2.4. Внешнее дифференцирование и производная Ли

Теперь нам предстоит рассмотреть три дифференциальных оператора на многообразии, два из которых полностью определяются структурой многообразия, а определение третьего (разд. 2.5) связано с введением дополнительной структуры.

Оператор внешнего дифференцирования линейно отображает поле -формы в поле -формы. Его действие на поле -формы (т. е. на функцию) дает поле -формы по правилу (ср. с разд. 2.2);

для всех векторных полей X; действие на поле -формы

дает поле -формы

Чтобы убедиться, что это поле -формы не зависит от выбора координат использованных при его определении, рассмотрим другую систему координат Тогда

где

Следовательно, определяемой этими координатами, является

ввиду симметрии и антисимметрии по а и е. Отметим, что такое определение подходит только для внешних форм: оно не будет независимым от выбора координат, если внешнее умножение заменить тензорным произведением. Используя равенство справедливое для произвольных функций для любых -формы А и -формы В получим, что Согласно (2.8), локально-координатное выражение имеет вид отсюда следует, что поскольку первый множитель симметричен, а второй антисимметричен. Аналогично, из (2.9) следует, что

для любого поля -формы А.

Оператор коммутирует с отображениями многообразия в следующем смысле: пусть есть -отображение и А — некоторое О-поле внешней формы на тогда, согласно (2.7),

(что эквивалентно правилу дифференцирования сложных функций)

Оператор естественным образом появляется в общей формулировке теоремы Стокса на многообразии. Сначала мы определим интегрирование -формы. Пусть — компактное ориентируемое -мерное многообразие с границей и пусть разложение единицы для конечного ориентированного атласа Тогда интеграл по поля -формы А на определяется как

где компоненты А относительно локальных координат в координатной окрестности а интегралы в правой части — это обычные кратные интегралы по открытым множествам Таким образом интегрирование -формы по сводится к отображению формы в R (путем введения локальных координат) и обычному кратному интегрированию в существование разложения единицы гарантирует глобальную справедливость этой операции.

Интеграл (2.10) является хорошо определенной величиной, поскольку, выбирая другой атлас и разложение единицы для этого атласа, мы получили бы интеграл

где — соответствующие локальные координаты. Из сравнения этих двух величин в пересечении координатных окрестностей, принадлежащих двум атласам, видно, что первую из них можно представить в виде

а вторую в виде

В силу законов преобразования -формы А и кратных интегралов в эти выражения равны в окрестности любой точки, и, следовательно, не зависит от выбора атласа и разложения единицы.

Подобным же образом можно показать, что этот интеграл инвариантен относительно диффеоморфизмов: если Ф есть О-диффеоморфизм из то

Обобщенную теорему Стокса можно сформулировать теперь с помощью оператора следующим образом: пусть В — поле -формы на тогда

в чем можно убедиться (см., например, [161]), используя данные выше определения; по существу мы получили общую формулировку этой фундаментальной теоремы анализа. Чтобы выполнить интегрирование в левой части, нужно задать ориентацию границы многообразия Это делается следующим образом. Пусть такая координатная окрестность из ориентированного атласа многообразия что пересекает тогда, согласно определению лежит в плоскости лежит в нижней половине Координаты являются тогда ориентированными координатами в окрестности границы Можно убедиться, что таким путем получается ориентированный атлас на

Структурой многообразия естественным образом определяется другой вид дифференцирования — производная Ли. Рассмотрим произвольное векторное -поле на

Согласно фундаментальной теореме для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [18], через каждую точку проходит единственная максимальная кривая такая, что и ее касательный вектор в точке есть вектор Пусть — локальные координаты, так что кривая имеет координаты а вектор X — компоненты Тогда локально эта кривая есть решение системы дифференциальных уравнений

Эта кривая называется интегральной кривой векторного поля X с начальной точкой Для каждой точки найдется ее открытая окрестность такие, что X задает семейство диффеоморфизмов если которые получаются переносом каждой точки на параметрическое расстояние вдоль интегральных кривых X. В самом деле, отображения образуют однопараметрическую локальную группу диффеоморфизмов, поскольку для так что есть единица группы. Этот диффеоморфизм отображает в в точке любое тензорное поле Т типа

По определению производная тензорного поля Т относительно X есть взятое с обратным знаком значение в точке производной семейства тензоров по т. е.

Из свойств следует

1) сохраняет тип тензора, т. е. если Т — тензорное поле типа то — тензорное поле того же типа;

2) -линейное отображение и сохраняет свертку.

Можно доказать, что как и в обычном анализе справедливо правило Лейбница;

3) для произвольных тензоров

Из предыдущих определений непосредственно следует

4) , где — любая функция. При отображении точка отображается в . Поэтому есть отображение из Следовательно, в силу (2.6)

В локальных координатах введенных в окрестности точки координаты компоненты в равны

Поскольку

то

и, следовательно,

Для любых -функций последнее равенство можно переписать в виде

Иногда мы будем обозначать через т. е.

Когда производная Ли двух векторных полей равна нулю, говорят, что эти векторные поля коммутируют. В этом случае, если из точки двигаться вдоль интегральной кривой поля X на расстояние (по параметру кривой), а потом вдоль интегральной кривой на расстояние то конечная точка будет той же, как при движении сначала на расстояние вдоль интегральной кривой а затем на расстояние вдоль интегральной кривой X (см. рис. 7). Таким образом, множество всех точек, которых можно достичь, двигаясь из данной точки вдоль интегральных кривых X и образует погруженное двумерное подмногообразие, содержащее

Компоненты производной Ли -формы со можно получить сверткой равенства

[свойство (3) производной Ли]; в результате имеем

[по свойству (2) производной , где — произвольные векторные С-поля.

Рис. 7. Преобразования, порождаемые коммутирующими векторными полями переводят точку соответственно в точки

Выбирая в качестве базисный вектор получим, что координатные компоненты равны

поскольку из (2.11) следует, что

Аналогично, применяя правило Лейбница к выражению

и затем свертывая по всем индексам, можно найти координатные компоненты производной Ли любого тензорного С-поля

Т типа они равны

В силу (2.7) любая производная Ли коммутирует с т. е. для любого поля -формы

Как из этих формул, так и из их геометрической интерпретации вытекает, что производная Ли тензорного поля Т типа зависит от направления векторного поля X не только в точке но и в соседних точках.

Таким образом, введенные нами два дифференциальных оператора, определяемые структурой многообразия, имеют слишком ограниченный характер для того, чтобы служить обобщением понятия частной производной, которое необходимо для задания уравнения полей физических величин на многообразиях. В самом деле, действует только на внешние формы, а производная Ли отличается от обычной частной производной тем, что последняя (как производная по направлению) зависит только от направления в рассматриваемой точке. Нужное нам обобщение производной — ковариантную производную — можно получить при введении на многообразии дополнительной структуры. Это будет сделано в следующем параграфе.