Удобно принять контравариантную форму метрики
за основу и считать, что ковариантная форма выводится из (7.1). Используя альтернирующий тензор
определенный фоновой метрикой, можно представить связь между
в следующем явном виде:
где
есть определитель из компонент
в базисе, ортонормированием относительно метрики
Разность связности Г, определяемой метрикой
и связности Г, определяемой
является тензором и может быть выражена через ковариантную производную
относительно Г (ср. с разд. 3.3):
где вертикальной чертой обозначена ковариантная производная относительно Г, а символом
— разность величин определенных относительно
и
Тогда из (2.20) следует, что
Отсюда
и
Наш план состоит в следующем. Выберем подходящую фоновую метрику
и представим уравнения Эйнштейна в виде
Это уравнение будем рассматривать как нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для определения
через его значения и значения его первых производных на некоторой начальной поверхности. Разумеется, чтобы эта система была полна, нужно задать уравнения, которым подчиняются физические поля, входящие в тензор энергии-импульса
Однако даже тогда, когда это сделано, мы еще не имеем системы, которая однозначно определяет развитие во времени через начальные данные. Причина этого уже упоминалась: решения уравнений Эйнштейна могут быть единственны лишь с точностью до диффеоморфизма. Для получения определенного решения этот произвол устраняется наложением четырех калибровочных условий на ковариантные производные
относительно фоновой метрики
Мы будем пользоваться так называемыми «гармоническими» условиями:
которые аналогичны калибровочному условию Лоренца
в электродинамике. Вместе с этим условием получим приведенные уравнения Эйнштейна
Мы обозначим левую часть уравнения (7.8) через
где
— оператор Эйнштейна. Таким образом, при подходящем выборе тензора энергии-импульса мы получаем гиперболические уравнения второго порядка и в разд. 7.5 продемонстрируем существование и единственность его решений. Но до этого нужно еще проверить совместность гармонических условий с уравнениями Эйнштейна. Поясним это: мы получили (7.8) из уравнений Эйнштейна, положив
Теперь мы должны убедиться, что решение, к которому приводит (7.8), действительно обладает таким свойством. Для этого продифференцируем (7.8) и свернем. Получим уравнение вида
где точкой с запятой обозначена производная относительно
а тензоры
зависят от
Уравнение (7.9) можно рассматривать как линейное гиперболическое уравнение второго порядка для
Тогда, поскольку правая часть обращается в нуль, можно воспользоваться теоремой единственности решения для таких уравнений (предложение 7.4.5) и показать, что
всюду, если значения этой величины и ее первых производных равны нулю на начальной поверхности.
В следующем разделе мы увидим, что подходящим диффеоморфизмом начальные данные для
можно обратить в нуль.
Остается еще показать, что единственное решение, полученное наложением гармонического калибровочного условия, связано диффеоморфизмом с любым другим решением уравнений Эйнштейна с теми же начальными данными. Это будет сделано в разд. 7.4 путем специального выбора фоновой метрики.