3.2. Материальные (негравитационные) поля

Мы будем рассматривать на различные поля, например такие, как электромагнитное поле, нейтринное поле и т. которые описывают «материальное содержимое» пространства-времени. Эти поля будут подчинены уравнениям, которые можно представить в виде таких соотношений между тензорами на что все производные по положению будут ковариантными производными относительно симметричной связности, определяемой метрикой Этот вывод следует из того, что только тензорные соотношения определяются структурой многообразия, а связность, задаваемая метрикой, — пока единственная связность, которую мы вводили. Если бы была задана другая связность на то разность двух связностей была бы тензором, и его можно было бы рассматривать как новое физическое поле. Аналогично, другую метрику на можно было бы рассматривать как еще одно физическое поле. Уравнения полей иногда выражаются в виде соотношений между спинорами на В этой книге мы не

будем иметь дела с такого рода соотношениями, поскольку для тех задач, которые мы собираемся рассматривать, в них нет надобности. В действительности все спинорные уравнения можно заменить несколько более сложными тензорными уравнениями (см., например, [143]).

Мы получим ту или иную форму теории в зависимости от того, какие материальные поля включим в нее. Можно ввести в теорию все поля, которые экспериментально наблюдаются, причем можно было бы постулировать и существование полей, которые еще не обнаружены. Так, например, Бранс и Дикке ([39], приложение 7) постулировали существование дальнодействующего скалярного поля, которое связано слабо со следом тензора энергии-импульса. В форме, приданной ей Дикке ([39], приложение 2), теорию Бранса — Дикке можно рассматривать просто как общую теорию относительности с дополнительным скалярным полем. В настоящее время идут споры о том, обнаружено экспериментально такое поле или нет.

Мы будем обозначать материальные поля, включаемые в теорию, через где индекс нумерует рассматриваемые поля. Следующие два постулата относительно природы тех уравнений, которым подчиняются поля являются общими для частной и общей теорий относительности.

Постулат Локальная причинность

Пусть — выпуклая нормальная окрестность, любые две точки уравнения, описывающие материальные поля, должны быть такими, чтобы передача сигнала от одной из этих точек до другой была возможна тогда и только тогда, когда и могут быть соединены С-кривой, лежащей целиком в и имеющей касательным вектором всюду ненулевой времениподобный или изотропный вектор; такую кривую мы будем называть непространственноподобной. (Наша формулировка теории относительности исключает возможность существования частиц вроде тахионов, движущихся по пространственноподобным кривым.) Идет ли сигнал от к или от к зависит от направления времени в Вопрос о том, можно ли во всех точках пространства-времени непротиворечивым образом задать направление времени, будет рассмотрен в разд. 6.2.

Более точную формулировку этого постулата можно дать через формулировку задачи Коши для материальных полей. Пусть точка такова, что каждая непространственноподобная кривая, проходящая через пересекает пространственноподобную поверхность в пределах Пусть — множество тех точек на поверхности которых можно достигнуть, двигаясь из в пределах по непространственноподобным кривым. Тогда мы потребуем, чтобы значения материальных полей в

точке одаюзначно определялись значениями на этих полей и их производных до некоторого конечного порядка и в то же время не определялись однозначно значениями на любом собственном подмножестве множества к которому может быть непрерывным образом стянуто. (Более полное обсуждение задачи Коши см. в гл. 7.)

Именно этот постулат выделяет метрику среди других полей на и придает ей четко выраженный геометрический характер. Если нормальные координаты в вблизи интуитивно довольно очевидно (доказательство см. в гл. 4), что точками, которых можно достигнуть из по непространствепно-подобным кривым в являются точки с координатами, удовлетворяющими условию

Граница этих точек представляет собой образ изотропного конуса в при экспоненциальном отображении, т. е. множество всех изотропных геодезических, проходящих через Таким образом, установив, какие точки могут сообщаться сигналом с можно определить изотропный конус Коль скоро известно то с точностью до конформного множителя определяется метрика в . В этом можно убедиться следующим образом. Пусть соответственно времениподобный и пространственноподобный векторы. Уравнение

имеет два действительных корня и поскольку Если мы знаем то можем определить и но

Таким образом, по изотропному конусу можно установить отношение величин времениподобного и пространственноподобного векторов. Тогда, если и любые два неизотропных вектора в то

Каждую величину в правой части можно сравнить с «длиной» X или и таким способом найти . (Если вектор изотропен, то можно использовать соответствующее выражение, содержащее Итак, существование локальной причинности позволяет измерить метрику с точностью до конформного множителя. На практике это измерение удобнее всего осуществить, используя тот экспериментальный факт, что не обнаружено никакого сигнала, который распространялся бы быстрее электромагнитного излучения. Это означает, что свет должен

распространяться по изотропным геодезическим. Однако такое свойство света является следствием конкретных уравнений, которым подчиняется электромагнитное поле, а не самой теории относительности. Дальнейшее рассмотрение причинности мы продолжим в гл. 6. Среди прочих результатов мы получим, что отношения причинности могут быть использованы для определения топологической структуры Л. Конформный множитель метрики можно определить, пользуясь постулатом (б), который формулируется ниже; тогда все объекты теории будут физически наблюдаемыми.

Постулат (б): локальное сохранение энергии и импульса

Уравнения, описывающие материальные поля, таковы, что существует симметричный тензор называемый тензором энергии-импульса, который зависит от полей, их ковариантных производных и метрики; он обладает следующими свойствами:

1) обращается в нуль на открытом множестве в том и только в том случае, когда материальные поля исчезают на .

2) подчиняется уравнению

Условие (1) выражает тот принцип, что все поля обладают энергией. Не исключены возражения против формулировки «только в том случае» на том основании, что могут оказаться два ненулевых поля, тензоры энергии импульса которых компенсируют друг друга. Такая возможность связана с допустимостью существования отрицательной энергии и обсуждается в разд. 3.3.

Если метрика допускает векторное поле Киллинга К, то уравнение (3.1) можно проинтегрировать и получить закон сохранения. Чтобы убедиться в этом, введем вектор компоненты которого равны Тогда

Первый член есть нуль по уравнению сохранения (3.1), а второй обращается в нуль, так как тензор симметричен и для вектора Киллинга Поэтому, если — компактная ориентируемая область с границей то по теореме Гаусса (разд. 2.7)

Это равенство можно описать словами как равенство нулю полного потока компоненты энергии импульса через замкнутую поверхность.

Когда метрика плоская, как это имеет место в частной теории относительности, можно выбрать координаты в которых

компоненты метрики равны (суммирования нет!), где символ Кронекера, если если Тогда векторами Киллинга будут

(порождающими шесть «вращений» в пространстве-времени). Эти изомегрии образуют -параметрическую группу Ли изометрий плоского пространства-времени, называемую неоднородной группой Лоренца. Их можно использовать для определения десяти векторов подчиняющихся уравнению (3.2). Можно считать, что вектор Р описывает поток энергии, а — поток трех компонент импульса; Р можно интерпретировать как поток момента импульса.

Если метрика не плоская, то в общем случае нет ни одного вектора Киллинга, и подобных законов сохранения не существует. Однако в подходящей окрестности точки можно ввести нормальные координаты Тогда в точке компоненты метрики (суммирования а компоненты связности Габс

Можно взять такую окрестность 3) точки в которой и отличаются от их значений в на произвольно малую величину; тогда не будут в точно равны нулю, но будут отличаться от нуля сколь угодно мало.

Таким образом, интегралы

в первом приближении по-прежнему будут равны нулю; иначе говоря, в малой области пространства-времени в этом приближении энергия, импульс и угловой момент импульса все еще сохраняются. Используя это, можно показать, что малое изолированное тело приближенно движется по времениподобной геодезической линии независимо от своей внутренней структуры, если только плотность энергии неотрицательна (расчет движения малого тела в теории относительности см. в [42]). Этот факт можно рассматривать как галилеевский принцип падения всех тел с одинаковой скоростью. В ньютоновских терминах можно было бы сказать, что для всех тел инертная масса

равна пассивной гравитационной массе (массе, на которую действует гравитационное поле). Справедливость этого была установлена с высокой точностью экспериментами Этвеша и Дикке [39].

Постулат (а) позволяет измерить метрику в каждой точке с точностью до конформного множителя. Пользуясь постулатом можно связать между собой эти множители в различных точках, так как уравнения сохранения вообще говоря, не выполняются для связности, полученной из метрики Это можно было бы осуществить, наблюдая пути малых «пробных» частиц и определяя времениподобные геодезические. Пусть — одна из таких линий и — ее касательный вектор; тогда из (2.29) имеем

Поскольку -геодезическая относительно пространственно-временной метрики то Следовательно,

Зная конформную структуру, мы можем выбрать какую-либо метрику представительницу данного класса конформно-эквивалентных метрик, и вычислить левую часть в (3.3) для любой пробной частицы. Тогда по правой части определяется с точностью до множителя Рассмотрев другую кривую касательный вектор которой не параллелен вектору можно найти и таким образом определить и везде с точностью до постоянного множителя. Этот постоянный множитель зависит от используемых единиц измерения и может быть выбран произвольно.

Конечно, на практике конформный множитель измеряется не таким способом; обычно используется тот факт, что существует большое число подобных друг другу систем (например, электронных состояний атомов), движение которых вдоль времени-подобных геодезических сопровождается рядом событий, обусловленных внутренними движениями. Эти события отмечают положения систем в пространстве-времени. Интервалы между этими событиями, по-видимому, не зависят от предыстории систем в том смысле, что интервалы, измеренные для двух соседних систем, находятся в соответствии друг с другом. Если возможна эффективная изоляция подобных систем от внешних материальных полей (так что они должны будут двигаться по геодезическим) и если предположить, что их внутреннее движение не зависит от кривизны пространства-времени, то

метрика - единственное, от чего оно может зависеть. Следовательно, длииа дуги между двумя последовательными событиями на кривой должна быть одинаковой для каждой пары последовательных событий на любой такой кривой. Если принять эту длину дуги в качестве единицы измерения, можно определить конформный фактор в любой точке пространства-времени.

В действительности может оказаться, что изоляция системы от внешних материальных полей невозможна. Так, например, в теории Бранса — Дикке присутствует скалярное поле, которое везде отлично от нуля. Однако конформный множитель все же можно определить, если потребовать, чтобы уравнение сохранения удовлетворялось. Таким образом, зная тензор энергии-импульса мы можем узнать и конформный множитель.