Глава 10. Начальная сингулярность во Вселенной

Расширение Вселенной во многих отношениях подобно коллапсу звезды, если не считать того, что направление времени при расширении обратное. В этой главе мы покажем, что условия теорем 2 и 3, по-видимому, выполнены, и это указывает на наличие сингулярности в начале современной фазы расширения Вселенной; в связи с этим мы рассмотрим проявления пространственно-временных сингулярностей.

В разд. 10,1 мы покажем, что при условии частичной термализации микроволнового фонового излучения во Вселенной в результате рассеяния существуют направленные в прошлое замкнутые ловушечные поверхности; альтернативным условием их существования является выполнение принципа Коперника, согласно которому наше положение во Вселенной ничем не выделено. В разд. 10.2 мы рассмотрим возможную природу этой сингулярности и несостоятельность в самой сингулярности современной физической теории.

10.1 Расширение Вселенной

В разд 9.1 мы показали, что многие звезды в конце концов будут коллапсировать и при этом возникнут замкнутые ловушечные поверхности. Переходя к большим масштабам, можно рассматривать расширение Вселенной как обращенный во времени коллапс. Поэтому можно надеяться, что в космологическом масштабе условия теоремы 2 будут выполнены при обратном направлении времени, если материи во Вселенной достаточно для того, чтобы возникли замкнутые ловушечные поверхности и если она в некотором смысле достаточно симметрична. Мы приведем два довода в пользу того, что материи действительно достаточно. Они оба основаны на данных наблюдений микроволнового фонового излучения, но исходные предпосылки несколько различны.

Наблюдения в радиодиапазоне между 20 см и 1 мм указывают на существование фонового излучения, спектр которого (представленный на рис. 62, а), по-видимому, близок к спектру излучения абсолютно черного тела при температуре 2,7 К (см.,

(кликните для просмотра скана)

например, [48]). Это фоновое излучение, по-видимому, изотропно в пределах 0,2% (рис. 62, б; см., например, [155] и ссылки, приведенные там). Высокая степень изотропии свидетельствует о том, что это излучение не может зарождаться в пределах нашей Галактики (Солнечная система расположена вне плоскости Галактики), а должно быть внегалактического происхождения. В этом диапазоне мы можем наблюдать дискретные источники, причем расстояния до некоторых из них, как это установлено по другим данным, порядка 1027 см; следовательно, мы знаем, что на указанных длинах волн Вселенная прозрачна вплоть до таких расстояний. Таким образом, излучение источников, находящихся на расстояниях больше 1027 см, должно было свободно распространяться по направлению к нам по крайней мере на таких расстояниях.

Возможные объяснения происхождения этого излучения таковы:

1) оно является излучением абсолютно черного тела, оставшимся от ранней горячей фазы Вселенной;

2) оно является результатом наложения очень большого числа весьма удаленных неразрешенных дискретных источников;

3) оно генерируется межгалактической пылью, которая термализует другие виды излучения (вероятно, в инфракрасной области).

Из этих объяснений наиболее приемлемым представляется первое. Второе кажется невероятным, так как, по-видимому, нет достаточного числа источников с нужным спектром, которые могли бы создать заметную долю наблюдаемого излучения в данном диапазоне частот. Далее, мелкомасштабная изотропия излучения означает, что число дискретных источников должно быть очень велико (порядка числа галактик), а большинство галактик, по-видимому, не имеет заметного излучения в этой области спектра. Третье объяснение также представляется маловероятным, поскольку концентрация межзвездных частиц, которая понадобилась бы для этого, слишком велика. Хотя первое объяснение кажется наиболее вероятным, мы все же не будем исходить из него, так как это означало бы, что мы заранее предполагаем существование ранней горячей фазы в эволюции Вселенной.

Первое объяснение включает в себя принцип Коперника, согласно которому наше местонахождение в пространстве-времени ничем не выделено. По нашей интерпретации из этого принципа следует, что микроволновое фоновое излучение должно выглядеть одинаково изотропным для любого наблюдателя, скорость которого относительно близлежащих галактик мала. Другими словами, мы предполагаем существование

расходящейся геодезической конгруэнции (расходящейся — потому, что галактики удаляются друг от друга, геодезической — потому что они движутся под действием одного лишь тяготения с единичным вектором 4-скорости V, представляющей усредненное движение галактик, относительно которых это микроволновое излучение выглядит почти изотропным. Из принципа Коперника следует также, что большая часть микроволнового излучения свободно движется к нам с больших расстояний . Это видно из того, что вклад в фоновое излучение сферического слоя вокруг нас толщиной и радиуса в определенном приближении не зависит от количество излучения, поступающего из этого слоя, будет пропорционально а уменьшение интенсивности — обратно пропорционально квадрату расстояния Так будет до тех пор, пока не станет заметным красное смещение источников, не будет сказываться эволюция источников или не станут значительными эффекты кривизны. Однако все эти явления проявятся лишь на расстояниях порядка радиуса Хаббла, см. Следовательно, подавляющая часть излучения будет свободно приходить к нам с расстояния см. Из того факта, что, преодолев такое большое расстояние, излучение остается изотропным, мы можем заключить, что в больших масштабах метрика Вселенной близка к одной из метрик Робертсона — Уокера (разд. 5.3). Этот вывод следует из результатов Элерса, Герена и Сакса [44], к изложению которых мы переходим.

Микроволновое фоновое излучение можно описать функцией распределения заданной на изотропных векторах в (их совокупность можно рассматривать как фазовое пространство фотонов). Если функция распределения строго изотропна для наблюдателя, движущегося с 4-скоростью то она будет иметь вид , где Поскольку это излучение распространяется свободно, функция должна подчиняться уравнению Лиувилля в Это означает, что функция постоянна вдоль интегральных кривых горизонтального векторного поля X, т. е. вдоль любой кривой где и -изотропная геодезическая в 1 и .

Поскольку должна стремиться к нулю при (иначе плотность энергии излучения была бы бесконечной), должен существовать открытый интервал Е, в котором этом интервале мы можем выразить Е как функцию Тогда уравнение Лиувилля означает, что на каждой изотропной геодезической

где рассматривается как функция на Л при фиксированном . Кроме того,

Можно разложить на две составляющие: направленную вдоль и ортогональную к , где . Тогда из (10.1) и (10.2) следует, что при всех единичных векторах ортогональных к выполняется равенство

где скорость изменения вдоль интегральных кривых V. Отделяя сферические гармоники, имеем

Поскольку мы приняли, что из (10.36) следует, что вектор V ортогонален к поверхностям и это означает, что завихренность равна нулю. В силу имеем Следовательно, V можно записать как градиент функции

Тензор энергии-импульса излучения будет иметь вид

где Поскольку скорость галактик относительно интегральных кривых вектора мала, их вклад в тензор энергии-импульса можно аппроксимировать тензором энергии-импульса непрерывной жидкости с плотностью -скоростью и пренебрежимо малым давлением. Тогда мы придем к выводу, что геометрия пространства-времени такая же, как в модели Робертсона — Уокера. Для этого заметим сначала, что

Умножая это уравнение на находим

Левая часть равна нулю в силу уравнений поля, и, следовательно, расхождение постоянно на поверхностях

(которые являются также поверхностями постоянного По функции из уравнения можно определить функцию . Тогда уравнение Райчаудхури (4.26) принимает форму

откуда следует, что тоже постоянно на поверхностях Из определения следует, что по отдельности постоянны на этих поверхностях.

Из той части равенства (4.27), след которой равен нулю, видно, что Уравнения Гаусса — Кодацци (разд. 2.7) приводят теперь к следующей формуле для тензора Риччи на -поверхностях

На трехмерном многообразии тензор Римана полностью определяется тензором Риччи:

Отсюда каждая -поверхность есть трехмерное пространство постоянной кривизны — -Интегрирование уравнения Райчаудхури приводит к формуле

где — постоянная. Нормируя можно положить или —I. Рассматриваемое четырехмерное пространственно-временное многообразие есть ортогональное произведение этих -пространств и линии Итак, наша метрика может быть записана в сопутствующих координатах, как

где — метрика -пространства постоянной кривизны т. е. метрика Робертсона — Уокера (см. разд. 5.3).

Теперь мы покажем, что в любом пространстве Робертсона—Уокера с положительной плотностью энергии и имеется замкнутая ловушечная поверхность в каждой -поверхности Чтобы убедиться в этом, представим в виде

где равно в зависимости от того, чему равно или . Рассмотрим -сферу радиуса х,

расположенную в поверхности Два семейства направленных в прошлое ортогональных к изотропных геодезических будут пересекать поверхности по двум -сферам радиуса

Площадь поверхности -сферы радиуса равна Таким образом, оба семейства изотропных геодезических будут сходящимися в прошлом, если при неравенство

выполняется для обоих значений из (10.5). Это произойдет при

но, согласно (10.4), это неравенство выполняется, если

что в свою очередь справедливо, если взять большим, чем при или —1, и большим, чем при

Этот результат интуитивно можно интерпретировать как требование, чтобы в момент времени сфера координатного радиуса ул содержала массу порядка , таким образом, была внутри своего радиуса Шварцшильда, если т. е. если по порядку величины больше Мы будем называть величину шварцшильдовой длиной материи плотностью

До сих пор мы полагали, что микроволновое излучение строго изотропно. Это, конечно, не так, поскольку Вселенная не является в точности пространством Робертсона — Уокера. Однако крупномасштабная структура Вселенной должна быть близка к структуре модели Робертсона — Уокера по крайней мере назад во времени, к моменту, когда микроволновое фоновое излучение было испущено или претерпело последнее рассеяние. (Отклонения микроволнового излучения от строгой изотропии можно использовать для оценки того, сколь велики отклонения от геометрии Робертсона — Уокера.) Для достаточно большой сферы существование локальных неоднородностей не должно заметно влиять на количество материи в ней и потому не должно сказываться на существовании замкнутых ловушечных поверхностей вокруг нас в современную эпоху.

Приведенное выше рассуждение не зависит от спектра микроволнового излучения, но подразумевает выполнение принципа Коперника. Рассуждение, которое мы приведем теперь, не связано с принципом Коперника, но в определенной степени зависит от формы спектра. Мы предположим, что приблизительно равновесный характер спектра и высокая степень изотропии фонового излучения являются свидетельством того, что оно, по крайней мере частично, термализовано многократным рассеянием. Иначе говоря, на каждой направленной от нас в прошлое изотропной геодезической должно быть достаточно вещества, чтобы прозрачность в этом направлении была не слишком велика. Мы покажем затем, что этого вещества будет достаточно, чтобы наш световой конус прошлого оказался сходящимся в прошлом.

Рассмотрим точку изображающую нас в настоящий момент времени, и пусть — направленный в прошлое единичный вектор, параллельный нашей 4-скорости.

Аффинный параметр и направленных в прошлое изотропных геодезических, проходящих через можно нормировать условием где — касательный к этим изотропным геодезическим вектор. Расхождение в этих изотропных геодезических будет подчиняться уравнению (4.35) с в Таким образом, если то Отсюда следует, что при

и поэтому станет отрицательным, если найдется такое, что

Используя уравнения Эйнштейна с получаем

На сантиметровых волнах наибольшее отношение непрозрачности к плотности вещества при разумных значениях последней соответствует томсоновскому рассеянию на свободных электронах в ионизованном водороде. Поэтому оптическая толща на расстоянии будет меньше

где х—непрозрачность вследствие томсоновского рассеяния на единицу массы, плотность вещества и локальная скорость газа. Красное смещение вещества определяется формулой Поскольку вещество со значительным фиолетовым смещением не наблюдается, мы будем предполагать, что на нашем световом конусе прошлого величина всегда больше единицы вплоть до оптической толщи, равной единице. Поскольку на этих длинах волн наблюдаются галактики с красными смещениями 0,3, большая часть рассеяния должна происходить при красных смещениях самом деле, если квазары — действительно космологические объекты, то рассеяние должно происходить при красных смещениях При постоянной Хаббла порядка красное смещение 0,3 соответствует расстоянию около см. Принимая для это значение для вклада в интеграл (10.6) вещества, которое вызывает рассматриваемое рассеяние, получим

тогда как оптическая толща вещества между меньше

Поскольку легко убедиться, что неравенство (10.6) будет выполнено при оптической толще меньше 0,2. При оптической толще Вселенной, меньшей 1, нельзя ожидать ни спектра, близко совпадающего со спектром излучения абсолютно черного тела, ни такой высокой степени изотропии в малых угловых масштабах, если только не существует очень большого числа дискретных источников, покрывающих лишь малую часть неба (по площади), при этом каждый из них должен в грубом приближении иметь спектр излучения абсолютно черного тела с температурой 3 К, но значительно большей интенсивности. Это представляется маловероятным. Поэтому мы уверены, что условие теоремы 2 удовлетворяется и, следовательно, где-то во Вселенной должна быть сингулярность, если конечно, выполнены и остальные условия.

Ввиду своей общности теорема 2 не говорит нам, находится ли сингулярность в нашем прошлом, или в будущем нашего прошлого. Казалось бы, очевидно, что сингулярность должна быть в нашем прошлом, однако можно построить пример, в котором она находится в будущем: рассмотрим Вселенную Робертсона—Уокера с которая коллапсирует к сингулярности в некоторый момент а при

асимптотически приближается к статической Вселенной Эйнштейна. В ней удовлетворяется энергетическое условие и имеются точки, световые конусы прошлого которых начинают сходиться (поскольку они пересекаются на «противоположной стороне» Вселенной). Однако сингулярность находится в будущем. Конечно, это довольно искусственный пример, но из него видно, что следует проявлять осторожность. Поэтому мы приведем рассуждение, основанное на теореме 3, которое указывает на то, что при выполнении принципа Коперника Вселенная содержит сингулярность в нашем прошлом. Теорема 3 подобна теореме 2, но требует, чтобы вместо всех изотропных геодезических все времениподобные геодезические, направленные в прошлое из некоторой точки, начинали сходиться. Это условие не выполняется в приведенном выше примере, хотя ему удовлетворяют геодезические, направленные в будущее из любой точки.

Рассуждая так же, как в случае изотропных геодезических, получим, что схождение направленных в прошлое из точки времениподобных геодезических будет меньше

где собственное расстояние вдоль этих геодезических, . Пусть — направленный в прошлое времениподобный единичный вектор в точке (и, следовательно, . Тогда станет меньше —с в пределах расстояния вдоль любой геодезической, если существует некоторое такое, что вдоль этой геодезической

Условие (3) теоремы 3 будет удовлетворено при

Чтобы привести неравенство (10.7) к виду, подобному (10.6), мы введем вдоль времениподобных геодезических аффинный параметр тогда (10.7) приобретает вид

где . В отличие от (10.6) мы не можем убедиться в выполнении условия (10.8) прямо по его явному виду, поскольку оно записано для времениподобных геодезических. Поэтому мы обратимся к рассуждению, приведенному в первой части настоящего раздела, где мы показали, что

Вселенная близка к модели Робертсона — Уокера по крайней мере в прошлые времена до момента, когда микроволновое фоновое излучение претерпело последнее рассеяние.

Пусть — вектор в модели Робертсона — Уокера. Вдоль направленной в прошлое времениподобной геодезической, проходящей через

Отсюда, если Однако

и, следовательно, при некотором условие (10.8) будет удовлетворено для любой геодезической, если только существуют моменты времени такие, что

В силу уравнений поля с

Поэтому при условии,

Следовательно, (10.9) удовлетворяется, если

Если принять, что микроволновое излучение имеет спектр абсолютно черного тела при температуре 2,7 К, то в настоящее время плотность его энергии порядка Если это излучение—первичное, то плотность его энергии будет пропорциональна Поскольку при стремлении к нулю, неравенству (10.10) можно удовлетворить, взяв и достаточно малое Насколько мало значение должно зависеть от конкретного поведения которое в свою очередь зависит от плотности вещества во Вселенной. Это довольно неопределенная величина, но она, по-видимому, лежит между . В первом случае должно быть таким, чтобы а в последнем — таким, чтобы Микроволновое излучение, по-видимому, заполняет всю Вселенную, поэтому любая направленная в прошлое времениподобная геодезическая должна проходить сквозь

него. Таким образом, оценка, основанная на модели Робертсона — Уокера, должна служить хорошим приближением для вклада фонового излучения в (10.10), если оно возникло позднее момента и если сама модель Робертсона — Уокера является хорошим приближением для столь далекого прошлого. Из рассуждений, приведенных в начале данного раздела, следует, что последнее справедливо при условии, что с момента фоновое излучение распространялось к нам свободно. Однако не исключено, что существует ионизованный межгалактический газ плотностью порядка и в этом случае излучение могло претерпеть последнее рассеяние в момент времени в который Оптическая толща в прошлое к моменту равна

где и не превышает 0,5, если измерять в и в см.

В прошлом не может быть значительной непрозрачности до , так как нам видны объекты на расстоянии по крайней мере см. Принимая для это значение, мы видим, что при такой плотности ионизованного газа соотношение (10.10) будет удовлетворяться при значении которое соответствует оптической толще, не превышающей 0,5.

Итак, сложилось следующее положение. Мы принимаем, что выполняется принцип Коперника и что микроволновое излучение было испущено либо до момента в который либо до момента, в который оптическая толща Вселенной равна единице, если этот момент более поздний, чем . В первом случае условие (2) теоремы 3 будет удовлетворено за счет плотности излучения, а во втором случае — за счет плотности газа. Следовательно, если выполнены обычные энергетические условия и условия причинности, то мы можем заключить, что в нашем прошлом должна быть сингулярность (т. е. должна существовать направленная от нас в прошлое непространственноподобная геодезическая, которая неполна).

Пусть имеется пространственноподобная поверхность, пересекающая наш изотропный световой конус прошлого, и ряд точек на этой поверхности; можно ли утверждать, что в прошлом каждой из них есть сингулярность? Это было бы так, если бы Вселенная была настолько однородна и изотропна в прошлом, чтобы могло возникнуть схождение всех направленных в прошлое времениподобных геодезических из этих точек. Ввиду тесной связи между схождением времениподобных геодезических и замкнутыми ловушечными поверхностями можно ожидать, что нужная степень однородности и изотропии в прошлом

имелась, если Вселенная была однородна и изотропна на расстояниях порядка шварцшильдовой длины

Измерения Пензиаса, Шрамля и Уилсона [134], обнаруживших, что интенсивность микроволнового фонового излучения изотропна в пределах 4% при телесном угле диаграммы квадратных градуса, дают прямые свидетельства однородности Вселенной в прошлом. В предположении, что микроволновое излучение не генерировалось позднее поверхности, соответствующей оптической толще, равной единице, получаем, что наблюдаемая интенсивность пропорциональна где Т — эффективная температура наблюдаемой точки на этой поверхности и ее красное смещение. Вариации наблюдаемой интенсивности могут возникнуть по четырем причинам:

1) из-за доплеровского сдвига, вызванного нашим собственным дзижением относительно излучения абсолютно черного тела [154, 163];

2) из-за вариаций гравитационного красного смещения, вызванных неоднородностями в распределении вещества между нами и рассматриваемой поверхностью [138, 144];

3) нз-за доплеровских сдвигов, вызванных локальными возмущениями скоростей вещества на поверхности;

4) из-за вариаций эффективных температур поверхности. (В действительности деление на пункты (1), (2) и (3) зависит от способа отсчета и имеет только эвристическое значение.) Таким образом, наблюдения свидетельствуют, что неоднородности температуры с характерными угловыми размерами 3 имеют относительные амплитуды меньше и что при тех же характерных размерах не существует локальных флуктуаций скорости вещества с скорости света. Область поверхности с угловым диаметром около 3 будет соответствовать области, которая сейчас имеет диаметр около лет. Если поверхность, соответствующая оптической толще, равной единице, имеет красное смещение (максимально возможное), то шварцшильдова длина в тот момент соответствовала бы области с современным диаметром около лет. Таким образом, каждая точка на поверхности единичной оптической толщи, по-видимому, должна иметь в своем прошлом сингулярность.

Более косвенные данные о степени однородности Вселенной на ранних стадиях основаны на том, что наблюдения содержания гелия в ряде небесных объектов согласуются с расчетами образования гелия в предположении, что Вселенная была однородна и изотропна в прошлом вплоть до температуры порядка другой стороны, расчеты по анизотропным моделям дают совершенно иные количества гелия. Поэтому, если принять, что гелий распределен во Вселенной

довольно равномерно (относительно этого есть некоторые сомнения) и что этот гелий образовался на ранних стадиях Вселенной, то можно сделать вывод, что Вселенная была эффективно изотропна и однородна в эпоху с температурой 109 К. Следовательно, можно ожидать, что в прошлом любой точки этого времени имеется сингулярность.

Мизнер [106] показал, что столкновения электронов и нейтрино создают значительную вязкость, если температура достигает Эта вязкость могла бы привести к затуханию неоднородностей, размеры которых соответствуют в настоящее время расстоянию лет, и снизить анизотропию до сравнительно малой величины. Таким образом, если принять подобное объяснение современной изотропии Вселенной (такое объяснение весьма привлекательно), то можно заключить, что сингулярность должна быть в прошлом любой точки в эпоху с температурой около 1010 К.