Глава 2. Дифференциальная геометрия

Структура пространства-времени, о которой пойдет речь в следующей главе и которая является основной для изложения во всей остальной части книги, — это структура многообразия, наделенного лоренцевой метрикой и определяемой ею аффинной связностью.

В настоящей главе, в разд. 2.1, мы введем понятие многообразия, а в разд. 2.2 - векторы и тензоры, являющиеся естественными геометрическими объектами, определяемыми на многообразии. В разд. 2.3 будут рассмотрены отображения многообразий, что приведет нас к понятиям подмногообразий и индуцированных отображений тензоров. Производная индуцированного отображения, определяемого векторным полем, дает производную Ли; она вводится в разд. 2.4. Там же мы даем определение внешнего дифференцирования — другой дифференциальной операции, зависящей только от структуры многообразия. Эта операция встречается в обобщенной форме теоремы Стокса.

В разд. 2.5 вводится дополнительная структура — связность; это позволяет ввести ковариантную производную и тензор кривизны. В разд. 2.6 рассмотрено соотношение между метрикой и связностью и дано выражение для тензора кривизны через тензор Вейля и тензор Риччи, которые связаны между собой тождествами Бианки.

В оставшейся части главы мы обсудим ряд других вопросов дифференциальной геометрии. В разд. 2.7 рассмотрены метрика и связность, индуцированные на гиперповерхности, и выведены уравнения Гаусса — Кодацци. В разд. 2.8 вводится задаваемый метрикой элемент объема, который затем используется для доказательства теоремы Гаусса. Наконец, в разд. 2.8 мы вкратце остановимся на расслоенных пространствах, уделяя особое внимание касательным и реперным расслоениям. Это позволит переформулировать многие из введенных ранее понятий на красивом геометрическом языке. Сведения из разд. 2.7 и 2.9 в дальнейшем используются только в одном или двух местах и несущественны для понимания основного содержания книги,