Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.3. Лагранжева формулировкаУсловия (1) и (2) постулата Пусть
было стационарно при вариации полей внутри компактной четырехмерной области 2). Под вариацией поля
2) Обозначим
где можно записать в виде
Первый член в этом выражении может быть представлен как
причем
Этот интеграл равен нулю, ибо условие (2) эквивалентно утверждению, что
Мы получили уравнения полей. Тензор энергии-импульса мы выведем из лагранжиана, рассматривая изменение действия, индуцированное изменением метрики. Предположим, что вариация
Последний член возникает из-за того, что мера объема
и, следовательно,
Первый член в (3.5) появляется из-за того, что член
(Вывести эту формулу проще всего, замечая тот факт, что она является тензорным соотношением и, следовательно, должна быть справедлива в любой системе координат. В частности, можно выбрать нормальные координаты с началом в точке
где Этот тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнениям сохранения вследствие полевых уравнений, которым подчинены
Следовательно,
Если диффеоморфизм
однако
Первый член обращается в нуль в силу полевых уравнений. Во втором члене
Вклад первого члена можно представить в виде интеграла по границе 2), который равен нулю из-за того, что Теперь мы приведем в качестве примеров лагранжианы для некоторых полей, которые представляют интерес для последующего. Пример 1. Скалярное поле Это поле может соответствовать, например,
где
Тензор энергии-импульса равен
Пример 2. Электромагнитное поле Оно описывается
где тензор электромагнитного поля
Эти уравнения и уравнение
Пример 3. Заряженное скалярное поле Оно является фактически объединением двух вещественных скалярных полей
где
получаемое отсюда комплексным сопряжением, и уравнение
Тензор энергии-импульса равен
Пример 4. Изэнтропическая идеальная жидкость Здесь подход несколько отличается от предыдущих случаев. Жидкость описывают функцией всюду времениподобны. Вектор потока жидкости определяется как
и требуется, чтобы действие было стационарным при вариации линий тока, а
удовлетворяющее условиям
и
Следовательно,
Используя тот факт, что
Подставляя сюда
Следовательно, вариация интеграла действия равна
После интегрирования по частям
где
где Чтобы получить тензор энергии-импульса, проварьируем метрику. Вычисления можно упростить, если заметить, что сохранение тока может быть выражено в виде равенства
Если линии тока заданы, то из уравнений сохранения величина
и, следовательно,
а отсюда
Любую форму материи, тензор энергии-импульса которой имеет вид (3,8) (независимо от того, выведен он из некоторого лагранжиана или нет), будем называть идеальной жидкостью. Уравнение сохранения энергии и импульса (3.1) в приложении к (3.8) дают
Эти уравнения совпадают с полученными из лагранжиана. Будем называть идеальную жидкость изэнтропической, если давление Можно также рассмотреть заряженную жидкость с сохраняющимся электрическим зарядом
Последний член задает взаимодействие между жидкостью и полем. Варьируя А, линии тока и метрику соответственно, получаем
|
1 |
Оглавление
|