7.1. Характер задачи

Задача Коши для гравитационного поля в некоторых важных аспектах отличается от той же задачи для других физических полей.

1. Уравнения Эйнштейна нелинейны. Правда, в этом отношении они не слишком сильно отличаются от других полей: хотя электромагнитное, скалярное и прочие поля в заданном пространстве-времени сами по себе подчиняются линейным уравнениям, они образуют нелинейную систему при учете их взаимодействий. Отличительным свойством гравитационного поля является то, что оно представляет собой поле с самодействием: оно нелинейно даже в отсутствие других полей. Именно поэтому гравитационное поле характеризует пространство-время, в котором оно распространяется. Для получения решений нелинейных уравнений обычно пользуются методом последовательных приближений такими линейными уравнениями, относительно решений которых известно, что они сходятся к решению нелинейного уравнения в определенной окрестности начальной поверхности.

2. Две метрики на многообразии физически эквивалентны, если существует диффеоморфизм который переводит ясно, что удовлетворяет уравнениям поля, если и только если им удовлетворяет Поэтому решения уравнений поля могут быть единственны лишь с точностью до диффеоморфизма. Для того чтобы из этого класса

эквивалентности метрик выделить определенный член, описывающий пространство-время, вводят фиксированную «фоновую» метрику и накладывают четыре «калибровочных условия» на ковариантные производные физической метрики относительно фоновой метрики. Эти условия устраняют четыре степени свободы, соответствующие указанным диффеоморфизмам, и обеспечивают единственное решение для компонент метрики. Все это аналогично наложению условий Лоренца на электромагнитное поле для устранения свободы в выборе калибровки.

3. Поскольку метрика определяет структуру пространства-времени, мы не знаем заранее, какова область Коши начальной поверхности, а следовательно, не знаем и области, в которой должно быть определено решение. Дается только трехмерное многообразие с некоторыми начальными данными на нем и требуется найти четырехмерное многообразие вложение и метрику на удовлетворяющую уравнениям Эйнштейна, начальным данным на и требованию, чтобы вложение было поверхностью Коши в Мы будем говорить, что или просто есть развитие пары . Другое развитие той же пары назовем расширением развития если существует диффеоморфизм а многообразия на который оставляет образ точечно неподвижным и переводит в на , и Мы покажем, что при выполнении на определенных уравнений связи развития существуют и, далее, что существует развитие, которое максимально в том смысле, что является расширением любого другого развития пары Заметим, при такой формулировке задачи Коши учтена возможность производить диффеоморфизмы, поскольку всякое развитие представляет собой расширение любого своего диффеоморфизма, сохраняющего неподвижными точки образа поверхности .