3.3. Лагранжева формулировка

Условия (1) и (2) постулата ничего не говорят ни о способе построения тензора энергии-импульса для данной системы полей, ни о его единственности. На практике в основном полагаются на интуитивные представления о том, что такое энергия и импульс. Однако в тех случаях, когда уравнения полей могут быть выведены из некоторого лагранжиана, для тензора энергии-импульса существует определенная и однозначная формула.

Пусть некоторая скалярная функция полей их первых производных и метрики, есть лагранжиан. Уравнения полей получаются из требования, чтобы действие

было стационарно при вариации полей внутри компактной четырехмерной области 2). Под вариацией поля в 2) мы подразумеваем однопараметрическое семейство полей , где и такие, что

2) когда

Обозначим через тогда

где — компоненты ковариантных производных и потому второй член

можно записать в виде

Первый член в этом выражении может быть представлен как

причем — вектор, компоненты которого равны

Этот интеграл равен нулю, ибо условие (2) эквивалентно утверждению, что обращается в нуль на границе Таким образом, чтобы при всех вариациях в любой области необходимо и достаточно, чтобы при всех удовлетворялись уравнения Эйлера — Лагранжа

Мы получили уравнения полей.

Тензор энергии-импульса мы выведем из лагранжиана, рассматривая изменение действия, индуцированное изменением метрики. Предположим, что вариация оставляет поля неизменными, но изменяет компоненты метрики -Тогда

Последний член возникает из-за того, что мера объема зависит от метрики. Для вычисления этого члена вспомним, что есть каноническая 4-форма с компонентами где Отсюда

и, следовательно,

Первый член в (3.5) появляется из-за того, что член не обязательно будет равен нулю, несмотря на то, что вариация метрики индуцирует вариацию компонент связности Поскольку разность двух связностей преобразуется как тензор, можно считать компонентами тензора. Они связаны с вариацией компонент метрики соотношениями

(Вывести эту формулу проще всего, замечая тот факт, что она является тензорным соотношением и, следовательно, должна быть справедлива в любой системе координат. В частности, можно выбрать нормальные координаты с началом в точке . В этих координатах в обращаются в нуль компоненты и производные компонент по координатам. Тогда можно убедиться, что данная формула справедлива в Используя это соотношение, можно выразить через после чего обычное интегрирование по частям приводит к подынтегральному выражению, содержащему только Итак, мы можем записать в виде

где — компоненты симметричного тензора, который мы примем за тензор энергии-импульса рассматриваемых полей. (Относительно связи между этим тензором и так называемым каноническим тензором энергии-импульса см. [142].)

Этот тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнениям сохранения вследствие полевых уравнений, которым подчинены Действительно, предположим, что имеется диффеоморфизм который отличается от тождественного преобразования только внутри Ф. Тогда вследствие инвариантности интегралов относительно дифференцируемого отображения имеем

Следовательно,

Если диффеоморфизм порожден векторным полем X (отличным от нуля только внутри то отсюда следует, что

однако

Первый член обращается в нуль в силу полевых уравнений. Во втором члене Таким образом,

Вклад первого члена можно представить в виде интеграла по границе 2), который равен нулю из-за того, что на Отсюда следует, что поскольку второй член должен обращаться в нуль при произвольном X.

Теперь мы приведем в качестве примеров лагранжианы для некоторых полей, которые представляют интерес для последующего.

Пример 1. Скалярное поле

Это поле может соответствовать, например, -мезону. Его лагранжиан является

где — константы. Уравнение Эйлера — Лагранжа (3.4) имеет вид

Тензор энергии-импульса равен

Пример 2. Электромагнитное поле

Оно описывается -формой А, называемой потенциалом. Потенциал определен с точностью до добавления градиента какой-либо скалярной функции. Лагранжиан имеет вид

где тензор электромагнитного поля по определению равен Варьируя по получаем уравнения Эйлера— Лагранжа (3.4) в виде

Эти уравнения и уравнение (т. е. уравнение ) представляют уравнения Максвелла для электромагнитного поля без источников. Тензор энергии-импульса имеет вид

Пример 3. Заряженное скалярное поле

Оно является фактически объединением двух вещественных скалярных полей в одно комплексное скалярное поле которое может соответствовать, например, и -мезонам. Полный лагранжиан заряженного скалярного и электромагнитного полей равен

где — постоянная и — поле, комплексно сопряженное Варьируя независимо по имеем уравнение

получаемое отсюда комплексным сопряжением, и уравнение

Тензор энергии-импульса равен

Пример 4. Изэнтропическая идеальная жидкость Здесь подход несколько отличается от предыдущих случаев. Жидкость описывают функцией называемой плотностью, и конгруэнцией времениподобных кривых, называемых линиями тока. Под конгруэнцией кривых подразумевается такое семейство кривых, что через каждую точку проходит одна кривая. Если достаточно малая компактная область, то конгруэнцию можно представить в виде диффеоморфизма где — некоторый замкнутый интервал из — некоторое трехмерное многообразие с краем. Кривые называют времениподобными, если их касательные векторы

всюду времениподобны. Вектор потока жидкости определяется как где V — касательный вектор вида , следовательно, Требуется, чтобы поток сохранялся, т. е. Поведение жидкости определяется заданием потенциала упругих сил (или внутренней энергии) в функции Лагранжиан берется в виде

и требуется, чтобы действие было стационарным при вариации линий тока, а подбирается так, чтобы обеспечить сохранение потока Вариация линий тока есть дифференцируемое отображение

удовлетворяющее условиям

и

Следовательно, где . К можно представить себе как вектор, задающий смещение некоторой точки линии тока при вариации. Отсюда следует, что

Используя тот факт, что имеем

Подставляя сюда и интегрируя вдоль линий тока, получаем

Следовательно, вариация интеграла действия равна

После интегрирования по частям

где Если это выражение равно нулю при всех К, то

где плотность энергии и - давление. Итак, ортогональный к линиям тока градиент давления задает ускорение линий тока.

Чтобы получить тензор энергии-импульса, проварьируем метрику. Вычисления можно упростить, если заметить, что сохранение тока может быть выражено в виде равенства

Если линии тока заданы, то из уравнений сохранения величина однозначно определяется в каждой точке данной линии тока через свое начальное значение в некоторой фиксированной точке той же линии тока. Поэтому не изменяется при вариации метрики. Но

и, следовательно,

а отсюда

Любую форму материи, тензор энергии-импульса которой имеет вид (3,8) (независимо от того, выведен он из некоторого лагранжиана или нет), будем называть идеальной жидкостью. Уравнение сохранения энергии и импульса (3.1) в приложении к (3.8) дают

Эти уравнения совпадают с полученными из лагранжиана. Будем называть идеальную жидкость изэнтропической, если давление является функцией одной лишь плотности энергии В этом случае можно ввести сохраняющуюся плотность и внутреннюю энергию и вывести эти уравнения и тензор энергии импульса (3.8) из некоторого лагранжиана.

Можно также рассмотреть заряженную жидкость с сохраняющимся электрическим зарядом где — электрический ток). Лагранжиан заряженной жидкости и электромагнитного поля имеет вид

Последний член задает взаимодействие между жидкостью и полем. Варьируя А, линии тока и метрику соответственно, получаем