2.7. Гиперповерхности

Пусть есть -мерное многообразие и — некоторое вложение; тогда образ многообразия называют гиперповерхностью в Если образ в при отображении будет -мерной плоскостью, проходящей через

начало. Следовательно, существует ненулевая линейная форма такая, что для любого вектора Форма единственна с точностью до знака и нормировочного множителя, и если локально задать уравнением так что то в качестве можно локально взять Если двустороннее подмногообразие в то можно выбрать так, что полученное поле -формы на будет всюду отлично от нуля. Это будет иметь место, если и ориентируемые многообразия. В таком случае выбор направления связывает ориентации : пусть такие локальные координаты из ориентированного атласа на в которых локально уравнение имеет вид где тогда будут ориентированными локальными координатами

Если есть метрика на вложение индуцирует метрику на 9, так что для Иногда эту метрику называют первой фундаментальной формой на . Если — положительно определенная метрика, то и будет положительно определенной. Если же — лоренцева метрика, то будет

а) лоренцевой при

б) вырожденной при

в) положительно определенной при

В случае (а) гиперповерхность называется времениподобной, в случае — изотропной и в случае пространственноподобной.

Чтобы убедиться в существовании этих возможностей, рассмотрим вектор он ортогонален ко всем векторам, касательным к т. е. ко всем векторам подпространства в . Предположим сначала, что сам вектор не лежит в этом подпространстве. Тогда, если образуют базис в векторы линейно независимы и составляют базис в Компоненты относительно этого базиса равны

В силу предположения о невырожденности отсюда следует, что Если положительно определена, то , следовательно, индуцированная метрика тоже должна быть положительно определенной. Если лоренцева и то необходимо положительно определена, так как матрица из компонент имеет только одно отрицательное собственное число. Аналогично, если то — лоренцева метрика. Предположим теперь, что вектор

касателен к Тогда найдется ненулевой вектор такой, что но для всех Y и, следовательно, Таким образом, метрика вырождена. Кроме того, полагая имеем

Если , нормальную линейную форму можно нормировать так, чтобы она имела единичную „длину", т. е. . В этом случае отображение будет однозначным в -мерном подпространстве пространства состоящем из всех линейных форм в для которых это следует из того, что не лежит в Н. Поэтому обратное отображение будет отображением 0 пространства на , таким образом, на

Это отображение можно расширить обычным образом до отображения ковариантных тензоров в в ковариантные тензоры в поскольку у нас есть отображение контравариантных тензоров в в ковариантные тензоры в мы можем расширить до отображения произвольных тензоров в в тензоры в . Это отображение обладает тем свойством, что свертка по любому индексу равна нулю, т. е.

для любого тензора Т

Рассмотрим тензор на определяемый как Его можно записать через нормированную линейную форму (напомним, что ) в виде

поскольку отсюда следует, что

Тензор есть оператор проектирования, т. е. Он проектирует вектор на ту его часть, которая лежит в подпространстве касательного к пространства

где второе слагаемое представляет собой часть вектора X, ортогональную к . Тензор проектирует и линейную форму на ее часть, лежащую в подпространстве

Подобным же образом можно спроектировать любой тензор на его часть, принадлежащую пространству

т. е. часть, ортогональную к по всем индексам.

является взаимно однозначным отображением из Поэтому отображение 0 из можно задать, проектируя сначала на посредством и выполняя затем обратное отображение Поскольку мы уже определили отображение 0 линейных форм в можно расширить определение 0 до отображения 0 тензоров на любого типа в тензоры на многообразии . Это отображение обладает тем свойством, что для любого тензора для любого тензора Мы будем отождествлять тензоры на с тензорами из на если они переходят друг в друга при отображениях . В частности, можно рассматривать как индуцированную метрику на

Пусть есть какое-либо расширение единичной нормали на некоторую открытую окрестность гиперповерхности тогда тензор X, определенный на формулой

называется второй фундаментальной формой на . Поскольку проектирование с помощью ограничивает ковариантные производные касательными к направлениями, X не зависит от способа расширения. Локально поле можно представить в виде где и — функции на причем на Поскольку

тензор симметричен.

Индуцированная на метрика задает на 9 связность. Ковариантное дифференцирование относительно этой связности мы будем обозначать двойной чертой Для любого тензора справедливо равенство

где — любое расширение Т на некоторую окрестность Это определение не зависит от выбора расширения, так как свертывание с ограничивает ковариантное дифференцирование направлениями, касательными к . Чтобы убедиться в

правильности приведенной формулы, достаточно показать, что ковариантная производная индуцированной метрики равна нулю и кручение отсутствует. Это следует из равенств:

и

Тензор кривизны относительно индуцированной метрики можно следующим образом связать с тензором кривизны на и второй фундаментальной формой К. Пусть — векторное поле на тогда

Имеем

и, поскольку на

Отсюда

и так как это равенство справедливо для всех то

Это соотношение называют уравнением Гаусса.

Свертывая это уравнение по а и с и умножая на получаем скалярную кривизну относительно индуцированной метрики

Можно вывести иное соотношение между второй фундаментальной формой и тензором кривизны на если из равенства

вычесть равенство

В результате получаем уравнение

называемое уравнением Кодацци.