5.3. Пространство Робертсона — Уокера

До сих пор мы не интересовались тем, как связаны с реальной физической Вселенной точные решения. Следуя Эйнштейну, мы можем спросить: найдется ли пространство-время, которое является точным решением для какой-либо подходящей формы материи и при этом хорошо описывает крупномасштабные свойства наблюдаемой Вселенной? Если таковое найдется, то мы можем утверждать, что имеем разумную «космологическую модель», т. е. модель физической Вселенной.

Однако мы не можем построить космологическую модель, которая была бы свободна от некоторой примеси философии. В самых ранних космологиях человек приписывал себе господствующее положение в центре Вселенной. Начиная с времен Коперника, мы постепенно спустились на среднего размера планету, обращающуюся вокруг среднего размера звезды на окраине довольно обычной галактики, которая сама является всего лишь членом Местной группы галактик. Мы стали теперь столь демократичны, что не возьмемся утверждать, будто наше положение в пространстве хоть как-то выделено. Вслед за Бонди [10] будем называть предположение о невыделенности нашего положения принципом Коперника.

Этот несколько туманный принцип можно интерпретировать следующим образом: при выборе подходящего масштаба Вселенная приблизительно пространственно однородна.

Под пространственной однородностью мы подразумеваем существование действующей на группы изометрий, поверхности транзитивности которой являются пространственноподобными -поверхностями; другими словами, любая точка на одной из этих поверхностей эквивалентна любой другой точке той же поверхности. Конечно, Вселенная не в точности пространственно однородна; в ней существуют локальные неоднородности, такие,

как звезды и галактики. Тем не менее представляется разумным предположить, что Вселенная пространственно однородна в достаточно больших масштабах.

Хотя мы и можем построить математические модели, удовлетворяющие этому требованию однородности (см. следующий раздел), по непосредственно проверить однородность с помощью наблюдений трудно вследствие того, что нет простого способа измерения расстояний до удаленных объектов. Эта трудность смягчается тем обстоятельством, что в принципе мы довольно легко можем обнаружить путем наблюдений внегалактических объектов изотропию (т. е. проверить, совпадают ли результаты наблюдений в различных направлениях), а изотропия тесно связана с однородностью. Выполненные до сих пор наблюдения по проверке изотропии подтверждают вывод о приближенной сферической симметрии окружающей нас Вселенной.

В частности, было показано, что внегалактические радиоисточники распределены приблизительно изотропно, а обнаруженный недавно фон микроволнового излучения в исследованной области спектра в высшей степени изотропен.

Записать и исследовать метрики для всех случаев сферически-симметричиого пространства-времени вполне возможно. Конкретными примерами пространств с такой симметрией являются решения Шварцшильда и Райснера—Нордстрема (см. разд. 5.5), которые, однако, являются асимптотически плоскими пространствами. Вообще говоря, в сферически-симметричных пространствах есть самое большее две точки, из которых пространство представляется сферически-симметричным. Такие пространства могут служить моделями пространства-времени вблизи массивного тела, но если принять их в качестве моделей Вселенной, то это согласуется с изотропией по данным наших наблюдений лишь при условии, что мы расположены вблизи какой-то весьма специфической точки. Исключением являются те модели, в которых Вселенная изотропна относительно каждой точки в пространстве-времени; поэтому мы будем трактовать принцип Коперника как утверждение о приближенной сферической симметрии Вселенной относительно каждой точки (поскольку она приближенно сферически-симметрична вокруг нас).

Как было показано Уокером [171], точная сферическая симметрия относительно каждой точки означает, что Вселенная пространственно однородна и допускает 6-параметрическую группу изометрнй с поверхностями транзитивности в виде простраи-ственноподобных 3-поверхностей постоянной кривизны. Такого рода пространства называются пространствами Робертсона — Уокера (или Фридмана); пространство Минковского, пространства де Ситгера обоих родов являются частными случаями пространства Робертсона — Уокера общего вида. Отсюда мы

заключаем, что пространства Робертсона — Уокера дают хорошее приближение к крупномасштабной геометрии пространства-времени в области, доступной нашим наблюдениям.

В пространстве Робертсона — Уокера координаты можно выбрать так, чтобы метрика имела вид

где — метрика трехмерного пространства постоянной кривизны, причем она не зависит от времени. Геометрия этого трехмерного пространства существенно зависит от того, положительна, отрицательна или равна нулю его кривизна К; подбором функции можно нормировать К, так, чтобы в первых двух случаях она была равна +1 или —1. Тогда метрику можно записать в виде

где

Если или координата пробегает значения от 0 до а при имеем При или трехмерное пространство диффеоморфно , таким образом, «бесконечно»; когда оно диффеоморфно трехмерной сфере , следовательно, компактно («закрыто» или «конечно») Можно было бы отождествить подходящие точки в этих трехмерных пространствах и получить иные глобальные топологии; в случае отрицательной и нулевой кривизны это можно сделать даже так, чтобы в результате получилось компактное трехмерное пространство [102]. Однако такая компактная поверхность постоянной кривизны не допускает никакой непрерывной группы изометрий [175]: хотя в каждой точке существуют векторы Киллинга, они не задают какое-либо глобальное векторное поле Киллинга, и локальные группы изометрий, определяемые ими, нельзя объединить в одну глобальную группу. В случае нулевой кривизны компактное пространство может обладать только 3-параметрической группой изометрий. Ни в одном случае полученное пространство-время не будет изотропным. Мы не будем делать подобных отождествлений, поскольку поводом для изучения пространств Робертсона — Уокера была их изотропия (и, следовательно, наличие 6-параметрической группы изометрий). В действительности единственным отождествлением, которое не приводит к анизотропному пространству, является отождествление аитиподальных точек на в случае постоянной положительной кривизны.

Симметрия решений Робертсона — Уокера требует, чтобы тензор энергии-импульса имел вид, соответствующий идеальной жидкости, плотность и давление которой являются функциями только временной координаты , а линии тока описываются кривыми что — сопутствующие координаты). Можно считать, что эта жидкость оиисывает материю во Вселенной в приближении равномерного «размазывания»; тогда функция характеризует девиацию соседних линий тока, т. е. «близких» галактик.

Уравнение сохранения энергии (3.9) теперь принимает вид

Уравнение Райчаудхури (4.26) выглядит следующим образом:

уравнения поля сводятся к одному уравнению [по существу, это соотношение (2.35)]:

Когда соотношение (5.12) можно получить (с произвольным значением К) как первый интеграл уравнений (5.10), (5.11); таким образом, оно фактически служит для отождествления постоянной К с кривизной трехмерного пространства с метрикой

Разумно предположить (см. энергетические условия, разд. 4.3), что (В действительности по современным оценкам ) Тогда, если то из (5.11) видно, что 5 не может быть постоянной; иначе говоря, из уравнений поля следует, что Вселенная должна или расширяться, или сжиматься. Наблюдения показывают (это впервые обнаружили Слайфер и Хаббл), что галактики удаляются от нас, т. е. что в настоящее время вещество во Вселенной расширяется. Последние наблюдения дают для современного значения значение

(по-видимому, с точностью до множителя ). Отсюда, согласно (5.11), следует, что при должна обратиться в нуль за некоторый конечный интервал времени в прошлом (время измеряется вдоль мировой линии нашей Галактики), причем

Из (5.10) следует, что по мере расширения Вселенной плотность уменьшается; в прошлом, наоборот, она была выше и принимала сколь угодно большие значения при Поэтому точка, где

не является только координатной особенностью, как при введении координат (5.9) во вселенной де Ситтера 2-го рода; тот факт, что плотность обращается при в бесконечность, означает, что некоторый скаляр, определяемый тензором кривизны, тоже бесконечен. Это делает подобную сингулярность даже серьезней, чем та, которая возникает в соответствующей ньютоновской ситуации; в обоих случаях мировые линии всех частиц пересекаются в одной точке и плотность становится бесконечной, но здесь становится сингулярным в точке само пространство-время. Мы должны исключить эту точку из пространственно-временного многообразия, поскольку в ней не могут выполняться никакие известные физические законы.

Эта сингулярность — наиболее удивительное свойство решений Робертсона — Уокера. Она возникает во всех моделях, в которых и Л отрицательна, равна нулю или имеет не слишком большое положительное значение. Сингулярность означает, что у Вселенной (или по крайней мере у той ее части, о физике которой мы имеем некоторое представление) имеется начало, отдаленное от нас конечным промежутком времени. Однако этот результат основан на предположении о строгой пространственной однородности и сферической симметрии. Хотя это предположение может оказаться разумным приближением для достаточно больших масштабов в настоящее время, оно, конечно, не выполняется локально. Можно допустить, что при прослеживании эволюции Вселенной назад во времени местные неоднородности настолько возрастут, что они смогут воспрепятствовать появлению сингулярности, приводя к «упругому отражению» частей Вселенной. Может ли подобное произойти и содержатся ли сингулярности в реалистических решениях с неоднородностями — это центральные вопросы космологии; их обсуждение составляет основной предмет этой книги. Как мы увидим, имеются веские основания считать, что физическая Вселенная действительно была сингулярной в прошлом.

Если задана какая-либо разумная связь между уравнение (5.10) можно проинтегрировать и получить в функции 5. Давление в настоящую эпоху очень мало. Если положить равными нулю, то из (5.10) находим

где М — постоянная; при этом (5.12) имеет вид

Первое уравнение выражает сохранение массы при нулевом давлении, а второе (уравнение Фридмана) представляет собой уравнение сохранения энергии для сопутствующего объема материи;

постоянная Е — это сумма кинетической и потенциальной энергий. Если то будет возрастать до некоторого максимального значения и затем спадет до нуля; если же (т. е. ), то возрастет неограниченно.

Явные решения уравнения (5.13) примут простой вид, если их записать через новый временной параметр определяемый равенством

тогда имеем

(Случаю соответствует вселенная Эйнштейна — де Ситтера; очевидно, тогда

При поведение качественно такое же. В частности, для где , получаем и решение (5.12) вблизи сингулярности имеет вид

Если то решение свидетельствует о расширении от начальной сингулярности к некоторому максимуму с последующим коллапсом во вторую сингулярность. Если то для или —1 расширение продолжается вечно, и асимптотически решение приближается к стационарной модели. При существует несколько возможностей. Если больше некоторого значения Лкрит (при решение начинается с сингулярности и описывает вечное расширение с асимптотическим приближением к стационарной модели. При Лкрит имеем статическое решение — статическую вселенную Эйнштейна. [Метрическая форма - это частный случай статического решения Эйнштейна с Существует еще решение, начинающееся с сингулярности и асимптотически приближающееся к вселенной Эйнштейна, и решение, начинающееся со вселенной Эйнштейна в бесконечном прошлом и все время расширяющееся. Еслн , имеется два решения: одно описывает расширение от начальной сингулярности и затем коллапс во вторую сингулярность; второе — сжатие, начинающееся при бесконечном радиусе в бесконечном прошлом, до некоторого минимального радиуса с последующим

расширением. Только это последнее решение и решение, которое в бесконечном прошлом асимптотически приближается к статической вселенной, могли бы соответствовать наблюдаемой Вселенной не иметь при этом сингулярностей. Однако в этих моделях всегда что, по-видимому, противоречит результатам наблюдений красных смещений далеких галактик [145, 146]. Кроме того, максимальная плотность в этих моделях, оказывается, не слишком сильно отличается от современной плотности, что приводит к трудностям в объяснении таких явлений, как микроволновой фон излучения и распространенность гелия в космосе: перечисленные явления скорее всего свидетельствуют об очень горячей плотной фазе в истории Вселенной.

Так же как и в предыдущих случаях, мы можем построить конформные отображения пространств Робертсона — Уокера в статическое пространство Эйнштейна. В качестве временной координаты будем использовать параметр определяемый соотношением (5.14); тогда метрика принимает вид

В случае она Уже конформна статическому пространству Эйнштейна [для согласования с обозначениями формулы (5.7) нужно положить Таким образом, это пространство отображается точно на ту часть статического пространства Эйнштейна, которая определяется областью значений т. Когда меняется в пределах и все пространство отображается на эту область статического пространства, а его граница — на трехмерные сферы (Если оно отображается на область, в которой где а — некоторое число). В случае пространство в тех же координатах оказывается конформно-плоским [см. (5.15)], так что после конформных преобразований (см. разд. 5.1) мы получим отображение рассматриваемого пространства на область, представляющую пространство-время Минковского в статической вселенной Эйнштейна (см. рис. 14); конкретный вид области отображения снова определяется значениями, которые принимает . При имеем , следовательно, это пространство (которое при представляет собой пространство Эйнштейна — де Ситтера) конформно половине области, изображающей пространство-время Минковского. В случае получаем метрику, конформную части той области статического пространства Эйнштейна, для которой причем

Какая именно часть этой области покрывается, зависит от области изменения при рассматриваемое пространство отображается на верхнюю половину.

Рис. 21. (см. скан) а — пространства Робертсона — Уокера конформны изображенным на рисунке областям, которые соответствуют трем случаям: ; б — диаграмма Пенроуза пространства Робертсона — Уокера в — диаграмма Пенроуза пространства Робертсона — Уокера при или

Итак, мы установили, что эти пространства и их границы конформны некоторой (вообще говоря, конечной) области статического пространства Эйнштейна (рис. 21, а). Однако имеется важное отличие от предыдущих случаев: часть границы теперь не

является «бесконечностью» в прежнем смысле, а представляет собой сингулярность, в которой . (Можно считать, что конформный множитель переводит бесконечную область в конечную путем бесконечно сильного сжатия, а сингулярную точку превращает в конечную область бесконечно сильным растяжением.) Вносимые при этом в конформные диаграммы отличия по существу невелики: мы по-прежнему можем построить диаграммы Пенроуза (рис. 21, б и в). В каждом случае, когда 0, сингулярность при изображается пространственноподобной поверхностью. Это соответствует существованию горизонтов частиц (определяемых точно так же, как в разд. 5.2) в пространствах Робертсона — Уокера. Когда граница в будущем также пространственноподобна, из чего следует существование горизонтов событий для фундаментальных наблюдателей. Если или то бесконечность будущего изотропна, и в этих случаях нет никаких горизонтов событий будущего для фундаментальных наблюдений.

На этом этапе нам следует разобраться в таком вопросе: пространство де Ситтера 2-го рода можно представить в робертсон-уокеровском виде (5.9) и затем отобразить конформно на часть статической вселенной Эйнштейна. Если это проделать, то мы обнаружим, что координаты Робертсона — Уокера покрывают только малую часть всего пространства-времени. Иначе говоря, пространство-время, описываемое координатами Робертсона—Уокера, можно расширить. Поэтому нам нужно показать, что вселенные Робертсона — Уокера, в которых имеется материя, на самом деле нерасширяемы.

Это действительно так, поскольку при для любого вектора X в произвольной точке можно показать, что геодезическая проходящая через в направлении X, удовлетворяет одному из двух условий:

1) можно продолжить на произвольные положительные значения или

2) существует некоторое значение такое, что скалярный инвариант

не ограничен на

Ясно, что поверхности являются поверхностями Коши в этих пространствах. Далее, мы видим, что сингулярность в них универсальна в следующем смысле: все времениподобиые и изотропные геодезические, проходящие через какую-либо точку пространства, приближаются к сингулярности при некотором конечном значении своего аффинного параметра. (Поскольку

изотропные геодезические образуют границу прошлого каждой точки, непродолжимые времениподобные кривые также стремятся к сингулярности.)