Приложение Б. Сферически-симметричные решения и теорема Биркхофа

Мы хотим рассмотреть уравнение Эйнштейна в случае сферически-симметричного пространства. Существенным свойством сферически-симметричного пространства-времени можно считать существование мировой линии относительно которой пространство-время сферически-симметрично. Тогда эквивалентны все точки на каждой пространственноподобной -сфере с центром в произвольной точке и определяемой как поверхность постоянного расстояния вдоль всех геодезических, ортогональных к Я? в точке Если изменить направление в точке действием ортогональной группы оставляющей сферу инвариантной, пространство-время по определению не меняется и соответствующие точки сферы отображаются друг в друга; таким образом, пространство-время допускает группу в качестве группы изометрий, причем орбитами группы являются сферы [Могут быть частные значения при которых поверхность превращается в точку тогда будет другим центром симметрии. Точек и сама точка связанных таким образом, может быть самое большее две.]

Однако может быть так, что в некоторых пространствах, которые хотелось бы рассматривать как сферически-симметричные, мировая линия, подобная не будет существовать. Например, в решениях Шварцшильда и Райсснера — Нордстрема пространство-время сингулярно в точках, для которых иначе эти точки могли бы быть центрами симметрии. Поэтому мы примем существование группы изометрий действующей на -поверхностях, подобных за характеристическое свойство сферически-симметричного пространства-времени.

Итак, мы скажем, что пространство-время сферически-симметрично, если оно допускает в качестве группы изометрий группу с орбитами в виде пространственноподобных -поверхностей. Тогда эти орбиты необходимо будут -поверхностями постоянной положительной кривизны.

Для каждой точки на любой орбите существует одномерная подгруппа изометрий , оставляющая инвариантной (если есть центральная ось , то это — группа вращений вокруг оставляющая геодезическую инвариантной).

Множество всех геодезических, ортогональных к в точке образует локально 2-поверхность, инвариантную относительно [поскольку подгруппа которая меняет направления в относительно оставляет неизменными направления, перпендикулярные к . В любой другой точке группа снова меняет направления, ортогональные к оставляя в то же время инвариантной; ввиду того что должна действовать в групповой орбите проходящей через эта орбита ортогональна к Таким образом, групповые орбиты ортогональны к поверхностям 93 [147]. Далее, эти поверхности локально определяют взаимно-однозначное отображение между орбитами группы, в котором образ точки в является пересечением Поскольку это отображение инвариантно относительно действия векторы равной длины в в точке отображаются в векторы равной длины в в точке и так как все точки эквивалентны, при отображении векторов из любой точки в ее образ в все длины получают один и тот же множитель. Таким образом, ортогональные поверхности 93 конформно отображают орбиты одну в другую.

Если выбрать координаты так, чтобы групповыми орбитами стали поверхности а ортогональными поверхностями — поверхности то метрика при этом примет вид далее выбирать функции так, чтобы где — неопределенная метрика -поверхности и — метрика поверхности постоянной положительной кривизны. Если были ортогональны в -поверхностях (ср. с [6]), метрику можно записать в виде

(Отметим, что на этих поверхностях все еще остается свобода произвольного выбора или

Допустим, что наблюдатель, движущийся вдоль линий измеряет плотность энергии изотропное давление, поток энергии причем анизотропных давлений нет. Тогда уравнения поля для метрики можно записать в виде

где штрих означает , а точка .

Рассмотрим сначала уравнения поля в пустом пространстве это означает, что в мы должны положить Локальное решение зависит от рода поверхностей эти поверхности могут быть времениподобны, пространственноподобны или изотропны; кроме того, они могут быть не определены (если У — постоянная). В исключительном случае, когда на некотором открытом множестве (сюда входит случай постоянного У), на выполняется равенство

Однако, если справедливо значение У, получающееся из не согласуется с Следовательно, мы можем рассматривать точку где или такое неравенство должно выполняться в некоторой открытой окрестности точки

Рассмотрим прежде всего случай, когда Тогда в поверхности времениподобны, и можно взять У в качестве координаты (При этом будет координатой, определяемой площадью так как площадь -поверхности равна Итак, а из видно, что Далее, из следует, что и поэтому можно выбрать новую временную координату таким образом, чтобы положить Тогда имеем и решение необходимо статическое. Из уравнения после этого получается, что так что решение имеет вид где постоянная интегрирования. Уравнение можно проинтегрировать; при подходящем выборе постоянной интегрирования получим и тогда тождественно удовлетворяется. При таких и X метрика имеет вид

это — метрика Шварцшильда при

Теперь предположим, что Тогда поверхности прострянственжпюдобны в II, и мы можем выбрать Y в качестве координаты Теперь и из следует, что Можно выбрать координату так, чтобы было тогда и решение — пространственноподобно однородное. Теперь можно проинтегрировать и получить следующее решение:

Это часть решения Шварцшильда, относящаяся к области внутри шварцшильдова радиуса, ибо преобразование приводит эту метрику к виду Наконец, если поверхность в некоторой части открытого множества пространственнонодобна, а в другой части времениподобна, можно в этих частях получить решения и затем сшить их на поверхности как это было сделано в разд. 5.5. Таким образом, получим ту часть максимального решения Шварцшильда, которая лежит в Т. В итоге мы доказали теорему Биркхофа: любое -решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве, сферически-симметричное в открытом множестве Т, локально эквивалентно в Т части максимально расширенного решения Шварцшильда. (Это верно, даже если пространство класса и кусочно класса см. [6].)

Теперь мы рассмотрим сферически-симметричные решения для статической идеальной жидкости. Можно подобрать такие координаты в которых метрика имеет вид жидкость движется вдоль линий (и, следовательно, Из уравнений поля тогда следует, что если такой случай мы исключаем как не имеющий смысла для реальной жидкости и считаем, что Поэтому мы снова можем выбрать У в качестве координаты тогда метрика имеет вид

Из свернутых тождеств Бианки следует, что

Уравнение удовлетворяется тождественно, если справедливы Уравнение можно проинтегрировать явно и получить

где

и использовать граничное условие (т. е. эта жидкая сфера имеет регулярный центр). С учетом уравнение приводится к виду

которое определяет как функцию если известно уравнение состояния. Наконец, из имеем

где С — постоянная. Уравнения задают метрику внутри сферы, т. е. до где — значение на поверхности жидкости.