5.7. Модель Вселенной Гёделя

В 1949 г. Курт Гёдель опубликовал статью [62], которая заметно стимулировала изучение точных решений, более сложных, чем рассмотренные выше. Он дал точное решение уравнений Эйнштейна с материей в виде идеальной жидкости без давления , где — плотность материи и — нормированный

вектор 4-скорости.) Многообразием является а метрика записывается в виде

где — постоянная. Уравнения поля удовлетворяются, если (т. е. ) и

Постоянная фактически является угловой скоростью вращения вектора потока .

Это пространство-время обладает -параметрической транзитивной группой изометрий, т. е. это пространство-время полностью однородно. (Группа транзитивна на если она отображает любую точку на любую другую точку ) Данная метрика является прямой суммой метрики

на многообразии определяемом координатами и метрики

на многообразии определяемом координатой Чтобы описать свойства этого решения, достаточно рассмотреть Введем на новые координаты

тогда метрика принимает вид

где причем отождествляется с вектор потока в этих координатах равен . В этом выражении для метрики видна вращательная симметрия этого решения относительно оси Путем того или иного выбора координат можно любую линию тока вещества сделать осью симметрии.

Поведение модели иллюстрирует рис. 31. Световые конусы на оси содержат направление (вертикальное направление на диаграмме), но не содержат горизонтальных направлений . По мере удаления от оси световые конусы раскрываются и поворачиваются в направлении координатной линии так что при радиусе является изотропным вектором, а окружность радиуса вокруг начала оказывается замкнутой изотропной кривой. При больших

(кликните для просмотра скана)

значениях становится времениподобным вектором, и окружности постоянных и представляют собой замкнутые времеииподобные кривые. Поскольку обладает 4-пара-метрической транзитивной группой изометрий, то получается, что через каждую точку а следовательно, и через каждую точку решений Гёделя проходит замкнутая времениподобная геодезическая.

Все это дает основание думать, что решение Гёделя не имеет физического смысла. Существование замкнутых времениподобных кривых означает, что в Л нет вложенных трехмерных поверхностей без края, которые были бы всюду пространственноподобны, ибо замкнутая времениподобная кривая, пересекшая такую поверхность, пересекает ее нечетное число раз. Это означает, что кривая не может быть непрерывным образом стянута в точку: непрерывная деформация может изменить число пересечений лишь на четное число. Это в свою очередь противоречит тому, что многообразие , будучи гомеоморфно односвязно. Существование замкнутых времениподобных линий означает также невозможность в какой-либо космической координаты времени которая возрастала бы вдоль любой времениподобной или изотропной кривой, направленной в будущее.

Решение Гёделя геодезически полно. Поведение геодезических может быть описано с помощью разбиения на Поскольку метрика на плоская, компонента в вектора, касательного к геодезической, постоянна, т. е. координата 2 зависит линейно от аффинного параметра на геодезической. Поэтому достаточно описать поведение геодезических в Изотропные геодезические, проходящие через точку на оси координат (рис. 31), первоначально расходятся (у оси), доходят до каустики и затем сходятся к точке на оси. Поведение времениподобной геодезической аналогично: они достигают некоторого максимального значения меньшего чем и снова сходятся к Точку можно соединить с некоторой времениподобной кривой, но времениподобной или изотропной геодезической.

Дальнейшие детали свойств решения Гёделя можно найти в работах [62; 96].