7.3. Начальные данные
Поскольку (7.8) является гиперболической системой второго порядка, может показаться, что для получения решения следует задать значения
на начальной гиперповерхности
где
-некоторое векторное поле, касательное к
Однако эти 20 компонент не все существенны или независимы; при произвольном изменении некоторых из них решение самое большее претерпевает диффеоморфизм, в то же время другие должны удовлетворять определенным условиям совместности.
Рассмотрим диффеоморфизм j оставляющий
точечно неподвижным. Он индуцирует отображение , переводящее
в точке
в новый тензор
в той же точке. Если вектор
ортогонален к
для любого
касательного к
и нормирован так, что
то подходящим выбором и вектор
можно сделать равным любому не касательному к
вектору в точке
Следовательно, компоненты
не существенны. С другой стороны, поскольку
оставляет
точечно неподвижным, метрика
индуцированная на
, будет оставаться неизменной. Поэтому только та часть
которая лежит на
необходима для получения решения. Остальные компоненты
можно задавать произвольно; решение при этом самое большее претерпит диффеоморфизм. Чтобы прийти к этому выводу иным путем, вспомним, что мы сформулировали задачу Коши для начальных данных, определенных на абстрактном трехмерном многообразии
, и затем искали вложение его в некоторое четырехмерное многобразие. На самой поверхности
нельзя задать четырехмерное тензорное поле вроде
а можно ввести только трехмерную метрику
которую мы будем считать положительно определенной. Контравариантная и ковариантная компоненты
связаны соотношением
где теперь
— трехмерный тензор на
. Вложение 0 преобразует
в контравариантное тензорное иоле
на
обладающее свойством
Ввиду произвольности
мы теперь можем на
задать тензорное поле
где
— произвольное, не касательное к
и всюду отличное от нуля векторное поле на
. Определяя
из (7.1), имеем
Отсюда
— метрика, индуцированная на
метрикой
а
— единичный вектор, ортогональный к
в метрике
Положение с первыми производными
аналогичное:
можно привести соответствующим диффеоморфизмом к любым наперед заданным значениям. Однако здесь имеется дополнительная сложность, состоящая в том, что
зависит не только от
но и от фоновой метрики
Чтобы выразить существенную часть первой производной
только через тензорные поля, заданные на
, мы поступим следующим образом. Введем на
симметричное контравариантное тензорное поле
При вложении
отображается в тензорное поле
на
Потребуем, чтобы
было равно второй фундаментальной форме (см. разд. 2.7) подмногообразия
в метрике
Тогда получим
Используя (7.3), находим
Обращением этого равенства можно получить выражение для
через
где
— некоторое векторное поле на
Подходящим диффеоморфизмом
ему можно придать любое нужное значение.
Тензорные поля
нельзя задать на
совершенно независимо, поскольку свертка уравнений Эйнштейна (7.7) с
дает четыре уравнения, которые не содержат
т. е. вторых производных
имеющих ненулевые проекции на нормаль к
Таким образом, должны существовать четыре связи между
Используя (2.36) и (2.35), их можно
редставить в виде уравнений на трехмерном многообразии
где двойной вертикальной чертой
обозначена ковариаигная производная на
относительно метрики
есть скалярная кривизна, полученная из
Таким образом, данные
на
, необходимые для получения решения, состоят из начальных данных для материальных полей (например, в случае скалярного поля
состояли бы из двух функций на
— значения
и ее нормальной производной) и двух тензорных полей
на
, которые подчиняются уравнениям связи (7.17), (7.18). Последние представляют собой эллиптические уравнения на поверхности
и накладывают четыре связи на 12 независимых компонент
При этих условиях можно показать, что восемь из этих компонент задаются независимо, а оставшиеся четыре находятся решением уравнений связи (см., например, [17]). Пару
, удовлетворяющую этим требованиям, будем называть комплектом начальных данных, Следующим нашим шагом будет вложение
в подходящее четырехмериое многообразие
с метрикой
и задание
на
соотношением (7.12) при некотором выборе вектора иа. Положим
Тогда
будет ортогонален к
в обеих метриках:
и
Воспользуемся также свободой выбора
в выражении
из (7.16) для того, чтобы обратить
в нуль на
Это приведет к требованию
[Заметим, что все производные в (7.19) касательиы к
как и требуется тем обстоятельством, что рассматриваемые поля должны быть заданы на одной только поверхности
Для выполнения всюду в
условия
нужно, кроме того, чтобы вектор
обращался в нуль на
Но это сразу следует из уравнений связи, если на
удовлетворяются приведенные уравнения Эйнштейна (7.8). Следовательно, мы можем приступать к решению уравнений (7.8) как нелинейной гиперболической системы второго порядка
многообразии
с метрикой
[Заметим, что для
мы имеем 10 уравнений; при доказательстве существования решений этих 10 уравнений мы не будем делить их на систему уравнений связи и систему уравнений, описывающих развитие во времени, и, следовательно, не возникает вопроса об удовлетворении уравнений связи вне