2.5. Ковариантная производная и тензор кривизны

Дополнительная структура, которую мы введем, — это (аффинная) связность на Связность V в точке есть правило, по которому любому векторному полю X ставится в точке в соответствие дифференциальный оператор который отображает произвольное векторное О-поле в векторное поле и обладает следующими свойствами:

1) есть тензор по аргументу X, т. е. для произвольных функций и векторных С-полей Y, Z

(это эквивалентно условию зависимости только от направления X в

2) линейно по т. е.

для любых векторных О-полей Y, Z и

3) для любой О-функции и векторного О-поля

При выполнении всех этих условий есть ковариантная производная (относительно связности V) векторного поля в направлении X в точке Согласно условию (1), ковариантную производную векторного поля можно определить как такое тензорное поле типа , которое при свертке с X дает вектор . Тогда имеем

Связность V класса О (О-связность) на О-многообразии есть правило, по которому в каждой точке задается связность V, такая, что, если — векторное -поле на , то — тензорное О-поле.

Пусть в некоторой окрестности даны произвольный базис -векторов и дуальный базис -форм будем записывать компоненты как тогда

На связность задают О-функций , определяемые равенствами

Для любого векторного О-поля

Таким образом, компонентами относительно координатных базисов являются

Трансформационные свойства функций задаются свойствами связности (1) — (3):

поскольку Это равенство можно переписать в виде

В частности, если базисами являются координатные базисы, определяемые координатами закон преобразования

имеет вид

Из-за члена функции не преобразуются как компоненты тензора. Однако если ковариантные производные и получены с использованием двух различных связностей, то

будет тензором. Таким образом, разности (Гайс — являются компонентами тензора.

Более широкое понятие ковариантной производной произвольного тензора -поля можно ввести, задав следующие правила (ср. со свойствами производной Ли):

1) если Т — тензорное -поле типа то — тензорное -поле типа ;

2) V — линейный оператор, коммутирующий со сверткой;

3) для произвольных тензорных полей выполняется правило Лейбница

4) для любой функции

Запишем компоненты в виде Согласно правилам (2) и (3), имеем

где — базис, дуальный Методом, аналогичным выводу равенства можно показать, что координатные компоненты равны

Интересным примером является единичный тензор имеющий компонентами его ковариантная производная равна нулю, и, следовательно, нулю равны также и ковариантные производные обобщенных единичных тензоров с компонентами

Пусть Т — тензорное -поле , заданное вдоль -кривой тогда можно ввести ковариантную производную Т вдоль как где Т — любое тензорное -поле,

расширяющее Т на некоторую открытую окрестность кривой является тензорным -полем, которое определено вдоль кривой и не зависит от расширения Т. Пусть X — касательный вектор к тогда в записи через компоненты имеем . В частности, можно выбрать такие локальные координаты, в которых координаты кривой равны и тогда для векторного поля

Говорят, что тензор Т параллельно переносится вдоль кривой к, если Пусть дана кривая с концами в точках и тогда из теории обыкновенных дифференциальных уравнений при условии, что связность меньшей мере класса следует единственность тензора, получаемого в точке параллельным переносом вдоль кривой тензора, заданного в точке Таким образом, параллельный перенос вдоль к есть линейное отображение из сохраняющее все тензорные произведения и тензорные свертки. В частности, из этого следует, что параллельный перенос базиса векторов вдоль данной кривой из в задает изоморфизм из (Если у кривой есть самопересечения, то и могут быть одной и той же точкой.)

Важное понятие возникает при рассмотрении ковариантной производной вдоль к самого касательного вектора. Кривая называется геодезической кривой, если вектор

параллелен вектору т. е. если найдется такая функция (возможно, равная нулю), что . В этом случае можно ввести новый параметр вдоль кривой, так что будет выполняться равенство

Такой параметр называется аффинным параметром. Связанный с ним касательный вектор параллелен X, но масштаб определяется условием подчиняется уравнениям

причем второе (локально-координатное) выражение получается применением (2.14) к вектору V. Аффинный параметр геодезической кривой определен с точностью до аддитивной и мультипликативной постоянных, т. е. с точностью до преобразования

где — постоянные; свобода в выборе соответствует свободе выбора новой начальной точки свобода в выборе а — возможности перенормировки масштаба вектора V умножением на постоянную: Будем называть геодезическую кривую просто геодезической, если эта кривая параметризуется каким-либо аффинным параметром.

Пусть задана -связность тогда из известных теорем для обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что для любой точки и для любого вектора существует максимальная геодезическая с начальной точкой и начальным направлением Если то эта геодезическая единственна и ее зависимость от непрерывна. Это означает, что при можно определить такое -отображение что для каждого есть точка в находящаяся на единичном расстоянии по параметру вдоль геодезической начинающейся в Это отображение не обязательно определено для всех поскольку геодезическая может не быть определена для всех и. Если же и может принимать все значения, то говорят, что геодезическая — полная. Многообразие называется геодезически полным, если все геодезические на полны, т. е. если отображение определено на всем пространстве каждой точки

Независимо от того, полно или нет многообразие отображение ехрр имеет ранг Поэтому в силу теоремы о неявной функции [161] существует открытая окрестность начала в и открытая окрестность точки такие, что есть -диффеоморфизм на Такая окрестность называется нормальной окрестностью точки Далее, можно считать выпуклой, т. е. такой, что всякая точка может быть соединена с любой другой точкой геодезической, начинающейся в и целиком лежащей в Внутри выпуклой нормальной окрестности координаты можно ввести следующим образом: выбираем какую-либо точку базис и координаты точки задаем соотношением (т. е. точке приписываем координаты в базисе точки Тогда , согласно Такие координаты называются нормальными координатами с началом в . Герок [55] использовал существование нормальных окрестностей для доказательства наличия счетного базиса у связного хаусдорфова -многообразия с С-связностью. Таким образом паракомпактность -многообразия можно связать с существованием на нем С-связности. «Нормальное» локальное поведение геодезических в этих окрестностях контрастирует с поведением геодезических в большом в общем случае,

когда, с одной стороны, две произвольные точки, вообще говоря, не могут быть соединены какой-либо геодезической, а, с другой, некоторые геодезические, исходящие из одной точки, могут собраться как фокусе в некоторой другой точке. Позднее мы столкнемся с примерами и того и другого поведения.

Если задана -связность V, то равенство

определяет некоторое тензорное -поле типа , где X, Y — произвольные векторные -поля. Такой тензор называется тензором кручения. В координатном базисе его компоненты равны

Мы будем иметь дело лишь со связностями без кручения; иначе говоря, мы предполагаем, что этом случае координатные компоненты связности удовлетворяют условию и поэтому такую связность часто называют симметричной. Связность тогда и только тогда является связностью без кручения, когда для всех функций Из уравнения геодезической (2.15) следует, что связность без кручения полностью определяется заданием геодезических на

В отсутствие кручения ковариантные производные произвольных векторных О-полей связаны с их производными Ли соотношением

а для любого тензорного С-поля Т типа

Легко проверить также, что внешняя производная связана с ковариантной следующим образом:

где А — произвольная -форма. Таким образом, уравнения, содержащие внешнюю производную или производную Ли, всегда можно выразить через ковариантную производную. Однако в силу своих определений производная Ли и внешняя производная не зависят от связности.

Если вектор из данной точки перенести параллельно вдоль некоторой замкнутой кривой у снова в ту же точку то получится вектор вообще говоря, отличный от если выбрать другую кривую у, то полученный при этом новый вектор в будет, вообще говоря, отличен от и от Эта неиитегрируемость параллельного переноса соответствует тому, что ковариантные производные в общем случае не коммутируют. Меру этой некоммутативности дает тензор (кривизны) Римана. Пусть даны векторные -поля а векторное определено -связностью V следующим образом:

Тогда поле линейно по и можно убедиться, что значение зависит только от значений Y, Z в есть тензорное -поле типа . Чтобы записать (2.18) в компонентах, определим вторую ковариантную производную вектора как ковариантную производную

V тензора ее компоненты равны

Тогда (2.18) можно записать в виде

где компоненты тензора Римана относительно дуальных базисов определяются как Поскольку — произвольные векторы, равенство

выражает некоммутативность вторых ковариантных производных через тензор Римана.

Поскольку для любых векторных -полей Y, Z и любого -поля -формы выполняется равенство

то из (2.18) следует, что

Выбрав в качестве координатные базисы, можно выразить координатные компоненты тензора Римана через

координатные компоненты связности:

Пользуясь этими определениями, можно убедиться, что кроме симметрии

тензор кривизны обладает также симметрией вида

Подобным же образом можно убедиться, что первые ковариантные производные тензора Римана удовлетворяют тождествам Бианки:

Теперь мы видим, что параллельный перенос произвольного вектора вдоль произвольной замкнутой кривой локально интегрируем (т. е. необходимо совпадает с в каждой ), только если всех точках в этом случае мы говорим, что связность плоская. Свертывая тензор кривизны, можно определить тензор Риччи как тензор типа с компонентами