Глава 1. Роль тяготения

Согласно общепринятому в современной физике взгляду, изучение Вселенной можно разделить на две части. Первая — это установление локальных законов, которым удовлетворяют различные физические поля. Эти законы обычно формулируются в виде дифференциальных уравнений. Вторую часть составляют проблема граничных условий для этих уравнений и глобальные свойства их решений. Она в том или ином смысле содержит в себе идею о крае пространства-времени. Эти две части не обязательно независимы. Действительно, уже была высказана мысль, что локальные законы определяются крупномасштабной структурой Вселенной. Эту точку зрения обычно связывают с именем Маха, а в менее отдаленном прошлом ее развивали Дирак [41], Шама [155], Дикке [39], Хойл и Нарликар [82] и др. Мы не будем придерживаться столь возвышенной точки зрения: мы просто начнем с локальных физических законов, установленных экспериментально, и посмотрим, к каким выводам относительно крупномасштабной структуры Вселенной они могут привести.

Конечно, предположение о том, что физические законы, установленные в лаборатории, применимы во всех других точках пространства-времени, где условия могут быть совсем иными — это далеко идущая экстраполяция. Если эти законы перестанут выполняться, мы скажем, что имеется еще какое-то поле, которое повлияло на локальные законы, однако существование его до сих пор не было обнаружено в наших экспериментах из-за того, что оно мало меняется в пределах такой области, как Солнечная система. На самом деле большая часть наших результатов не будет зависеть от конкретного характера рассматриваемых физических законов: они окажутся связанными лишь с определенными общими свойствами, такими, как описание пространства-времени посредством псевдоримановой геометрии и положительная определенность плотности энергии.

Фундаментальные взаимодействия, известные сейчас в физике, можно подразделить на четыре класса: сильные и слабые ядерные взаимодействия, электромагнетизм и тяготение. Среди перечисленных тяготение намного слабее остальных: отношение силы тяготения между двумя электронами к силе их электростатического взаимодействия, по порядку величины

равно . Тем не менее тяготение играет доминирующую роль в формировании крупномасштабной структуры Вселенной. Это происходит из-за того, что сильное и слабое взаимодействия обладают весьма коротким радиусом действия ( см и менее), а электромагнетизм хотя и является дальнодействующим взаимодействием, но для тел макроскопических размеров отталкивание одноименных зарядов почти полностью компенсируется притяжением разноименных. Напротив, тяготение, по-видимому, всегда является силой притяжения. Следовательно, гравитационные поля всех частиц тела складываются и создают поле, которое для достаточно больших тел преобладает над всеми другими силами.

Тяготение не только доминирует на больших расстояниях, но и является силой, которая одинаковым образом действует на все частицы. Эту универсальность тяготения впервые выявил Галилей, который обнаружил, что два любых тела падают с одинаковой скоростью. Позднее это было проверено с очень большой точностью опытами Этвеша и Дикке с сотрудниками [39]. Было обнаружено также, что свет отклоняется гравитационными полями. Поскольку принимается, что нет сигналов, распространяющихся быстрее света, это означает, что именно тяготение определяет причинную структуру Вселенной, т. е. определяет, какие события пространства-времени могут быть причинно связаны друг с другом.

Эти свойства тяготения служат источником серьезных трудностей: если бы в некоторой области сконцентрировалось достаточно большое количество вещества, то последнее могло бы отклонить свет, испускаемый из этой области, настолько, что свет был бы втянут обратно в эту область. Эта возможность была осознана в 1798 г. Лапласом, который отметил, что тело такой же плотности, как и Солнце, но с радиусом в 250 раз большим создало бы столь сильное гравитационное поле, что свет не мог бы уйти с его поверхности. Тот факт, что это было предсказано так давно, настолько поразителен, что мы приводим в приложении перевод статьи Лалласа.

Втягивание световых лучей массивным телом можно представить более точно, используя идею Пенроуза о замкнутых лову-шечных поверхностях. Рассмотрим сферу окружающую некоторое тело. Пусть в какой-то момент от исходит импульс света. В некоторый последующий момент фронты сходящихся и расходящихся от волн образуют сферы соответственно. В нормальных условиях площадь (поскольку она представляет собой сходящийся свет) будет меньше, а площадь (поскольку она представляет собой расходящийся свет) (см. рис. 1) - больше, чем площадь Однако если внутри заключено достаточно много вещества, то и площадь и

площадь будут меньше площади . В этом случае поверхность называют замкнутой ловушечной поверхностью. По мере возрастания времени площадь будет становиться все меньше и меньше (при условии, что тяготение остается силой притяжения, т. е. при условии, что плотность энергии не станет отрицательной). Поскольку вещество внутри сферы не может иметь скорости, превышающей световую, оно окажется запертым в области, граница которой стягивается к нулю за конечный промежуток времени.

Рис. 1. В некоторый момент времени сфера излучает вспышку света. В более поздний момент свет, излученный в точке образует сферу У вокруг и огибающие поверхности и 2 образуют соответственно фронты сходящихся и расходящихся волн. Если площади обеих поверхностей и 2 меньше площади то представляет собой замкнутую ловушечную поверхность.

Это наводит на мысль, что наша модель в чем-то ошибочна.

Однако мы покажем, что при выполнении некоторых разумных условий здесь на самом деле возникает сингулярность пространства-времени. Можно думать, что сингулярность — это место, где ныне известные нам физические законы нарушаются. В качестве альтернативы можно считать, что сингулярность представляет часть границы пространства-времени, которая, однако, находится не на бесконечности, а на конечном расстоянии. Тогда сингулярности перестают быть чем-то порочным с точки зрения физики; но и при таком взгляде на вещи нам еще остается решить проблему граничных условий. Другими словами, нам не известно, что именно выходит из сингулярности.

Предполагается, что в двух случаях концентрация материи будет достаточно для возникновения замкнутых ловушечных поверхностей. Первый случай — гравитационный коллапс звезд с массой больше двух масс Солнца; этот случай должен иметь место после выгорания ядерного горючего звезды. При этом звезда, как считают, коллапсирует к сингулярности, которая невидима для внешних наблюдателей. Второй случай — это сама Вселенная как целое. Недавние наблюдения микроволнового фонового излучения свидетельствуют, что Вселенная содержит достаточное количество материи для возникновения замкнутой ловушечной поверхности при обращении времени. Это означает, что в прошлом, в начале нынешней эпохи расширения Вселенной, существовала сингулярность. Эту сингулярность мы можем в принципе наблюдать, и ее можно было бы интерпретировать как начало Вселенной.

В данной книге мы рассматриваем крупномасштабную структуру пространства-времени на основе общей теории относительности Эйнштейна. Выводы из этой теории находятся в согласии со всеми выполненными до сих пор экспериментами. Однако наша трактовка предмета будет достаточно общей и для того, чтобы охватить такие модификации теории Эйнштейна, как теория Бранса — Дикке.

Хотя мы ожидаем, что большинство наших читателей знакомы с общей теорией относительности, мы все же пытались написать книгу так, чтобы от читателя не требовалось иных знаний, кроме математического анализа, алгебры и топологии точечных множеств. Вот почему мы посвящаем гл. 2 дифференциальной геометрии. Наш подход является в разумной мере современным в том отношении, что мы даем наши определения в форме, не зависящей явно от координат. Однако для удобства вычислений временами мы пользуемся индексами; большей частью мы избегали также употребления расслоенных пространств. Читатель, немного знающий дифференциальную геометрию, может при желании пропустить эту главу.

В гл. 3 дана формулировка общей теории относительности в виде трех постулатов математической модели пространства-времени. Эта модель представляет собой многообразие вместе с метрикой лоренцевой сигнатуры. Физический смысл метрики раскрывается в первых двух постулатах — локальной причинности и локального сохранения энергии-импульса. Эти постулаты общие для специальной и общей теорий относительности, и, следовательно, основанием для них может служить экспериментальное подтверждение первой из этих теорий. Третий постулат — полевые уравнения для метрики экспериментально обоснован не столь хорошо. Однако большинство наших результатов будет зависеть лишь от того следствия уравнений поля, что для

положительной плотности материи тяготение является силой ппитяжения. К этому свойству тяготения приводят как общая теория относительности, так и некоторые ее модификации, например теория Бранса — Дикке.

В гл. 4 устанавливается физический смысл кривизны, для чего мы изучаем ее влияние на семейства времениподобпых и изотропных геодезических. Указанные линии представляют пути малых частиц и световые лучи соответственно. Кривизну можно интерпретировать как приливную силу, которая вызывает относительные ускорения между «соседними» геодезическими.

Рис. 2. Линия не может быть кратчайшей линией от , поскольку между имеется фокальная точка На самом деле кратчайшей линией от до будет или

Если

Чтобы выявить роль этих фокальных точек, рассмотрим одномерную поверхность 9 в двумерном евклидовом пространстве (рис. 2). Пусть — точка, не лежащая на Тогда найдется кривая, соединяющая которая будет короче (или не длиннее) любой другой кривой от до Ясно, что эта кривая будет геодезической, т. е. прямой линией и будет пересекать ортогонально. На самом деле, в ситуации, изображенной на рис. 2, имеется три геодезические, ортогональные к и проходящие через Геодезическая, проходящая через точку очевидно, не

есть кратчайшая линия от до . В этом можно убедиться [103], например, заметив, что соседние геодезические, ортогональные точках и и пересекают геодезическую, проведенную из в фокальной точке лежащей между Тогда, присоединяя к отрезку отрезок мы получим кривую от до длина которой такая же, как у прямой Но поскольку не есть прямая линия, можно было бы срезать угол у точки и получить кривую короче, чем Отсюда видно, что не есть кратчайшая кривая от до Значит, кратчайшей кривой будут или или

Эти соображения можно перенести на случай четырехмерного пространственно-временного многообразия с лоренцевой метрикой Вместо прямых линий тогда нужно рассматривать геодезические, а вместо кратчайшей кривой искать времениподобную кривую наибольшей длины между точкой и пространственноподобной поверхностью (ввиду лоренцевой сигнатуры метрики здесь не будет кратчайшей времениподобной кривой, но, возможно, найдется такая кривая наибольшей длины). Эта кривая должна быть геодезической, пересекающей ортогонально, и между не может быть какой-либо фокальной точки геодезических, ортогональных к , Аналогичные результаты можно получить для изотропных геодезических. Эти результаты используются в гл. 8 для доказательства существования сингулярностей при определенных условиях.

В гл. 5 мы описываем ряд точных решений уравнений Эйнштейна. Эти решения не являются реалистическими в том смысле, что все они обладают точными симметриями. Однако они служат полезными примерами для последующих глав и иллюстрируют различные возможные поведения решений. В частности, космологические модели, обладающие высокой симметрией, почти все имеют пространственно-временные сингулярности. Долгое время думали, что эти сингулярности, возможно, обусловлены именно высокой степенью симметрии и они будут отсутствовать в более реалистических моделях. Показать, что это на самом деле не так — одна из основных наших целей.

В гл. 6 мы исследуем причинную структуру пространства-времени. В частной теории относительности те события, которые могут причинно влиять на некоторое данное событие, и те, на которые это событие само может причинно влиять, образуют внутренние части световых конусов прошлого и будущего соответственно (рис. 3). В общей теории относительности метрика которая задает световые конусы, вообще говоря, меняется от точки к точке, а топология пространственно-временного многообразия не обязательно совпадает с топологией евклидова пространства Это приводит к большему разнообразию возможностей. К примеру, можно было отождествить соответствующие

точки на поверхностях и на рис. 3, чтобы получить пространство-время с топологией . В нем есть замкнутые времениподобные кривые.

Рис. 3. (см. скан) В специальной теории относительности световой конус события является множеством всех лучей света, проходящих через Прошлое событие — это внутренность светового конуса прошлого, а будущее событие — внутренность светового конуса будущего.

Однако существование таких кривых привело бы к нарушению причинности: можно было бы путешествовать в собственное прошлое. Большей частью мы ограничимся рассмотрением пространственно-временных многообразий, в которых такого рода нарушения причинности исключены. Тогда в пространстве-времени для любой данной пространственноподобной поверхности существует максимальная область

пространства-времени — назовем ее областью Коши (Cauchy development ), - в которой можно делать предсказания по известным начальным данным на 9. Область Коши обладает тем свойством («глобальная гиперболичность»), что при наличии в ней двух точек, которые можно соединить времениподоб-ной кривой, между ними существует такая кривая наибольшей длины; она будет геодезической.

Причинная структура пространства-времени может быть использована для определения границы или края пространства-времени. Эта граница включает в себя как бесконечность, так и те части края пространства-времени, которые находятся на конечном расстоянии, т. е. сингулярные точки.

В гл. 7. мы рассматриваем задачу Коши для общей теории относительности. Будет показано, что начальные данные на пространственноподобной поверхности определяют решение однозначно в области Коши для этой поверхности и что в некотором смысле это решение зависит непрерывно от начальных данных. Эта глава включается для полноты изложения, а также потому, что в ней используется ряд результатов предыдущей главы, но чтение ее не обязательно для понимания последующих глав.

В гл. 8 обсуждается определение пространственно-временных сингулярностей. Это представляет известную трудность, поскольку нет возможности рассматривать сингулярные точки как часть пространственно-временного многообразия

Затем мы доказываем четыре теоремы, которые устанавливают наличие сингулярностей при определенных условиях. Эти условия распадаются на три категории. Во-первых, требуется чтобы тяготение было силой притяжения; это может быть выражено в виде некоторого неравенства для тензора энергии-импульса. Во-вторых требуется, чтобы количества материи, содержащегося в некоторой области, было бы достаточно для того, чтобы ничто не могло покинуть эту область. Это произойдет, если имеется замкнутая ловушечная поверхность или если вся Вселенная сама пространственно замкнута. Третье требование состоит в том, чтобы не было никаких нарушений причинности. Однако в одной из доказываемых теорем это требование не является необходимым. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы с помощью результатов гл. 6 показать, что между определенными парами точек должны существовать времениподобные кривые наибольшей длины. Тогда можно доказать, что если бы сингулярности отсутствовали, то были бы фокальные

точки, а, следовательно, не было бы кривой наибольшей длины между этими парами точек.

После этого мы даем описание предложенной Шмидтом процедуры построения границы пространства-времени, отображающей его сингулярные точки. Эта граница может отличаться от той части причинной границы (ее определение дано в гл. 6), которая соответствует сингулярностям.

В гл. 9 показано, что второе условие теоремы 2 гл. 8 должно выполняться вблизи звезд с массой 1,5 массы Солнца на конечных стадиях их эволюции. Сингулярности, которые возникают при этом, вероятно, находятся за горизонтом событий и ненаблюдаемы извне. Там, где когда-то была звезда, внешний наблюдатель видит «черную дыру». Мы рассмотрим свойства этих черных дыр и покажем, что вероятным итогом процесса образования их является установление в пространстве-времени метрики из семейства решений Керра. В предположении, что так на самом деле и происходит, можно наложить определенные ограничения сверху на количество энергии, которое можно извлечь из черной дыры. В гл. 10 показано, что второе условие теорем 2 и 3 гл. 8 выполнено при обращении знака времени для Вселенной в целом. В этом случае сингулярности были в прошлом по отношению к нам и представляют собой начало развития всей наблюдаемой Вселенной или ее части.

Существенная часть вводного материала содержится в разделах 3.1, 3.2 и 3.4. Читателю, желающему понять лишь теоремы, предсказывающие существование сингулярностей во Вселенной, достаточно затем прочитать только гл. 4 и разд. 6.2-6.7, 8.1, 8.2. Применение этих теорем к коллапсирующим звездам дано в разд. 9.1 (где используются также результаты приложения Б); в разд. 10.1 эти теоремы на основе некоторого истолкования моделей Робертсона — Уокера применяются к Вселенной в целом. Обсуждение характера сингулярностей содержится в разд. 8.1, 8.3-8.5 и 10.2; важную роль при этом играет пример пространства Тауба — НУТ (разд. 5.8). Определенный интерес представляет также модель Вселенной типа I Бианки (разд. 5.4),

Читателю, желающему ознакомиться лишь с вопросом о черных дырах, необходимо прочитать гл. 4 и разд. 6.2-6.6, 6.9, 9.1-9.3. Здесь мы основываемся на определенной интерпретации решения Шварцшильда (разд. 5.5) и решения Керра (разд. 5.6).

Наконец, читатель, который в первую очередь интересуется свойствами эволюции во времени уравнений Эйнштейна, может ограничиться чтением разд. 6.2-6.6 и гл. 7. Для него окажутся интересными примеры, приведенные в разд. 5.1, 5.2 и 5.5.

Мы старались сделать указатель полезным путеводителем по всем введенным определениям и связям между ними.