5.4. Пространственно-однородные космологические модели

Как мы видим, в любом пространстве-времени Робертсона — Уокера, в котором и постоянная Л не слишком ве-велика, имеются сингулярности. Однако из этого нельзя делать вывода о существовании сингулярностей в более реалистических моделях мира, учитывающих тот факт, что Вселенная не однородна и не изотропна. Конечно, никто не надеется получить точное решение, которое бы описывало Вселенную во всех деталях. Однако можно найти точные решения с меньшими ограничениями, чем в решениях Робертсона — Уокера, которые могли бы служить приемлемой моделью Вселенной, и посмотреть, имеются в них сингулярности или нет; тот факт, что эти модели действительно содержат сингулярности, указывает на то, что существование сингулярностей, возможно, является общим свойством всех пространств, которые можно принять в качестве разумных моделей Вселенной.

Мы получим простой класс таких решений, если, сохраняя требование пространственной однородности (строгий принцип Коперника), откажемся от требования изотропии (в настоящее время Вселенная кажется приблизительно изотропной, но могла быть значительная анизотропия в более ранние эпохи). Таким образом, в этих моделях предполагается существование группы изометрий орбитами которой в некоторой части модели являются пространственноподобные гиперповерхности. (Орбита точки под действием группы есть множество точек, в которые переводится точка под действием всех элементов группы.) Такие модели локально можно построить известными методами; случай рассмотрен в [76], случай — в [87] (если пространство-время по необходимости является пространством Робертсона—Уокера).

Наиболее простой случай пространственной однородности — это когда соответствующая группа изометрий абелева; тогда пространство относится к типу I по классификации Бианки [7]; гак что пространство-время с такой группой изометрий будем называть пространством типа I Бианки. Мы рассмотрим некоторые свойства этих пространств и затем сформулируем теорему, утверждающую, что сингулярности имеют место во всех непустых пространственно-однородных моделях, в которых удовлетворяется условие времениподобного схождения (разд. 4.3).

Допустим, что пространственно-однородное нросгранство-время обладает абелевой группой изомстрий; для простоты

предположим, что и что материальное содержимое Вселенной представляет собой идеальную жидкость без давления («пыль»). Тогда существуют сопутствующие координаты , в которых метрика имеет вид

Если соотношением ввести функцию то из законов сохранения видно, что плотность материи определяется равенством где М — подходящим образом выбранная постоянная. Общее решение полевых уравнений можно записать в виде

причем

-постоянная, характеризующая степень анизотропии (мы исключаем изотропный случай совпадающий со вселенной Эйнштейна—де Ситтера (разд. 5.3)), а постоянная а задает направление наиболее быстрого расширения. Средняя скорость расширения определяется равенством

скорость расширения в направлении х равна

а скорости расширения в направлениях у и даются выражениями, в которых а заменена соответственно на Такое решение описывает расширение из сильно анизотропного сингулярного состояния при приводящее при больших к почти изотропной фазе, в которой пространство-время такое же, как во вселенной Эйнштейна — де Ситтера. Средняя длина монотонно возрастает по мере возрастания первоначально высокая скорость ее изменения при малых постоянно убывает при больших Следовательно, в ранние периоды анизотропная Вселенная эволюционирует быстрее, чем ее изотропный эквивалент.

Допустим, что мы рассматриваем эту модель назад во времени и приближаемся к сингулярности. Первоначальное почти

изотропное сжатие станет сильно анизотропным в ранние периоды. При общем значении а, т. е. при член будет отрицательным. Следовательно, коллапс в направлении оси должен прекратиться и смениться расширением, причем скорость расширения в достаточно поздние моменты времени стремится к бесконечности. Напротив, в направлении осей х и у коллапс будет монотонно стремиться к сингулярности. Таким образом, при развитии рассматриваемой модели в обычном направлении времени мы имеем «сигарообразную» сингулярность: вдоль оси материя коллапсирует из бесконечности, затем коллапс прекращается и начинается расширение, в то время как в направлениях осей х и у материя монотонно расширяется во все моменты времени. Если в такой Вселенной можно было бы принять какой-либо сигнал, испущенный в достаточно ранние моменты времени, то в направлении оси наблюдалось бы максимальное красное смещение; материю в более ранние моменты времени мы наблюдали бы со все уменьшающимся красным смещением, которое переходило бы по мере удаления в прошлое в фиолетозое смещение.

Несколько иначе происходит развитие в специальном случае Тогда оба множителя и обращаются в нуль и скорости расширения имеют вид

Если рассматривать обращенную во времени модель, то скорость коллапса в направлениях у и асимптотически замедляется до нуля, а в направлении х бесконечно возрастает. При обычном направлении времени мы имеем «блинообразную» сингулярность: материя монотонно расширяется во всех направлениях с бесконечно большой начальной скоростью расширения в направлении оси х и без начальной скорости в направлениях осей у и . Красное смещение в направлении оси х будет сколь угодно большим, а в направлении у и z — конечным.

Дальнейшее исследование показывает, что в общем («сигарообразном») случае, несмотря на анизотропию расширения, существуют горизонты частиц в каждом направлении. В специальном («блйиообразном») случае в направлении нет никаких горизонтов; действительно, координаты частиц, которые видны в момент из начала координат , лежат внутри бесконечного цилиндра

где

Хотя мы рассмотрели пространственно-однородные модели только при пулевом давлении и легко можно получить свойства этих пространств при более реалистическом материальном содержимом; если, например, мы возьмем идеальную жидкость с или смесь фотонного газа и вещества с поведение вблизи сингулярности будет таким же, как и в случае пыли.

Интересным следствием отсутствия горизонта частиц в направлении оси х в специальном («блинообразном») случае является возможность непрерывного продолжения решения за сингулярность. Покажем это в случае решения для пыли.

Метрика имеет вид (5.16), причем теперь

Введем новые координаты удовлетворяющие уравнениям

Тогда получаем, что метрика (5.16), (5.17) в новых координатах имеет вид

где

при этом все пространство (при ) отображается на область определяемую неравенствами Функция теперь задана как решение уравнения

где На плоскости введены конформно-плоские координаты. Проекция области Т, ограниченной поверхностью на эту плоскость изображена на рис. 22. На этой диаграмме мировые лииии частиц изображаются прямыми линиями, расходящимися от начала.

Функции непрерывны при сверху. Поэтому решения можно, продолжить непрерывно из верхней полуплоскости на всю плоскость положив, что (5.19) выполняется всюду (5.20) — внутри Т и что вне области имеет место равенство

(кликните для просмотра скана)

Тогда формула (5.18) дает -метрику, которая внутри Т эквивалентна (5.16), (5.17), а вне Т является метрикой плоского пространства-времени. Однако это решение не принадлежит классу при переходе через границу У, и плотность материи становится на этой границе бесконечной (поскольку на ней Из-за того, что первые производные квадратично-неинтегрируемы, уравнения Эйнштейна на этой границе невозможно трактовать даже в смысле обобщенных функций (см. разд. 8.4). Хотя продолжение решения на границу единственно, нет способа сделать его однородным вне области У. Итак, мы получили продолжение для случая пыли; подобным же образом можно продолжить решение в случае смеси вещества и излучения.

Вернемся теперь к рассмотрению непустых пространственнооднородных моделей общего вида. Существование сингулярности в таких моделях прямо следует из уравнения Райчаудхури, если материя движется по геодезическим без вращения (как это будет, например, в случае ортогональности геодезических к поверхностям однородности и при выполнении условия времениподобного сближения). Однако существуют пространства, в которых вещество обладает ускорением и турбулентностью; возможно, какой-либо из этих двух факторов может воспрепятствовать появлению сингулярности. Следующий результат, являющийся усовершенствованным вариантом теоремы Хокинга и Эллиса [74], показывает, что в действительности ни ускорение, ни вращение не могут помешать существованию сингулярностей в этих моделях.

Теорема

Модель не может быть времениподобно геодезически полной, если;

1) для всех времениподобных и изотропных векторов К (это справедливо, если тензор энергии-импульса типа I (разд. 4.3) и

2) существуют уравнения движения материальных полей, для которых задача Коши имеет единственное решение (см. гл. 7);

3) данные Коши на некоторой пространственноподобной -поверхности инвариантны относительно группы диффеоморфизмов которая транзитивна на

Поскольку внутренняя геометрия инвариантна относительно транзитивной группы диффеоморфизмов, последние являются изометриями и многообразие полно, т. е. не может иметь края. Можно показать (см. разд. 6.5), что из существования непространственноподобной кривой, пересекающей более одного раза, следует существование для Л накрывающего

многообразия в котором каждая связная компонента образа поверхности будет пересекаться не более одного раза с любой непространствеппоподобной кривой. Допустим, что — временпподобное геодезически полное многообразие, и покажем, что это противоречит условиям (1) — (3).

Пусть — связная компонента образа Согласно условию (3), данные Коши на однородны. Поэтому по условию (2) область Коши какой-либо области изометрична области Коши любой другой подобной области Вследствие этого однородны и поверхности где есть расстояние от измеренное вдоль геодезических нормалей к если они лежат внутри области Коши поверхности Эти поверхности должны лежать или целиком внутри или целиком вне области Коши ибо в противном случае на существовали бы эквивалентные области, которые имели бы неэквивалентные области Коши. Поверхности будут лежать в области Коши постольку, поскольку они остаются пространственноподобными, ибо граница (если она существует) области Коши поверхности должна быть изотропной (разд. 6.5).

Геодезическая, ортогональная к будет ортогональной и к поверхностям поскольку вектор девиации точек, отстоящих на равном расстоянии от вдоль соседних геодезических, сохраняет ортогональность к этим геодезическим, если он был ортогонален к ним первоначально. Как и в разд. 4.1, пространственное разделение соседних геодезических, ортогональных к молено охарактеризовать матрицей А, которая единична на Пока А не вырождена, отображение из на поверхности задаваемое нормальными геодезическими, будет ранга 3, так что эти поверхности будут пространственноподобными -поверхностями, находящимися в пределах области Коши Расхождение

этих геодезических подчиняется уравнению Райчаудхури (4.26) с нулевыми вращением и ускорением. По условию для всех времениподобных векторов Следовательно, 0 становится бесконечным, а матрица А — вырожденной при некотором конечном положительном или отрицательном значении параметра Отображение из на поверхность может иметь самое большее ранг 2, поэтому на найдется по крайней мере одно векторное поле для которого Интегральные кривые этого векторного поля являются теми кривыми на

которые отображаются геодезическими нормалями в одну точку на поверхности Таким образом, эта поверхность будет самое большее двумерной. Поскольку при геодезические лежат в области Коши поверхности поверхность будет лежать или внутри или на границе этой области. Согласно условию (1), тензор энергии-импульса имеет единственный времениподобпый собственный вектор в каждой точке. Эти собственные векторы образуют времениподобное векторное С-поле, интегральные кривые которого можно рассматривать как линии тока вещества. Все линии тока, проходящие через должны пересекать Но тогда в силу однородности все линии тока, проходящие через должны проходить и через Следовательно, линии тока задают диффеоморфизм между и поверхностью Это невозможно, так как трехмерная поверхность, двумерная. а

В самом деле, если все линии тока должны проходить через двумерную поверхность, то следует ожидать, что плотность вещества станет бесконечной. Таким образом, мы убедились, что крупномасштабные вращение или ускорение не могут сами по себе воспрепятствовать появлению сингулярностей во вселенной, подчиняющейся строгому принципу Коперника. Из последующих теорем мы увидим, что неоднородности также не могут запретить существование сингулярностей в моделях мира.