Глава 4. Физический смысл кривизны

В этой главе мы рассмотрим, как сказывается кривизна пространства-времени на семействах времениподобных и изотропных геодезических. Эти семейства могут изображать соответственно линии тока жидкости и (или) мировые линии фотонов. В разд. 4.1 и 4.2 мы выведем формулы для скорости вращения, поперечного сдвига (sheer) и расхождения (expansion) таких семейств кривых; уравнение для скорости расхождения (уравнение Райчаудхури) занимает центральное место в доказательствах теорем о сингулярностях в гл. 8. В разд. 4.3 обсуждаются общие неравенства для тензора энергии-импульса, из которых вытекает, что гравитационное воздействие материи всегда стремится вызвать сближение времениподобных и изотропных геодезических. Из результатов разд. 4.4 видно, что следствием этих энергетических условий будет появление сопряженных или фокальных точек в невращающихся семействах времениподобных или изотропных кривых общего вида. В разд. 4.5 показано, что из наличия сопряженных точек следует существование таких вариаций кривых между двумя точками, которые переводят изотропную геодезическую во времениподобную кривую или времениподобную геодезическую во времениподобную кривую большей длины.

4.1. Времениподобные кривые

Мы видели в гл. 3, что при статической метрике существует связь между длиной времениподобного вектора Киллинга и ньютоновским потенциалом. Находится ли тело в гравитационном поле, можно узнать по тому, ускоряется ли оно или нет, если его вывести из состояния покоя относительно статической системы отсчета, задаваемой этим вектором Киллинга. Однако в общем случае в пространстве-времени может не быть ни одного вектора Киллинга, и тогда не будет и какой-либо выделенной системы отсчета для измерения ускорения. Все, что еще можно сделать, — это взять два близких друг к другу тела и измерить их относительное ускорение. Такое измерение позволяет определить градиент гравитационного поля. Если рассматривать метрику как аналог ньютоновского потенциала, то градиенту ньютоновского поля будут соответствовать вторые производные метрики. Они

определяются тензором Римана. Поэтому можно ожидать, что относительное ускорение двух соседних тел будет связано с какими-то компонентами тензора Римана.

Чтобы установить эту связь более строго, изучим поведение конгруэнции времениподобных кривых с единичным касательным вектором Эти кривые могут представлять линии тока жидкости или (в том случае, когда они являются геодезическими) истории малых пробных частиц. В случае идеальной жидкости, согласно (3.10),

где — ускорение линий тока, а — тензор, который проектирует вектор в подпространство Яд пространства ортогональное к V. Можно рассматривать и как метрику в (ср. с разд. 2.7).

Пусть — некоторая кривая с касательным вектором Тогда можно построить семейство кривых смещая каждую точку кривой на расстояние вдоль интегральных кривых V. Если определить теперь как то из определения производной Ли (см. разд. 2.4) следует, что или, иначе говоря,

Величину можно интерпретировать как вектор, представляющий относительное расположение указанных выше двух точек на двух соседних кривых, которые находятся на равном расстоянии от некоторых произвольных начальных точек. Если к добавить вектор, кратный V, то полученный вектор будет изображать относительное расположение точек тех же двух кривых, но находящихся на различных расстояниях. В действительности нас интересуют лишь девиация соседних кривых (separation of neighbouring curves), а не расположение отдельных точек на них. Поэтому нам приходится иметь дело с с точностью до компоненты, параллельной V, т. е. только с проекцией в каждой точке на пространство которое состоит из классов эквивалентности векторов, отличающихся только добавлением вектора, кратного V. Это пространство можно представлять себе как подпространство пространства состоящее из векторов, ортогональных к V. Проекцию на будем обозначать через . В случае жидкости можно рассматривать как расстояние между двумя соседними частицами жидкости, измеренное в их системе покоя.

Из (4.2) следует, что

Эта формула дает скорость изменения девиации двух бесконечно близких кривых, измеренную в Применяя к (4.3) операцию еще раз и проектируя на получаем

Изменяя порядок дифференцирования в первом члене и используя (4.2), приводим это равенство к виду

Это уравнение, известное как уравнение девиации или уравнение Якоби, дает относительное ускорение, т. е. вторую производную по времени девиации двух бесконечно близких кривых, измеренную в . Мы видим, что если эти кривые — геодезические, то девиация зависит лишь от тензора Римана.

В ньютоновской теории ускорение каждой частицы определяется градиентом потенциала Ф, и поэтому относительное ускорение двух частиц на расстоянии равно Таким образом, член с тензором Римана аналогичен ньютоновскому Действие этой «приливной силы» хорошо демонстрирует пример сферы, составленной из свободно падающих на Землю частиц. Каждая частица движется по прямой, проходящей через центр Земли, но более близкие к Земле частицы падают быстрее тех, которые находятся дальше. Это означает, что сфера не сохраняет свою форму, а деформируется в эллипсоид того же объема.

Чтобы исследовать уравнение девиации, мы введем в произвольной точке интегральной кривой вектора V дуальные ортонормированные базисы пространств причем возьмем Было бы желательно перенести затем эти базисы вдоль кривой чтобы получить такие же базисы в каждой точке Однако при параллельном переносе базисов вдоль (т. е. когда для каждого вектора обращается в нуль), не будет оставаться равным V, а не останутся ортогональными к V, если геодезическая. Поэтому мы введем новую производную вдоль так называемую производную Ферми Для векторного поля X вдоль она определяется формулой

и обладает следующими свойствами:

1) если — геодезическая;

3) если X и — векторные поля вдоль такие, что

то вдоль

4) если — векторное поле вдоль ортогональное к V, то

(Последнее свойство показывает, что производная Ферми является естественным обобщением производной

Итак, если перенести ортонормированный базис пространства вдоль так, чтобы производная Ферми каждого базисного вектора была равна нулю, получится ортонормированный базис в каждой точке Векторы можно интерпретировать как орты невращающейся системы координатных осей вдоль Физически их можно реализовать с помощью маленьких гироскопов, оси которых направлены вдоль каждого из векторов.

Определение производной Ферми для векторных полей вдоль можно распространить на произвольные тензорные поля обычным образом, а именно:

I. представляет собой линейное отображение тензорных полей типа вдоль на тензорные поля типа которое коммутирует со свертками;

где произвольная функция.

Из этих правил следует, что над дуальным базисом пространства также совершается перенос Ферми вдоль Используя производные Ферми, можно переписать (4.3) и (4.4) в виде

Эти соотношения можно выразить через дуальные базисы, полученные переносом Ферми. Поскольку ортогонален к V, у него есть компоненты лишь относительно Следовательно, его можно представить как если мы условимся, что греческие индексы пробегают только значения 1,2,3. Тогда (4.5) и (4.6) можно записать через обыкновенные производные:

где — те компоненты для которых Поскольку компоненты удовлетворяют линейному обыкновенному дифференциальному уравнению порядка (4.7), эти компоненты можно выразить через их значения в некоторой точке:

где — матрица , которая в точке равна единичной матрице и удовлетворяет уравнению

В случае жидкости можно считать, что матрица задает форму и ориентацию малого элемента жидкости, сферического в точке Эту матрицу можно записать в следующем виде:

где — ортогональная матрица с положительным определителем, а — симметричная матрица. могут быть выбраны в точке равными единичной матрице, причем можно рассматривать как матрицу, характеризующую вращение соседних кривых относительно базиса, полученного переносом Ферми, а — как матрицу, описывающую смещение этих кривых относительно При этом определитель который равен определителю характеризует трехмерный объем вырезаемого соседними кривыми элемента поверхности, ортогональной к

В точке где — единичная матрица, производная антисимметрична, а симметрична. Таким образом, антисимметричная часть дает скорость вращения соседних кривых в точке симметричная часть дает скорость изменения девиации от а скорость изменения объема определяется следом Поэтому мы введем тензор вращения

тензор расхождения

и объемное расхождение

Далее мы определим тензор поперечного сдвига как часть с нулевым следом:

и вектор вращения как

Ковариантную производную вектора V можно выразить через эти величины:

Это разложение градиента вектора скорости жидкости аналогично соответствующему разложению в ньютоновской гидродинамике.

В ортонормированном базисе, полученном переносом Ферми, вращение и расхождение можно записать с помощью матрицы и и обратной ей матрицы

Из уравнения девиации (4.8) следует, что

Если известен тензор Римана, то это уравнение позволяет вычислить распространение вращения, сдвига и расхождения вдоль интегральных кривых V.

Умножив (4.21) на и взяв антисимметричную часть, получим

Таким образом, распространение вращения зависит от антисимметризованного градиента ускорения, но не от «приливной силы».

Запишем это уравнение в другой форме:

Отсюда видно, что — постоянная матрица, если рассматриваемые кривые — геодезические; в частности, если, вращение обращается в нуль в одной точке какой-либо кривой, то в случае геодезических оно равно нулю во всех точках этой кривой. Если эти кривые представляют линии тока идеальной жидкости, то из (4.1) следует, что

Если жидкость изэнтропическая, то отсюда следует закон сохранения:

где

Этот закон сохранения представляет собой релятивистскую форму ньютоновского закона сохранения момента количества движения. В геодезическом случае или при отсутствии давления он сводится к обычному утверждению, что величина вектора момента количества движения обратно пропорциональна площади сечения элемента жидкости, ортогонального к этому вектору. Когда давление не равно нулю, появляются дополнительный релятивистский эффект, возникающий из-за того, что давление совершает работу над жидкостью, вследствие чего возрастает масса, а следовательно, и инерция элемента жидкости с (3.9)]. Это означает, что вращение жидкости под давлением возрастает медленнее, чем можно было бы ожидать без учета давления.

Умножив (4.21) на и взяв симметричную часть, находим

Уравнения (4.25) и (4.23) можно записать в общем базисе (не ортонормированном и не обязательно полученном путем переноса Ферми) при помощи замены обыкновенных производных на производные Ферми и проектированием на подпространство, ортогональное к V.

След уравнения (4.25) равен

где

Это уравнение, впервые полученное Ландау и независимо Райчаудхури, в дальнейшем будет играть весьма важную роль. Из него видно, что вращение порождает расхождение, как и следовало ожидать из аналогии с центробежной силой, в то время как сдвиг приводит к схождению. Согласно уравнениям поля для идеальной жидкости, касательным вектором линий тока которой является имеем

Поэтому можно ожидать, что этот член также приводит к схождению. Общее исследование знака этого члена будет проведено в разд. 4.3.

Вычитая из (4.25) его след, получим

где — тензор Вейля. Поскольку этот тензор имеет нулевой след, он не входит непосредственно в уравнение расхождения (4.26), но из-за присутствия члена в правой части этого уравнения тензор Вейля, индуцируя сдвиг, косвенно вызывает схождение кривых. Тензор Римана выражается через тензор Вейля и тензор Риччи:

Тензор Риччи определяется уравнениями Эйнштейна

Следовательно, тензор Вейля представляет собой ту часть кривизны, которая локально не определяется распределением материи. Однако он не может быть совершенно произвольным, поскольку тензор Римана должен удовлетворять тождествам Бианки;

Последние можно переписать в виде

где

соотношение похоже на уравнения Максвелла в электродинамике:

где — тензор электромагнитного поля, — ток источников. Таким образом, тождества Бианки (4,28) в определенном смысле можно считать уравнениями поля для тензора Вейля, являющегося той частью кривизны в данной точке, которая зависит от распределения материи в других точках. (Этот подход был использован для анализа поведения гравитационного излучения в работах [