4.5. Вариация длины дуги

В этом разделе мы рассмотрим времениподобные и непространственноподобные кривые, которые кусочно класса но могут иметь точки, где их касательные векторы терпят разрыв. Мы будем требовать, чтобы в таких точках два касательных

вектора удовлетворяли условию

т. е. чтобы они были направлены внутрь одной и той же полости изотропного конуса.

Предложение 4.5.1

Пусть — выпуклая координатная окрестность точки Тогда те точки в которых можно достичь из по времени-подобным (соответственно непространственноподобным) кривым, имеют вид , где (соответственно ). (Здесь и в остальной части раздела мы полагаем, что отображение ограничено такой окрестностью начала в которая диффеоморфна под действием ехрд.)

Другими словами, изотропные геодезические, выходящие из образуют границу той области в которую можно достичь из по времениподобным или пространственноподобным кривым Интуитивно это утверждение достаточно очевидно, но поскольку оно является фундаментальным для понятия причинности, мы докажем его строго. Начнем с доказательства следующей леммы:

Лемма 4.5.2

В времениподобные геодезические, проходящие через ортогональны к трехмерным поверхностям , где по определению при

Доказательство опирается на тот факт, что вектор девиации точек равного расстояния вдоль соседних геодезических, первоначально ортогональный к этим геодезическим, остается ортогональным к ним. Точнее, пусть означает кривую в причем Нужно показать, что соответствующие кривые там, где они определены, — ортогональны к времениподобным геодезическим Следовательно, для двумерной поверхности а, определяемой нужно доказать, что

(см. рис. 11). Имеем

Первый член в правой части равен нулю, потому что — единичный касательный вектор к времениподобной геодезической, выходящей из Во втором члене согласно определению

производной Ли имеем

Итак,

и, следовательно, не зависит от Но при поэтому тождественно равно нулю.

Рис. 11. (см. скан) В нормальной окрестности поверхности постоянного расстояния от ортогональны к геодезическим, проходящим через

Доказательство предложения 4.5.1

Пусть означает множество всех времениподобных векторов в Они заполняют внутренность конуса в Г, с вершиной в начале. Пусть -некоторая времениподобная кривая в 41 от до и пусть дана кусочно -кривая в Тогда, отождествляя касательное пространство к с самим имеем

Поэтому вектор времениподобен в Отсюда видно, что кривая входит в область но это та область в которой и в которой, в силу предыдущей леммы, поверхности пространственноподобны. Таким образом, а должно монотонно убывать вдоль поскольку вектор будучи времениподобным, никогда не может быть касательным к поверхности и поскольку в любой точке разрыва производных Два касательных вектора направлены в одну и ту же полость изотропного конуса. Поэтому что завершает доказательство для времениподобных кривых.

Чтобы доказать, что непространственноподобная кривая остается в рассмотрим такую малую вариацию которая переведет ее во времениподобную кривую. Пусть — векторное поле на такое, что индуцированное на векторное поле всюду времениподобно, и Пусть при каждом есть кривая в которая выходит из начала, причем ее касательный вектор Тогда -дифференцируемая функция . Для каждого является времениподобной кривой на , таким образом, содержится в Следовательно, непространственноподобная кривая содержится в

Следствие

Если можно достичь из по непространственноподобной, но не по времениподобной кривой, то лежит на изотропной геодезической, проходящей через

Длина непространственноподобной кривой от до равна

где интеграл взят по дифференцируемым частям этой кривой.

При положительно определенной метрике можно искать кратчайшую кривую между двумя точками, но в лоренцевой метрике нет никакой кратчайшей кривой, поскольку любую кривую можно деформировать в изотропную, длина которой равна нулю. Однако при определенных условиях между двумя точками или между точкой и пространственноподобной трехмерной поверхностью найдется непространственноподобная кривая наибольшей длины. Сначала мы будем иметь дело с ситуацией, когда две точки близки друг к другу. Затем мы выведем необходимые условия для общего случая, когда две точки не обязательно близки. Достаточное условие для этого случая будет рассмотрено в разд. 6.7.

Предложение 4.5.3

Пусть и принадлежат нормальной выпуклой окрестности Тогда, если можно соединить и непространственноподобной кривой в то кривая наибольшей длины единственна в и является непространственноподобной геодезической от до Более того, если ввести функцию равную длине этой кривой, когда она существует, и равную нулю, если такой кривой нет, то непрерывна в

По определению выпуклой нормальной окрестности (разд. 2.5) в существует единственная геодезическая для которой Поскольку эта геодезическая есть дифференцируемая функция своих концов, интеграл

будет дифференцируемой функцией на (Это та же функция с, что и в лемме 4.5.2.) Таким образом, функция непрерывна в поскольку она равна при и нулю в иных случаях. Остается теперь показать, что в случае существования в времениподобных кривых, соединяющих и времениподобная геодезическая между ними имеет наибольшую длину. Пусть, как прежде, причем . Если — времениподобная кривая в от до ее можно представить в виде Тогда

Поскольку два вектора в правой части взаимно ортогональны в силу леммы 4.5.2 и , то

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда т. е. если и только если Я — геодезическая кривая. Итак,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда X — геодезическая кривая в от до (она единственна).

Теперь мы перейдем к случаю, когда и не обязательно принадлежат выпуклой нормальной окрестности Необходимые условия для того, чтобы времениподобная кривая

единяющая и была кривой наибольшей длины от до мы выведем из рассмотрения малых вариаций. Вариация а кривой есть -отображение со следующими свойствами:

2) существует такое подразбиение отрезка что а является -отображением на каждом

4) для любой постоянной и — времениподобная кривая.

Вектор будем называть вектором вариации. Обратно, если вдоль задано непрерывное векторное поле кусочно класса обращающееся в нуль в и мы можем определить вариацию а, для которой будет вектором вариации:

где при некотором

Лемма 4.5.4

Вариация расстояния от до при отображении а равна

где -квадрат касательного вектора, а — разрыв в одной из сингулярных точек

Имеем

Интегрируя по частям, получаем нужную формулу.

Эту формулу можно упростить, выбирая в качестве параметра длину дуги Тогда Обозначив через V

единичный касательный вектор имеем

где — ускорение. Отсюда следует необходимое условие того, чтобы была кривой наибольшей длины от до она должна быть геодезической кривой без изломов, в противном случае можно выбрать вариацию, которая даст более длинную кривую.

Можно также рассмотреть времениподобную кривую от некоторой пространственноподобной -поверхности до точки Вариацию а этой кривой определим, как прежде, за тем исключением, что свойство (3) заменим на следующее:

3) а лежит на

Отсюда следует, что на поверхности вектор вариации лежит в

Лемма 4.5.5

Она доказывается так же, как и лемма

Отсюда следует необходимое условие для того, чтобы была кривой наибольшей длины от до она должна быть геодезической кривой без изломов, ортогональной к

Путем варьирования а мы убедились, что первая производная длины времениподобной геодезической равна нулю. Следующим нашим шагом будет вычисление второй производной. Определим двухпараметрическую вариацию а геодезической линии соединяющей и как С-отображепие

с такими свойствами:

2) существует такое подразбиение отрезка что а является -отображением на каждом

4) для любых постоянных является времениподобной кривой.

В качестве двух векторов вариации мы вводим

Обратно, если вдоль заданы два непрерывных векторных поля кусочно класса можно определить вариацию, для которой они будут векторами вариации:

Лемма 4.5.6

При двухпараметрической вариации геодезической кривой вторая производная длина равна

Согласно лемме 4.5.4, имеем

Отсюда

Первый и третий члены равны нулю, так как — геодезическая кривая без изломов. Во втором члене можно

воспользоваться тем, что

В четвертом члене

Затем, выбирая в качестве длину дуги получим требуемый результат.

Из определения второй производной следует, что она симметрична по двум векторам вариации хотя это и не видно сразу из полученного выражения. Мы видим лишь, что оно зави от проекций в пространство, ортогональное к V. Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением вариаций, для которых ортогональны к V. Пусть — (бесконечномерное) векторное пространство, состоящее из всех непрерывных, векторных полей кусочно класса вдоль которые ортогональны к V и равны нулю в и Тогда будет симметричным отображением на Его можно рассматривать как симметричный тензор в и записать в виде

Мы можем вычислить также вторую производную длины от до геодезической кривой нормальной к Воспользуемся прежним методом, только теперь один из концов кривой не закреплен, а может перемещаться по

Лемма 4.5.7

Вторая производная длины от до равна

где взяты ортогональными к есть второй фундаментальный тензор на .

Первые два члена такие же, как в лемме 4.5.6. Добавочные члены имеют вид

Второй член обращается в нуль, поскольку ортогонально к Если принять, что — длина дуги то будет равно единичной нормали к Поскольку изменения одной конечной точки ограничены перемещениями по будет всегда ортогонален к Таким образом,

Будем говорить, что времениподобная геодезическая линия соединяющая с максимальна, если функционал отрицательно полуопределен. Иначе говоря, если кривая не максимальна, то существует малая вариация а, которая дает более длинную кривую от до Аналогично, будем говорить, что времениподобная нормальная к геодезическая кривая от 36 до максимальна, если функционал отрицательно полуопределен; следовательно, если кривая не максимальна, существует малая вариация, которая дает более длинную кривую от до

Предложение 4.5.8

Времениподобная геодезическая линия соединяющая с максимальна тогда и только тогда, когда в нет точек, сопряженных вдоль

Предположим, что в нет сопряженных точек. Введем ортонормированный базис вдоль полученный переносом Ферми. Якобиевы поля вдоль равные нулю в можно охарактеризовать матрицей которая неособенна в но особенна в (и, возможно, в р). Ввиду изолированности сопряженных точек величина будет бесконечна там, где матрица особенна. Следовательно, векторное поле класса и кусочно класса можно представить в как

где векторное поле класса и кусочно класса Тогда

(Мы ввели предельный переход, поскольку вторая производная в точке q не определена.) Однако

Отсюда следует, что

Обратно, допустим, что существует точка сопряженная вдоль Пусть — якобиево поле вдоль обращающееся в нуль в и и пусть — такой вектор, что

Продолжим до положив его равным нулю в Положим где — некоторая постоянная. Тогда

Следовательно, взяв достаточно малое мы можем сделать положительным.

Аналогичный результат можно получить для времениподобной геодезической линии от до ортогональной к

Предложение 4.5.9

Времениподобная геодезическая линия от до максимальна тогда и только тогда, когда в нет точек, сопряженных вдоль у.

Исследуем теперь вариации непространственноподобных кривых от до Выясним условия, при которых можно найти вариацию а кривой приводящую к условию всюду, иначе говоря, переводящую во времениподобную кривую от до р. При вариации а

Чтобы получить времениподобную кривую от до требуется, чтобы это выражение было меньше или равно нулю на всей кривой

Предложение 4.5.10

Если и соединены непространственноподобной кривой которая не есть изотропная геодезическая, то их можно соединить времениподобной кривой.

Если не является изотропной геодезической от до то должна быть точка, в которой касательный вектор имеет разрыв, или должен существовать открытый интервал, на котором вектор ускорения отличен от нуля и не параллелен Рассмотрим сначала случай, когда нет разрывов. Имеем

Отсюда видно, что является пространственноподобным вектором там, где он отличен от нуля и не параллелен . Пусть — времениподобное векторное -поле вдоль причем Тогда мы получим времениподобную кривую от до варьируя вектор вариации

где

а у — неотрицательная функция на такая, что и

Предположим теперь, что существует некоторое подразбиение такое, что касательный вектор непрерывен на каждом сегменте Если сегмент не является изотропной геодезической кривой, его можно варьировать так, чтобы получить между концами сегмента временило-добную кривую. Поэтому нужно только показать, что мы можем получить времениподобную кривую из непространственноподобной кривой, составленной из сегментов изотропных геодезических, касательные векторы которых не параллельны в точках разрыва . В качестве можно выбрать аффинный параметр на каждом сегменте Разрыв будет пространственноподобным вектором, будучи разностью двух непараллельных изотропных векторов на одной и той же половине изотропного конуса. Следовательно, вдоль можно построить такое векторное -поле для которого

и

Тогда времениподобную кривую между получим, варьируя с вектором вариации где

при

при

Итак, если не является геодезической кривой, то из нее вариацией можно получить времениподобную кривую. Если является геодезической кривой, то в качестве можно взять аффинный параметр. Тогда видно, что необходимым (но не достаточным) условием получения в результате вариации времениподобной кривой является ортогональность вектора вариации к касательному вектору на всей ибо в противном случае производная была бы положительна где-нибудь на Для такой вариации и надо исследовать вторую производную.

Рассмотрим поэтому двухпараметрическую вариацию а изотропной геодезической соединяющей и Ее определение будет прежним, за тем исключением, что мы ограничимся (по

причинам, приведенным выше) варьированием с векторами вариации

ортогональными к касательному вектору на

Исследовать поведение при таких вариациях затруднительно ввиду того, что — недифференцируемая функция, если Вместо этого мы рассмотрим вариацию

Ясно, что необходимым (но не достаточным) условием получения времениподобной кривой от до при вариации а является положительность .

Имеем

откуда

Эта формула очень похожа на формулу для вариации длины времениподобной кривой. Можно показать, что вариация равна нулю, если вектор вариации пропорционален касательному вектору поскольку он изотропен, в силу антисимметричности тензора Римана. Такая вариация эквивалентна псрсгтараметризации Итак, если мы хотим получить вариацию, приводящую к времениподобной кривой, нужно рассматривать только проекции вектора вариации в пространство в каждой точке кривой Другими словами, при введении вдоль пссвдоортонормированного базиса вариация будет зависеть только от компонент вектора вариации

Предложение 4.5.11

Если в нет точек, сопряженных вдоль то для любой вариации а кривой вектор вариации которой ортогонален к касательному вектору не равен всюду нулю и не пропорционален всюду Иначе говоря, если в нет точек, сопряженных вдоль то не существует малых вариаций, переводящих во времениподобную кривую от до

Доказательство аналогично доказательству предложения 4.5.8 с использованием вместо матрицы из разд. 4.2.

Предложение 4.5.12

Если в есть точка сопряженная вдоль то найдется вариация которая дает времениподобную кривую от до

Доказательство предложения будет несколько громоздким из-за того, что необходимо показать времениподобность касательного вектора всюду. Пусть — компоненты в пространстве (см. разд. 5.2) якобиева поля, равного нулю в и Оно удовлетворяет уравнению

где для удобства в качестве взят аффинный параметр. Поскольку является по крайней мере векторным полем класса можно написать где единичный вектор, причем и -поля класса Тогда

где

Пусть точка такова, что есть минимальное значение к в Тогда, если и если поле

равно нулю в и х и удовлетворяет в неравенству

Выберем вариацию кривой от до так, что компоненты ее вектора вариации в равны и

выполняется условие:

где — значение в точке x и но меньше наименьшего значения величины в области Тогда, в силу (4.49), всюду в и в этом интеравле достаточно малые и, а дают времениподобную геодезическую. Если мы присоединим эту кривую к куску от х до то получим непространственноподобную кривую от до которая не будет изотропной геодезической кривой. Следовательно, существует вариация, которая приводит к времениподобной кривой, соединяющей и

Подобным же методом можно доказать

Предложение 4.5.13

Если — изотропная геодезическая кривая -поверхности до ортогональная к и если в нет точек, сопряженных вдоль не существует малых вариаций у, дающих времениподобную кривую от до

Предложение 4.5.14

Если в имеется точка, сопряженная вдоль у, то существует вариация у, дающая времениподобную кривую от 9 до

Результаты, касающиеся вариаций времениподобных и непространственноподобных кривых, будут использованы в гл. 8 для доказательства отсутствия геодезических наибольшей длины.