6.5. Области Коши

В теории Ньютона имеется мгновенное дальнодействие; поэтому, чтобы предсказать события в будущих точках пространства-времени, мы должны знать состояние всей Вселенной в настоящий момент времени, а также наложить некоторые граничные условия на бесконечности, вроде того, что потенциал стремится к нулю. Напротив, из постулата (а) разд. 3.2 следует, что в теории относительности события в различных точках пространства-времени могут быть причинно связаны только в том случае, если их можно соединить непространственноподобной кривой. Таким образом, знание соответствующих данных на замкнутом множестве (если данные известны на открытом множестве, то на его замыкании они получаются в силу непрерывности) позволит устанавливать события в области будущего , называемой областью Коши будущего множества и определяемой как множество всех таких точек для которых каждая непродолжимая в прошлое непространственноподобная кривая, проходящая через пересекает (отметим, что ).

Пенроуз [127, 128] определяет область Коши множества немного иначе, а именно как множество всех точек таких, что каждая непродолжимая в прошлое времениподобная кривая, проходящая через пересекает Такое множество мы будем обозначать Справедлив следующий результат:

Предложение 6.5.1

Очевидно, Если точка то у нее есть окрестность не пересекающая Из можно провести непродолжимую в прошлое кривую X, которая не пересекает Если то является открытой окрестностью в Следовательно, — открытое множество, а — замкнутое. Допустим, что существует точка которой имеется окрестность Т, не пересекающая Выберем точку . Из нее можно провести непродолжимую непространственноподобную кривую у, которая не пересекает Пусть — последовательность точек на у, которая не сходится к какой-либо точке, причем лежит в прошлом Пусть — нормальные выпуклые окрестности точек причем не пересекается с Пусть, наконец, есть последовательность точек, такая, что

Тогда должна существовать непродолжимая времениподобная кривая с началом в которая проходит через каждую точку и не пересекает . Но это противоречит условию, что Следовательно, содержится в замыкании и поэтому

Граница области в будущем, т. е. очерчивает пределы области, которая может быть предсказана по известным данным на .

Рис. 43. Область Коши будущего и горизонт Коши в будущем замкнутого множества которое частично изотропно и частично пространственноподобно. Отметим, что горизонт не обязательно связен. Изотропные линии проходят под углом удалена полоска.

Это замкнутое ахрональное множество мы будем называть горизонтом Коши в будущем множества и обозначим его через как видно из рис. пересекает , если множество изотропно или имеет «границу». Чтобы придать этому выражению точный смысл, определим границу () ахронального множества как множество всех точек в каждой окрестности которых есть точки которые можно соединить непересекающей времениподобной кривой в . В силу аргументов, аналогичных тем, что были приведены в доказательстве предложения 6.3.1, получаем, что является трехмерным вложенным Сподмногообразием, если непустое ахрональное множество не имеет границы.

Предложение 6.5.2

Для замкнутого ахронального множества граница совпадает с границей

Пусть — последовательность окрестностей точки принадлежащей границе такая, что любая окрестность содержит все с достаточно большим . В каждой окрестности найдутся точки которые можно соединить времениподобной кривой не пересекающей Это означает, что не может пересечь По предложению , следовательно, Таким образом, должна лежать в Кроме того, каждая непродолжимая в направлении прошлого времениподобная кривая с началом в должна пересечь Поэтому при каждом на каждой времениподобной линии в соединяющей и должна быть точка множества и, значит, должна принадлежать Так как кривые не пересекают лежит на границе Аналогично доказывается обратное утверждение.

Предложение 6.5.3

Пусть — замкнутое ахрональное множество. Тогда порождается изотропными геодезическими сегментами, которые или вообще не имеют конечных точек в прошлом, или имеют конечную точку в прошлом на границе

Множество является множеством прошлого. Следовательно, в силу предложения 6.3.1, -ахрональное -многообразие. — замкнутое подмногообразие многообразия Пусть — граница Если то поскольку . В силу ахрональности найдется нормальная выпуклая окрестность точки которая не пересекает Пусть теперь и пусть — нормальная выпуклая окрестность такая, что ни одна точка из не может быть соединена с какой-либо точкой из времениподобной кривой, не пересекающей 91. В любом случае, если — какая-либо точка в должна найтись направленная в прошлое времениподобная кривая от до некоторой точки из поскольку иначе лежала бы в . Отсюда, согласно условию (1) леммы 6.3.2, примененному к множеству будущего имеем

Следствие

Если граница то когда он не пуст, является ахроналытым трехмерным вложенным -многообразием, которое порождено изотропными геодезическими сегментами, не имеющими конечных точек в прошлом.

Рис. 44. (см. скан) — связная пространственноподобная гиперповерхность без края в . Она не является частичкой поверхностью Коши, однако каждый образ поверхности в универсальном накрывающем многообразии многообразия представляет собой частичную поверхность Коши в

Непричинное множество без края мы будем называть частичной поверхностью Коши. Иначе говоря, частичная поверхность Коши — это пространственноподобная гиперповерхность, которую ни одиа непространственноподобная кривая не пересекает более одного раза. Допустим, что существует связная прострапственноподобная гиперповерхность (без края), пересекаемая непространственноподобной кривой в точках Тогда можно соединить кривой лежащей в , и будет замкнутой кривой, которая пересекает только одни раз. Эту кривую нельзя непрерывным образом стянуть в нуль, поскольку такая деформация может изменить число пересечений кривой только на четное число. Таким образом, не может быть одиосвязным. Это означает, что мы могли бы «развернуть» перейдя к односвязному универсальному накрывающему многообразию для в котором каждая связная компонента образа является пространственноподобной гиперповерхностью (без края), а следовательно, частичной поверхностью Коши в (рис. 44). Одиако переход к универсальному накрывающему многообразию может «развернуть» больше, чем требуется, и дать в результате такую частичную поверхность Коши, которая будет некомпактной даже тогда, когда компактно. Для целей последующих глав было бы желательно иметь накрывающее многообразие, которое развертывает, так, чтобы каждая связная компонента образа была частичной поверхностью Кошн, но при этом оставалась гомеоморфной Такое накрывающее многообразие можно построить по крайней мере двумя различными способами.

Напомним, что универсальное накрывающее многообразие можно определить как множество всех пар где класс эквивалентности кривых в от некоторой фиксированной точки до гомотопных по модулю и Накрывающее многообразие определяется как множество всех пар где класс эквивалентности кривых от до гомотопных по модулю и . концы на поверхности могут сдвигаться по ней). Можно сказать, что это наибольшее накрывающее многообразие, в котором каждая связная компонента образа гомеоморфна Накрывающее многообразие [52] по определению — это множество всех пар где на этот раз является классом эквивалентности кривых от фиксированной точки до которые пересекают 9 одинаковое число раз, причем пересечение в направлении будущего считается положительным, а в направлении прошлого — отрицательным. Можно сказать, что является наименьшим накрывающим многообразием, в котором каждая связная компонента образа делит на две части. В обоих случаях топологическая и дифференциальная структура накрывающего многообразия фиксируется требованием, чтобы проекция, отображающая локально была диффеоморфизмом.

Введем Частичная поверхность Коши называется глобальной поверхностью Коши (или просто поверхностью Коши), если Таким образом, поверхность Коши — это пространственноподобная гиперповерхность, которую каждая непространственноподобная кривая пересекает точно один раз. Примерами поверхности Коши в пространстве Минковского служат поверхности но гиперболоиды

являются только частичными поверхностями Коши, поскольку изотропный конус будущего или прошлого в начале системы координат будут горизонтами Коши для этих поверхностей (см. разд. 5.1 и рис. 13). То, что данная поверхность является поверхностью Коши, — это не только свойство самой поверхности, но также и свойство объемлющего пространства-времени в целом. Например, достаточно вырезать из пространства Минковского только одну точку, как полученное пространство-время вообще не будет допускать ни одной поверхности Коши.

Если для рассматриваемого многообразия существует поверхность Коши, то, имея нужные данные на ней, мы могли бы определить состояние Вселенной в любой момент прошлого или будущего. Однако мы не можем собрать такие данные, не побывав в будущем каждой точки поверхности, что в большинстве случаев невозможно. Мы не располагаем вескими физическими

доводами для уверенности в том, что Вселенная допускает поверхность Коши; имеется целый ряд известных точных решений уравнения Эйнштейна, которые ее не допускают. Среди них описанные в гл. 5 пространство де Ситтера 2-го рода, плоские волны, пространство Тауба — НУТ, решение Райсснера — Нордстрема. Последнее представляет собой особо интересный случай: поверхность на рис. 25 позволяет предсказать события во внешних областях где и в соседних областях где но при этом существует горизонт Коши Точки соседней области III не лежат в ибо в этой области имеются непространственноподобные кривые, которые непродолжимы в направлении прошлого и не пересекают а стремятся к точкам (их можно считать расположенными на бесконечности) или к сингулярности (которую нельзя рассматривать как часть пространства-времени, см. разд. 8.1). В эту область может поступать дополнительная информация из бесконечности или сингулярности, которая нарушит любые предсказания, сделанные на основе одних только данных на Итак, в общей теории относительности наша способность предсказывать будущее ограничена как трудностями, связанными с необходимостью знать данные на всей пространственноподобной гиперповерхности, так и тем, что даже такого знания может оказаться недостаточно. Однако, несмотря на эти ограничения, все же можно предсказать, правда, при определенных условиях существование сингулярностей.