Глава 9. Гравитационный коллапс и черные дыры

В этой главе мы покажем, что звезды массой более должны претерпеть коллапс после того, как их ядерное топливо иссякнет. Если начальные условия не слишком асимметричны, то будут выполнены условия теоремы 2 и, следовательно, будет иметь место сингулярность. Однако эта сингулярность, по всей вероятности, скрыта от глаз внешнего наблюдателя, который видит только «черную дыру» там, где когда-то была звезда. Мы выведем ряд свойств таких черных дыр и покажем, что в результате их эволюции, по-видимому, устанавливается ситуация, описываемая решением Керра.

Коллапс звезд рассмотрен в разд. 9.1, в котором показано, как может возникнуть замкнутая ловушечная поверхность вокруг любой достаточно большой сферической звезды на поздних стадиях ее эволюции. В разд. 9.2 мы исследуем горизонт событий, который, по-видимому, образуется вокруг такого коллапсирующего тела. В разд. 9.3 рассматривается конечное стационарное состояние, к которому приводит решение вне горизонта. Вероятно, это должно быть одно из решений семейства Керра. В таком случае можно наложить определенные ограничения на количество энергии, способное выделиться в рассматриваемом процессе.

Для более глубокого изучения черных дыр см.: Black Holes. Les Houches 1972, В. Dewitt, cd. Gordon a. Breach, 1973.

9.1. Коллапс звезды

Вне статического сферически симметричного тела, такого, как звезда, решением уравнений Эйнштейна с необходимостью является та часть одной из асимптотически плоских областей решения Шварцшильда, для которой больше некоторого значения соответствующего поверхности звезды. Это решение можно сшить при с решением, которое зависит от конкретного радиального распределения плотности и давления в звезде. Даже когда звезда не статическая, но сохраняет свою сферическую симметрию, внешнее решение будет фактически частью решения Шварцшильда, обрезанного на поверхности звезды. (Это и есть теорема Биркгофа, доказательство которой дано в приложении Б). Если звезда статическая, то должно

быть больше (радиус Шварцшильда). Это следует из того, что поверхность статической звезды должна соответствовать орбите временниодобного вектора Киллинга, а в решении Шварцшильда времениподобный вектор Киллинга существует только при . Если меньше то поверхность звезды должна расширяться или сжиматься. Чтобы дать представление о величине радиуса Шварцшильда, отметим, что для Земли он равен ~ 1 см, а для Солнца 3,0 км. Отношения шварцшильдова радиуса к радиусу для Земли и Солнца равны соответственно и . Таким образом, радиусы нормальных звезд далеки от соответствующих шварцшильдовых радиусов.

Эволюция типичной звезды включает длительную лет) квазистатическую фазу, в которой расходуется ядерное топливо, а тепловое давление и давление излучения уравновешивают силу тяжести. Но когда ядерное топливо выгорает, звезда начинает остывать, давление падает, и вследствие этого звезда сжимается. Предположим теперь, что давление не может остановить это сжатие, прежде чем радиус звезды не станет меньше ее радиуса Шварцшильда (ниже мы увидим, что это, по всей видимости, возможно для звезды с массой больше некоторого определенного значения). Тогда, поскольку решение вне звезды шварцшильдово, вокруг звезды будет существовать замкнутая ловушечная поверхность (рис. 54) и, согласно теореме 2, должна существовать сингулярность, если только не нарушается причинность и выполняются соответствующие энергетические условия. Существенно, однако, что если звезда не является в точности сферически симметричной, при некотором не слишком большом отклонении звезды от сферической симметрии замкнутая ловушечная поверхность все равно возникает. Это следует из доказанной в разд. 7.5 устойчивости решения задачи Коши. В самом деле, мы можем рассматривать данное решение как развитие из некоторой частичной поверхности Коши (рис. 55). Если теперь мы изменим начальные данные на малую величину в компактной области то новое развитие из поверхности в области будет достаточно близким к прежнему, так что в возмущенном решении вокруг звезды по-прежнему будет существовать замкнутая ловушечная поверхность. Таким образом, мы показали, что имеется множество начальных данных ненулевой меры, которые приводят к замкнутой ловушечной поверхности и, следовательно, согласно теореме 2, к сингулярности.

Звезда может вращаться или обладать магнитным полем, и это две главные причины, по которым ее сферическая симметрия может быть нарушена. Изучая решение Керра, мы можем составить некоторое представление о том, каким быстрым должно быть вращение без того, чтобы оно воспрепятствовало

(кликните для просмотра скана)

появлению ловушечной поверхности. Предполагается, что решение Керра можно рассматривать как внешнее решение для тела массы с моментом количества движения При имеются замкнутые ловушечные поверхности, а при они отсутствуют.

Рис. 55. Коллапс сферической звезды (как на рис. 54, е). Изображена частичная поверхность Коши Начальные данные в компактной области поверхности X ведут к появлению замкнутой ловушечной поверхности в компактной области

Поэтому можно ожидать, что при моменте количества движения звезды больше квадрата ее массы вращение может прекратить сжатие звезды еще до появления замкнутой ловушечной поверхности. Подобный вывод следует из того, что при и сохранении момента количества движения в течение коллапса скорость вращения поверхности звезды приближается к скорости света, когда радиус звезды близок к ее радиусу Шварцшильда. В настоящее время у многих звезд моменты количества движения больше квадратов их масс (для Солнца Однако, по-видимому, есть основания ожидать, что в результате торможения магнитным полем и

гравитационного излучения некоторая часть момента количества движения теряется. Поэтому положение таково, что в некоторых звездах, а вероятно в большинстве, момент количества движения не препятствует появлению замкнутых ловушечных поверхностей, а значит и появлению сингулярности.

При почти сферическом коллапсе магнитное поле В, вмороженное в звезду, будет расти как , где — плотность вещества звезды; следовательно, магнитное давление будет пропорционально Эта скорость роста настолько мала, что, если магнитное поле оказалось несущественным для поддержания равновесия звезды в исходном состоянии, оно никогда не станет достаточно сильным, чтобы заметно повлиять на коллапс.

Чтобы понять, почему звезда с массой больше некоторого значения, в которой выгорело ядерное топливо, не может противостоять собственному тяготению, проведем качественное исследование (основанное на неопубликованной работе Картера) уравнения состояния вещества при нулевой температуре.

В горячем веществе существуют давление, вызванное тепловым движением атомов, и давление излучения. Однако в холодном веществе при плотностях, меньших ядерной плотности существенную роль играет только давление, связанное с принципом Паули. Чтобы оценить величину этого давления, рассмотрим концентрацию фермионов массы . По принципу Паули каждый фермион будет эффективно занимать объем Таким образом, согласно принципу неопределенности, фермион будет иметь пространственную компоненту импульса порядка Если фермионы нерелятивистские, т. е. если то их скорость будет порядка если же они релятивистские (т. е. ), то их скорость практически равна единице (т. е. скорости света). Давление будет порядка произведения импульса на скорость и плотность числа частиц, т. е. при при . Когда вещество нерелятивистское, главный вклад в давление вырождения вносят электроны, поскольку величина для них больше, чем для барионов. Однако при высоких плотностях, когда частицы становятся релятивистскими, давление не зависит от массы частиц, вызывающих его, а зависит только от их числа в единице объема.

Для малых холодных тел собственным тяготением можно пренебречь, и давление вырождения вещества будет уравновешено электростатическими силами притяжения между соседними частицами, образующими ту или иную решетку. (Мы предполагаем, что имеется равное число положительно и отрицательно заряженных частиц и приблизительно равное число электронов и барионов.) Эти силы вызывают отрицательное давление порядка Таким образом, плотность холодного тела

малых размеров будет равна по порядку величины

где — масса покоя электрона и — масса покоя нуклона.

Для больших тел самогравитация становится существенной. Чтобы получить точное решение, необходимо проинтегрировать соответствующие уравнения Эйнштейна. Однако важные особенности можно установить более простым путем, проводя качественные расчеты на основе ньютоновской теории. В звезде массы М и радиуса сила тяготения, действующая на типичный единичный объем, имеет порядок где — плотность. Эта сила уравновешена градиентом давления где Р — среднее давление в звезде. Таким образом,

Если плотность достаточно мала и основной вклад в давление дают вырожденные нерелятивистские электроны, то

так что

Эта формула верна для таких тел, для которых она дает значение больше, чем величина (9.1), и меньше, чем т. е. при Такие звезды называются белыми карликами.

Если плотность настолько велика, что электроны являются релятивистскими, т. е. то давление будет определяться релятивистским соотношением; следовательно,

Теперь формула для давления не содержит Таким образом, можно было заключить, что мы получаем звезду массы

которая может иметь любую плотность выше т. е. любой радиус меньше Давление вырожденных электронов не может предотвратить сжатие звезды массой больше

В действительности, когда электроны становятся релятивистскими, они стимулируют обратный бета-распад, образуя нейтроны

При этом содержание электронов в звезде уменьшается и давление вырожденных электронов падает, что вызывает сжатие

звезды, и электроны становятся еще более релятивистскими. Такая ситуация неустойчива, и процесс будет продолжаться до тех пор, пока почти все электроны и протоны не превратятся в нейтроны. На этой стадии может вновь наступить равновесие: звезда будет поддерживаться давлением вырожденных нейтронов. Если нейтроны нерелятивистские, получаем

если же они релятивистские, то звезда по-прежнему должна иметь массу а радиус, меньший или равный Однако , следовательно, такая звезда находится вблизи общерелятивистского предела

Итак, мы приходим к выводу, что сжатие звезды массы, большей не может быть предотвращено давлением вырождения электронов или нейтронов. Чтобы показать это строго, рассмотрим ньютоновское уравнение равновесия

где

— масса, заключенная внутри сферы радиуса Умножим обе части равенства (9.2) на и проинтегрируем по частям от 0 до . С учетом того, что при получим

С другой стороны, всегда и потому

Поскольку никогда не превышает

Отсюда масса должна быть меньше т. е.

Мы подытожили эти результаты на рис. 56. На диаграмме нанесена средняя концентрация нейтронов в зависимости от массы тела М. Жирная линия изображает приближенно равновесную конфигурацию холодных тел. В горячих телах помимо давления вырожденного вещества будут существовать тепловое давление и давление излучения, поэтому такие тела могут быть в равновесии в области выше жирной линии.

Рис. 56. Плотность числа нуклонов в зависимости от полной массы статического тела М. Жирная линия — равновесное состояние холодных тел; горячие тела при соответствующих температурах могут быть в равновесии выше этой линии. Общая теория относительности запрещает статическое состояние любых тел в заштрихованной области.

Жирная штриховая линия справа соответствует равенству

В области справа от этой линии вообще нет равновесных состояний, и эта область соответствует звезде, ушедшей внутрь своей сферы Шварцшильда. Далеко влево от этой линии различием между ньютоновской теорией и общей теорией относительности можно пренебречь. Вблизи нее нужно учитывать общерелятивистские эффекты. Для статического сферически симметричного тела, состоящего из идеальной жидкости,

эйнштейновские уравнения поля можно свести (см. приложение Б) к такому уравнению:

где радиальная координата такова, что площадь -поверхности равна Величина теперь определяется как

где -плотность полной энергии, — релятивистская добавка к массе, связанная со спином фермионов. Величина равна шварцшильдовой массе № для внешнего решения Шварцшильда при Для звезды конечных размеров она меньше, чем сохраняющаяся масса

где — полное число нуклонов в звезде, так как разность соответствует количеству энергии, излученной на бесконечность с момента образования звезды из диффузного первоначально покоящегося вещества. Практически эта разность никогда не превышает нескольких процентов и уж никак не больше показал, что при убывающем к поверхности звезды, не может быть меньше а при — меньше Отсюда

Сравнивая соотношение (9.3) с (9.2), в которое вместо и М подставлены соответственно и М, мы видим, что все дополнительные члены в правой части уравнения (9.3) при отрицательны. Следовательно, так как в ньютоновской теории сжатие холодной звезды массы неизбежно, то и в общей теории относительности сжатие холодной звезды шварцшильдовой массы также неизбежно. Это означает, что холодная звезда, содержащая более нуклонов, не может противостоять сжатию. Практически дополнительные члены в (9.3) означают, что предельное число нуклонов меньше

Говоря о нейтронных звездах, мы пренебрегали ядерными силами. Учет их несколько изменит положение линии равновесия для нейтронных звезд на рис. 56 [20, 68, 166, 167], однако

даже при учете ядерных сил звезда, содержащая больше нуклонов, не придет к какому-либо равновесию при нулевой температуре. Это связано с тем, что точка, в которой нейтроны в звезде массы становятся релятивистскими, почти совпадает с релятивистским пределом Таким образом, звезда, содержащая несколько больше чем нуклонов, достигнет ядерных плотностей, уже оказавшись внутри своей сферы Шварцшильда.

На рис. 56 эволюционный путь звезды будет лежать на вертикальной линии, если только звезда не потеряет в том или ином процессе значительное количество своего вещества. Звезда конденсируется из газового облака и разогревается вследствие сжатия газа. Если ее масса меньше некоторого значения порядка то температура никогда не возрастает настолько, чтобы начались ядерные реакции; звезда в конечном счете излучит свой запас тепла, и установится состояние, в котором ее тяготение уравновешивается давлением вырожденного газа нерелятивистских электронов. Если масса больше то температура достигнет значения, достаточного, чтобы началась ядерная реакция превращения водорода в гелий. Энергия, выделяемая в этой реакции, уравновесит потерю энергии вследствие излучения, и звезда длительный период лет] будет пребывать в квазистатическом равновесии. Когда водород в сердцевине звезды иссякнет, сердцевина сожмется и температура возрастет. При этом могут начаться новые ядерные реакции, в которых гелий в недрах звезды будет превращаться в более тяжелые элементы. Однако энергия, выделяющаяся при этих превращениях, не очень велика, и сердцевина не может оставаться слишком долго в этой фазе. Если масса меньше то звезда в итоге станет белым карликом и будет удерживаться давлением вырожденных нерелятивистских электронов или, возможно, превратится в нейтронную звезду и будет удерживаться давлением вырожденных нейтронов. Но когда масса заметно больше уже не существует равновесного низкотемпературного состояния. Поэтому звезда должна или уйти внутрь своей сферы Шварцшильда, или каким-то образом сбросить столько вещества, чтобы ее масса стала меньше

Выброс вещества наблюдается в сверхновых и планетарных туманностях, но в теории этого процесса еще много неясного. Звезды с массой вероятно, способны сбросить большую часть своей массы и превратиться в белые карлики или нейтронные звезды с массой меньше — вот все, что можно сказать на основании расчетов [2, 35, 98, 172, 176]. Однако вряд ли звезда с массой, превышающей способна потерять более 95% своего вещества, и следует полагать, что внутренняя

область этой звезды в любом случае должна сколлаиспровать внутрь своей сферы Шварцшильда. (Последние вычисления действительно указывают на то, что звезды с массой не в состоянии сбросить достаточное количество вещества, чтобы избежать релятивистского коллапса.)

Обратимся к большим массам и рассмотрим тело массой Если оно сколлапсирует до своего шварцшильдова радиуса, то плотность будет всего лишь порядка (меньше плотности воздуха). Если вещество первоначально будет холодным, рост температуры будет недостаточен ни для уравновешивания сил тяготения, ни для «зажигания» ядерного горючего. Поэтому невозможна потеря массы и нет никакой неопределенности в выборе уравнения состояния. Кроме того, из этого примера видно, что условия, при которых тело пересекает свою сферу Шварцшильда, совсем не обязательно должны быть в том или ином смысле экстремальными.

Итак, по-видимому, некоторые тела с массой вероятно, большинство) коллапсируют в конце концов внутрь своих сфер Шварцшильда и порождают замкнутые ловушечиые поверхности. В нашей Галактике имеется по меньшей мере 109 звезд с массой, превышающей Таким образом, существует огромное число ситуаций, для которых теорема 2 предсказывает существование сингулярностей. Наблюдаемые следствия коллапса звезды мы обсудим в последующих разделах.