависят от Уравнение (7.9) можно рассматривать как линейное гиперболическое уравнение второго порядка для Тогда, поскольку правая часть обращается в нуль, можно воспользоваться теоремой единственности решения для таких уравнений (предложение 7.4.5) и показать, что всюду, если значения этой величины и ее первых производных равны нулю на начальной поверхности.

В следующем разделе мы увидим, что подходящим диффеоморфизмом начальные данные для можно обратить в нуль.

Остается еще показать, что единственное решение, полученное наложением гармонического калибровочного условия, связано диффеоморфизмом с любым другим решением уравнений Эйнштейна с теми же начальными данными. Это будет сделано в разд. 7.4 путем специального выбора фоновой метрики.

1
Оглавление
email@scask.ru