Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 4. Физический смысл кривизныВ этой главе мы рассмотрим, как сказывается кривизна пространства-времени на семействах времениподобных и изотропных геодезических. Эти семейства могут изображать соответственно линии тока жидкости и (или) мировые линии фотонов. В разд. 4.1 и 4.2 мы выведем формулы для скорости вращения, поперечного сдвига (sheer) и расхождения (expansion) таких семейств кривых; уравнение для скорости расхождения (уравнение Райчаудхури) занимает центральное место в доказательствах теорем о сингулярностях в гл. 8. В разд. 4.3 обсуждаются общие неравенства для тензора энергии-импульса, из которых вытекает, что гравитационное воздействие материи всегда стремится вызвать сближение времениподобных и изотропных геодезических. Из результатов разд. 4.4 видно, что следствием этих энергетических условий будет появление сопряженных или фокальных точек в невращающихся семействах времениподобных или изотропных кривых общего вида. В разд. 4.5 показано, что из наличия сопряженных точек следует существование таких вариаций кривых между двумя точками, которые переводят изотропную геодезическую во времениподобную кривую или времениподобную геодезическую во времениподобную кривую большей длины. 4.1. Времениподобные кривыеМы видели в гл. 3, что при статической метрике существует связь между длиной времениподобного вектора Киллинга и ньютоновским потенциалом. Находится ли тело в гравитационном поле, можно узнать по тому, ускоряется ли оно или нет, если его вывести из состояния покоя относительно статической системы отсчета, задаваемой этим вектором Киллинга. Однако в общем случае в пространстве-времени может не быть ни одного вектора Киллинга, и тогда не будет и какой-либо выделенной системы отсчета для измерения ускорения. Все, что еще можно сделать, — это взять два близких друг к другу тела и измерить их относительное ускорение. Такое измерение позволяет определить градиент гравитационного поля. Если рассматривать метрику как аналог ньютоновского потенциала, то градиенту ньютоновского поля будут соответствовать вторые производные метрики. Они определяются тензором Римана. Поэтому можно ожидать, что относительное ускорение двух соседних тел будет связано с какими-то компонентами тензора Римана. Чтобы установить эту связь более строго, изучим поведение конгруэнции времениподобных кривых с единичным касательным вектором
где Пусть
Величину Из (4.2) следует, что
Эта формула дает скорость изменения девиации двух бесконечно близких кривых, измеренную в
Изменяя порядок дифференцирования в первом члене и используя (4.2), приводим это равенство к виду
Это уравнение, известное как уравнение девиации или уравнение Якоби, дает относительное ускорение, т. е. вторую производную по времени девиации двух бесконечно близких кривых, измеренную в В ньютоновской теории ускорение каждой частицы определяется градиентом потенциала Ф, и поэтому относительное ускорение двух частиц на расстоянии Чтобы исследовать уравнение девиации, мы введем в произвольной точке
и обладает следующими свойствами: 1)
3) если X и
то 4) если
(Последнее свойство показывает, что производная Ферми является естественным обобщением производной Итак, если перенести ортонормированный базис пространства Определение производной Ферми для векторных полей вдоль I.
где Из этих правил следует, что над дуальным базисом
Эти соотношения можно выразить через дуальные базисы, полученные переносом Ферми. Поскольку
где
где
В случае жидкости можно считать, что матрица
где В точке
тензор расхождения
и объемное расхождение
Далее мы определим тензор поперечного сдвига как часть
и вектор вращения как
Ковариантную производную вектора V можно выразить через эти величины:
Это разложение градиента вектора скорости жидкости аналогично соответствующему разложению в ньютоновской гидродинамике. В ортонормированном базисе, полученном переносом Ферми, вращение и расхождение можно записать с помощью матрицы
Из уравнения девиации (4.8) следует, что
Если известен тензор Римана, то это уравнение позволяет вычислить распространение вращения, сдвига и расхождения вдоль интегральных кривых V. Умножив (4.21) на и взяв антисимметричную часть, получим
Таким образом, распространение вращения зависит от антисимметризованного градиента ускорения, но не от «приливной силы». Запишем это уравнение в другой форме:
Отсюда видно, что
Если жидкость изэнтропическая, то отсюда следует закон сохранения:
где
Этот закон сохранения представляет собой релятивистскую форму ньютоновского закона сохранения момента количества движения. В геодезическом случае или при отсутствии давления он сводится к обычному утверждению, что величина вектора момента количества движения обратно пропорциональна площади сечения элемента жидкости, ортогонального к этому вектору. Когда давление не равно нулю, появляются дополнительный релятивистский эффект, возникающий из-за того, что давление совершает работу над жидкостью, вследствие чего возрастает масса, а следовательно, и инерция элемента жидкости Умножив (4.21) на
Уравнения (4.25) и (4.23) можно записать в общем базисе (не ортонормированном и не обязательно полученном путем переноса Ферми) при помощи замены обыкновенных производных на производные Ферми и проектированием на подпространство, ортогональное к V. След уравнения (4.25) равен
где
Это уравнение, впервые полученное Ландау и независимо Райчаудхури, в дальнейшем будет играть весьма важную роль. Из него видно, что вращение порождает расхождение, как и следовало ожидать из аналогии с центробежной силой, в то время как сдвиг приводит к схождению. Согласно уравнениям поля для идеальной жидкости, касательным вектором линий тока которой является
Поэтому можно ожидать, что этот член также приводит к схождению. Общее исследование знака этого члена будет проведено в разд. 4.3. Вычитая из (4.25) его след, получим
где
Тензор Риччи определяется уравнениями Эйнштейна
Следовательно, тензор Вейля представляет собой ту часть кривизны, которая локально не определяется распределением материи. Однако он не может быть совершенно произвольным, поскольку тензор Римана должен удовлетворять тождествам Бианки;
Последние можно переписать в виде
где
где
|
1 |
Оглавление
|