Глава 6. Причинная структура

Согласно постулату (а) разд. 3.2, из одной точки многообразия к другой можно послать сигнал только в том случае, если эти точки могут быть соединены непространственноподобной геодезической. В этой главе мы займемся дальнейшим исследованием такого рода причинных отношений и получим ряд результатов, которые будут использованы в гл. 8 для доказательства существования сингулярностей.

В разд. 3.2 отмечалось, что изучение причинных отношений эквивалентно изучению конформной геометрии многообразия т. е. множества всех метрик конформных физической метрике где — ненулевая С-функция). При такого рода конформном преобразовании метрики геодезическая кривая, вообще говоря, не останется геодезической, если только она не изотропная, но даже в последнем случае аффинный параметр вдоль кривой перестанет быть аффинным. Таким образом, в большинстве случаев геодезическая полнота (т. е. возможность продлить все геодезические до любых значений их аффинных параметров) будет зависеть от конкретного конформного множителя; следовательно (исключая специальные случаи, описанные в разд. 6.4), полнота не является свойством конформной геометрии. Кларке [33] и Зейферт [157] показали, что при выполнении некоторых физических разумных условий причинности любая лоренцева метрика конформна метрике, в которой все изотропные геодезические и все направленные в будущее времениподобные геодезические полны. Геодезическую полноту мы рассмотрим позднее, в гл. 8, где она служит основой для определения сингулярности.

В разд. 6.1 мы занимаемся вопросом ориентируемости времениподобных и пространственноподобных базисов. В разд. 6.2 даны определения основных причинных отношений и более широкое определение непространственноподобной кривой, допускающее не только кусочную дифференцируемость, но и просто непрерывность. Свойства границы будущего некоторого множества рассмотрены в разд. 6.3. В разд. 6.4 обсуждается ряд условий, которые исключают нарушение или близость к нарушению причинности. Тесно связанные между собой понятия области

Коши и глобальной гиперболичности введены в разд. 6.5 и 6.6, а в разд. 6.7 они использованы для доказательства существования непространственноподобных геодезических максимальной длины между определенными парами точек.

В разд. 6.8 излагается метод построения причинной границы пространства-времени, принадлежащий Героку, Кронхеймеру и Пенроузу. Конкретный пример такой границы дает класс асимптотически плоских пространств, который исследуется в разд. 6.9.