7.3. Начальные данные

Поскольку (7.8) является гиперболической системой второго порядка, может показаться, что для получения решения следует задать значения на начальной гиперповерхности где -некоторое векторное поле, касательное к Однако эти 20 компонент не все существенны или независимы; при произвольном изменении некоторых из них решение самое большее претерпевает диффеоморфизм, в то же время другие должны удовлетворять определенным условиям совместности.

Рассмотрим диффеоморфизм j оставляющий точечно неподвижным. Он индуцирует отображение , переводящее в точке в новый тензор в той же точке. Если вектор ортогонален к для любого касательного к и нормирован так, что то подходящим выбором и вектор можно сделать равным любому не касательному к вектору в точке Следовательно, компоненты не существенны. С другой стороны, поскольку оставляет точечно неподвижным, метрика индуцированная на , будет оставаться неизменной. Поэтому только та часть которая лежит на необходима для получения решения. Остальные компоненты можно задавать произвольно; решение при этом самое большее претерпит диффеоморфизм. Чтобы прийти к этому выводу иным путем, вспомним, что мы сформулировали задачу Коши для начальных данных, определенных на абстрактном трехмерном многообразии , и затем искали вложение его в некоторое четырехмерное многобразие. На самой поверхности нельзя задать четырехмерное тензорное поле вроде а можно ввести только трехмерную метрику которую мы будем считать положительно определенной. Контравариантная и ковариантная компоненты связаны соотношением

где теперь — трехмерный тензор на . Вложение 0 преобразует в контравариантное тензорное иоле на обладающее свойством

Ввиду произвольности мы теперь можем на задать тензорное поле

где — произвольное, не касательное к и всюду отличное от нуля векторное поле на . Определяя из (7.1), имеем

Отсюда — метрика, индуцированная на метрикой а — единичный вектор, ортогональный к в метрике

Положение с первыми производными аналогичное: можно привести соответствующим диффеоморфизмом к любым наперед заданным значениям. Однако здесь имеется дополнительная сложность, состоящая в том, что зависит не только от но и от фоновой метрики Чтобы выразить существенную часть первой производной только через тензорные поля, заданные на , мы поступим следующим образом. Введем на симметричное контравариантное тензорное поле При вложении отображается в тензорное поле на Потребуем, чтобы было равно второй фундаментальной форме (см. разд. 2.7) подмногообразия в метрике Тогда получим

Используя (7.3), находим

Обращением этого равенства можно получить выражение для через

где — некоторое векторное поле на Подходящим диффеоморфизмом ему можно придать любое нужное значение.

Тензорные поля нельзя задать на совершенно независимо, поскольку свертка уравнений Эйнштейна (7.7) с дает четыре уравнения, которые не содержат т. е. вторых производных имеющих ненулевые проекции на нормаль к Таким образом, должны существовать четыре связи между Используя (2.36) и (2.35), их можно

редставить в виде уравнений на трехмерном многообразии

где двойной вертикальной чертой обозначена ковариаигная производная на относительно метрики есть скалярная кривизна, полученная из

Таким образом, данные на , необходимые для получения решения, состоят из начальных данных для материальных полей (например, в случае скалярного поля состояли бы из двух функций на — значения и ее нормальной производной) и двух тензорных полей на , которые подчиняются уравнениям связи (7.17), (7.18). Последние представляют собой эллиптические уравнения на поверхности и накладывают четыре связи на 12 независимых компонент При этих условиях можно показать, что восемь из этих компонент задаются независимо, а оставшиеся четыре находятся решением уравнений связи (см., например, [17]). Пару , удовлетворяющую этим требованиям, будем называть комплектом начальных данных, Следующим нашим шагом будет вложение в подходящее четырехмериое многообразие с метрикой и задание на соотношением (7.12) при некотором выборе вектора иа. Положим Тогда будет ортогонален к в обеих метриках: и Воспользуемся также свободой выбора в выражении из (7.16) для того, чтобы обратить в нуль на Это приведет к требованию

[Заметим, что все производные в (7.19) касательиы к как и требуется тем обстоятельством, что рассматриваемые поля должны быть заданы на одной только поверхности Для выполнения всюду в условия нужно, кроме того, чтобы вектор обращался в нуль на Но это сразу следует из уравнений связи, если на удовлетворяются приведенные уравнения Эйнштейна (7.8). Следовательно, мы можем приступать к решению уравнений (7.8) как нелинейной гиперболической системы второго порядка многообразии с метрикой

[Заметим, что для мы имеем 10 уравнений; при доказательстве существования решений этих 10 уравнений мы не будем делить их на систему уравнений связи и систему уравнений, описывающих развитие во времени, и, следовательно, не возникает вопроса об удовлетворении уравнений связи вне