10.2. Природа и проявление сингулярностей

Есть надежда узнать кое-что о природе сингулярностей, которые, по-видимому, все же появляются, исследуя точные решения с сингулярностями. Но хотя мы и показали, что малые возмущения начальных данных не препятствуют появлению сингулярности, все же не очевидно, что свойства сингулярности будут столь же устойчивы. В разд. 7.5 мы показали, что задача Коши устойчива относительно малых возмущений начальных условий, но эта устойчивость относится только к компактным подобластям области Коши, а область, содержащая сингулярность, не компактна, за исключением случая, когда сингулярность соответствует захваченной неполноте. Мы приведем пример, в котором характер сингулярности действительно неустойчив. Рассмотрим однородное сферически симметричное облако пыли, коллапсирующее к сингулярности. Метрика внутри облака будет подобна метрике части вселенной Робертсона — Уокера, тогда как область вне облака будет описываться метрикой Шварцшильда. И внутри, и вне облака пыли сингулярность пространственноподобна (рис. 63, а). Допустим теперь, что к этой пыли мы добавили электрический заряд небольшой плотности. Метрика вне облака пыли станет теперь частью решения Райсснера — Нордстрема для (рис. 63, б). Внутри облака появится сингулярность, так как достаточно малая плотность заряда не помешает ее возникновению. Характер сингулярности внутри облака пыли, по-видимому, будет зависеть от распределения заряда. Важно, однако, следующее: как только поверхность облака пыли пройдет точку внутри что бы ни произошло внутри облака, это не повлияет на часть времениподобной сингулярности.

(кликните для просмотра скана)

Если теперь увеличить плотность заряда настолько, что она станет больше плотности вещества, то облако может пройти через два горизонта в точках и вновь начнет расширяться в другую вселенную, при этом внутри него не появится никакой сингулярности, хотя вне его будет времениподобная сингулярность (Дж. М. Бардин, не опубликовано), в полном согласии с теоремой 2 (рис. 63, в).

Этот пример очень важен, так как он показывает, что возможны времениподобные сингулярности, что материя может избежать сингулярного состояния и что она может проникнуть сквозь «кротовую нору» в другую область или в другую часть той же области пространства-времени. Конечно, вряд ли коллапсирующая звезда может иметь столь большую плотность заряда, но поскольку решение Керра так похоже на решение Райсснера — Нордстрема, можно ожидать, что момент количества движения способен создать подобную «кротовую нору». Можно немного пофантазировать и предположить, что до современной фазы расширения Вселенная находилась в фазе сжатия, в течение которой росли локальные неоднородности и возникали отдельные сингулярности; однако большая часть материи, избежав этих сингулярностей, перешла к расширению, превратившись в нашу наблюдаемую Вселенную.

Существование сингулярностей в пределах прошлого каждой точки в весьма ранний момент времени, когда плотность была велика, накладывает ограничения на расстояние между сингулярностями. В принципе можно было бы представить, что множество геодезических, которые «упираются» в эти сингулярности (т. е. неполны), имеет меру нуль. Тогда можно было бы утверждать, что эти сингулярности физически несущественны. Однако на самом деле это не так, потому что существование таких сингулярностей приводит к образованию горизонта Коши и, следовательно, к невозможности предсказывать будущее. Мы могли бы получить таким образом путь к решению проблемы энтропии в модели пульсирующей Вселенной, поскольку в каждом цикле сингулярности могли бы вносить отрицательную энтропию.

До сих пор мы исследовали математические следствия предположения о том, что модель пространства-времени представляет собой лоренцево многообразие и что при этом удовлетворяются уравнения поля Эйнштейна с . Мы показали, что, согласно такой теореме, в нашем прошлом должны быть сингулярности, связанные с коллапсом Вселенной, а в нашем будущем — сингулярности, связанные с коллапсом звезд. Если , то эти выводы остаются неизменными. Если же то наблюдения скорости расширения Вселенной [145, 146] говорят о том, что не может превышать Это

значение эквивалентно отрицательной плотности энергии Такое значение могло бы сказаться на расширении Вселенной в целом, но оно бессильно повлиять на положительную плотность вещества коллапсирующей звезды. Таким образом, -член, по-видимому, не дает нам возможности избежать проблемы сингулярности.

Можно, конечно, сказать, что общая теория относительности не дает правильного описания Вселенной. До сих пор эта теория проверялась только при весьма малых отклонениях от плоского пространства (радиусы кривизны порядка ). Поэтому ее применение к явлениям типа коллапса звезды, когда радиус кривизны становится меньше см, кажется слишком далеко идущей экстраполяцией. С другой стороны, теоремы о сингулярностях зависят от уравнений Эйнштейна не во всей полноте, а только от того, что для любого непространственноподобного вектора поэтому они будут справедливы также и в любой модификации общей теории относительности (такой, как теория Бранса — Дикке), в которой тяготение всегда есть сила притяжения.

По-видимому, можно выдвинуть следующий разумный принцип: если теория предсказывает сингулярность, то это указывает на нарушение теории, т. е. она более не дает правильного описания наблюдений. Возникает вопрос: когда нарушается общая теория относительности? Можно ожидать, что в любом случае она нарушается, когда становятся важны квантовые эффекты; из соображений размерности следует, что этого не должно случиться, пока радиус кривизны не станет порядка см, что соответствует плотности Однако мы можем спросить: является ли лоренцево многообразие приемлемой моделью для пространства-времени при характерных длинах такого порядка? В настоящее время эксперименты свидетельствуют, что предположение о структуре многообразия при характерных длинах более см приводит к предсказаниям, согласующимся с наблюдениями [49]; но может оказаться, что нарушение теории происходит при длинах между см. Радиус см соответствует плотности которую всегда практически можно рассматривать как сингулярность. Поэтому следует построить по методу Шмидта (разд. 8.3) поверхность вокруг областей с радиусом кривизны меньше, скажем, см. С нашей стороны поверхности будет допустимо рассматривать пространство-время как многообразие, но внутри этой поверхности потребуется еще не известное нам квантовое описание. Материю, пересекающую такую поверхность, можно рассматривать как входящую во Вселенную или покидающую ее, и нет причин, по которым количества входящей и уходящей материи должны быть равны,

Во всяком случае, теоремы о сингулярностях свидетельствуют о том, что но предсказаниям общей теории относительности гравитационное поле должно стать предельно сильным. Что это имело место в нашем прошлом, подтверждается существо ванием микроволнового фонового излучения со спектром абсолютно черного тела, свидетельствующего о том, что у Вселенной была очень горячая и плотная ранняя фаза.

Вероятно, теоремы о существовании сингулярностей можно несколько усовершенствовать, но на наш взгляд они и в таком виде достаточно хорошо отражают суть дела. Однако они мало что говорят нам о характере сингулярностей. Хотелось бы знать, какого рода сингулярности могут появиться в общей теории относительности в характерных ситуациях. Один из путей к этому состоит в усовершенствовании предложенного Лифшицом и Халатниковым метода разложения в степенные ряды и выяснении пределов его применимости. Может оказаться также, что существует определенная связь между сингулярностями, рассматриваемыми в общей теории относительности и в других областях физики (см., например, теорию элементарных катастроф Тома [165]). С другой стороны, можно было бы попытаться решить проблему в лоб, численным интегрированием уравнений Эйнштейна на вычислительной машине. Однако для этого, вероятно, придется ждать появления нового поколения вычислительных машин. Хотелось бы знать также, будут ли голыми сингулярности, возникающие при коллапсе из несингулярного асимптотически плоского состояния, т. е. будут ли они видны с бесконечности или будут скрыты за горизонтом событий.

Другой важной проблемой является формулировка квантовой теории пространства-времени, применимой к сильным полям. Такого рода теория может исходить из некоторого многообразия или может допускать изменения топологии. Некоторые предварительные попытки в этом направлении уже были предприняты Де Виттом [38], Мизнером [107, 108], Пенроузом [132], Уилером [173] и другими. Однако интерпретация квантовой теории пространства-времени и отношение к сингулярностям еще далеки от ясности.

Гипотезы и споры, касающиеся предмета этой книги, не новы. По существу, еще Лаплас предсказал существование черных дыр: «Иные звезды появлялись внезапно и исчезали после нескольких месяцев ярчайшего сияния... Все эти звезды не изменяли своих положений, пока они светили. Поэтому в беспредельных глубинах пространства существуют темные тела, столь же значительные по величине и, возможно, столь же многочисленные, как звезды». (П. С. Лаплас, «Изложение

системы мира»). Как мы видим, современное понимание положения вещей удивительно похоже на лапласовское.

С незапамятных времен высказывалась мысль о возникновении Вселенной из ничего; см., например, первую «Антиномию Чистого Разума» Канта и комментарии к ней ([158], р. 117-123, 145—159 и [117], 389—406). Результаты, которые мы получили, говорят в пользу идеи, что история Вселенной началась некоторое конечное время тому назад. Однако самый момент возникновения — сингулярность — находится за пределами справедливости известных сейчас законов физики.