5.1. Пространство-время Минковского

Пространство-время Минковского является простейшим пустым пространством-временем в общей теории относительности и в действительности представляет собой пространство-время специальной теории относительности. Математически оно есть многообразие с плоской лоренцевой метрикой . В естественных координатах на метрику можно записать в виде

Если используются сферические полярные координаты где то метрика принимает вид

Очевидно, эта метрика, сингулярна при однако это происходит из-за того, что используемые координаты не являются допустимыми в этих точках. Чтобы получить регулярные координатные окрестности, необходимо на координаты наложить ограничения, например Для покрытия всего пространства Минковского нужны две такие координатные окрестности.

Другая координатная система получается при выборе опережающей и запаздывающей изотропных координат

Тогда метрика имеет вид

где Отсутствие в метрике членов отражает тот факт, что поверхности изотропны (т. е. см. рис. 12.

Рис. 12. Пространство Минковского. Изотропные координаты можно представить себе в виде сходящихся (расходящихся) сферических волн, распространяющихся со скоростью света; они являются опережающими (запаздывающими) временными координатами. Пересечение поверхности с поверхностью является 2-сферой, а — координатные поверхности (одна координата опущена), б — плоскость ; каждая точка изображает -сферу радиуса

В системе координат, в которой метрика выражается в виде (5.2), геодезические имеют вид где — постоянные. Таким образом, экспоненциальное отображение определяется формулой

где — компоненты X относительно координатного базиса пространства Поскольку является взаимно однозначным отображением на все многообразие , оно представляет собой диффеоморфизм между и Следовательно,

любые две точки можно соединить единственной геодезической линией. Отображение определено всюду на для всех силу этого пространство-время геодезически полно.

Область Коши (Cauchy development) будущего, прошлого) (соответственно пространственноподобной гиперповерхности определяется как множество всех точек в которые обладают тем свойством, что все непродолжимые в прошлое (будущее) непространственноподобные кривые, проведенные из этих точек, пересекают (ср. с разд. 6.5).

Рис. 13. (см. скан) Поверхность Коши в пространстве-времени Минковского и пространственноподобные поверхности которые не являются поверхностями Коши. Все нормальные к поверхностям геодезические пересекаются в точке О.

Если т. е. если каждая непродолжимая непространственноподобная кривая пересекает , то такую 9 будем называть поверхностью Коши. В пространстве-времени Минковского поверхности образуют семейство поверхностей Коши, покрывающих полностью. Можно, однако, построить нерасширяемые пространственноподобные поверхности, которые

будут поверхностями Коши; например, поверхности

где пространственноподобны, но лежат целиком внутри изотропного конуса прошлого начала О и потому не являются поверхностями Коши (см. рис. 13). В самом деле, область Коши будущего поверхности это область, ограниченная 90 и световым конусом прошлого точки О. В силу леммы 4.5.2, времениподобные геодезические ортогональны к поверхностям . Если то времениподобная геодезическая, проходящая через и О, является времениподобной геодезической наибольшей длины между и . Если же не лежит в то времениподобной кривой наибольшей длины между и не существует, поскольку или лежит в области , и тогда вообще нет времениподобных геодезических, проходящих через и ортогональных о, или лежит в области и тогда времениподобная геодезическая, проходящая через и ортогональная к существует, но она не будет кривой наибольшей длины между и , ибо на ней имеется точка О, сопряженная к (ср. с рис. 13).

Для исследования структуры бесконечности в пространстве-времени Минковского воспользуемся интересным представлением этого пространства, принадлежащим Пенроузу. От изотропных координат перейдем к новым изотропным координатам, в которых бесконечности и преобразованы к конечным значениям. Для этого введем соотношениями координаты и причем Тогда метрика пространства принимает вид

физическая метрика конформна метрике для которой

Эту метрику можно привести к более привычному виду, если ввести

где

тогда вместо (5.5) имеем

Таким образом, все пространство-время Минковского изображается областью (5.6) метрики

где определяется из (5.7); координаты из (5.3) связаны с соотношениями

Метрика (5.7) локально совпадает с метрикой статической модели Эйнштейна (см. разд. 5.3), пространство-время которой полностью однородно. Можно аналитически продолжить (5.7) на всю статическую модель Эйнштейна, т. е. можно продолжить координаты так, чтобы они покрывали все многообразие где рассматриваются как координаты на (с координатными сингулярностями при подобными тем, что были в (5.3); эти сингулярности устраняются переходом к другим локальным координатам в окрестности точек, где метрика (5.7) особенна). Опуская два измерения, можно представить статическую вселенную Эйнштейна в виде цилиндра вложенного в трехмерное пространство Минковского с метрикой (полностью статическую модель Эйнштейна можно получить вложением цилиндра в пятимерное евклидово пространство с метрикой с [141]).

Итак, мы имеем следующую картину: все пространство-время Минковского конформно области (5.6) статической модели Эйнштейна, т. е. заштрихованной области на рис. 14. Можно считать, что граница этой области отражает конформную структуру бесконечности пространства-времени Минковского. Она состоит из изотропных поверхностей (обозначенной (обозначенной и включает в себя точки (обозначенную (обозначенную ) и (обозначенную ). Любая направленная в будущее времениподобная геодезическая в пространстве Минковского достигает при бесконечно большом положительном (отрицательном) значении своего аффинного параметра, и можно считать, что любая времениподобная геодезическая начинается в и кончается в (ср. с рис. 15, а). Аналогично можно считать, что изотропные геодезические начинаются на и кончаются на в то время как пространственноподобные геодезические начинаются и кончаются в Таким образом, можно

рассматривать как изображения времениподобной бесконечности будущего и прошлого — изотропной бесконечности будущего и прошлого и пространственноподобной бесконечности. (Однако эти утверждения не относятся к негеодезическим кривым: негеодезическая времениподобная кривая может начинаться, например, на и кончаться на

Рис. 14. Статическая вселенная Эйнштейна, представленная как вложенный цилиндр; координаты опущены. Каждая точка отображает половину -сферы площадью Заштрихованная область конформна всему пространству-времени Мииковского; ее границу (часть изотропных конусов точек можно рассматривать как конформную бесконечность пространства-времени Минковского.

Поскольку любая поверхность Коши пересекает все времениподобные и изотропные геодезические, то она должна выглядеть как сечение всего пространства-времени, достигающее границы Конформную структуру бесконечности можно представить также, начертив диаграмму плоскости (см. рис. 15, б). Как и на рис. 12, а, каждая точка этой диаграммы изображает сферу а радиальные изотропные геодезические изображаются прямыми, идущими под углом ±45°. Такого рода диаграммой может быть представлена

(кликните для просмотра скана)

структура бесконечности любого сферически симметричного пространства. На таких диаграммах бесконечность будет изображаться одной линией, начало полярных координат — пунктиром и неустранимые особенности метрики — двойной линией. Конформная структура пространства Минковского, описанная здесь, представляет собой то, что можно было бы считать «нормальным» поведением пространства-времени на бесконечности; другие тины поведения встретятся нам в следующих разделах.

Упомянем, наконец, что можно построить пространства, локально совпадающие с но с иными (крупномасштабными) топологическими свойствами; это достигается отождествлением в точек, которые эквивалентны относительно дискретной изометрии без фиксированной точки (например, отождествление точки с точкой , где с — постоянная, меняет топологическую структуру на и приводит к появлению в пространстве-времени замкнутых времениподобных линий). Очевидно, представляет собой универсальное накрывающее пространство для всех таких производных пространств; последние подробно рассмотрены в [3].