6.2. Причинные кривые

Принимая, что пространство-время ориентируемо по времени в смысле, разъясненном в предыдущем разделе, мы в каждой

точке можем разделить ненространственпонодобные векторы на направленные в будущее и в прошлое. Тогда для множеств и можно определить хронологическое будущее множества относительно как множество всех точек в любую из которых можно достичь из но направленно в будущее времениподобной кривой в . (Под кривой мы в сегда имеем в виду кривую ненулевой протяженности; одна считается кривой. Таким образом, может содержать будем обозначать является открытым множеством, если можно достичь из по направленной в будущее времениподобной кривой, то имеется млая окрестность которую тоже можно достичь по такой крив

Для этого определения существует дуальное, в гатором «будущее» заменяется на «прошлое» и на чтобы не повторяться, мы будем считать дуальные определения результаты самоочевидными.

Обозначим через причинное будущее Множества 9 относительно оно определяется как объединен не с множеством всех тех точек в которых можно достичь из по направленным в будущее непространственноподобным кривым в . В разд. 4.5 мы видели, что непространстве (оподобная кривая между двумя точками, которая не является: изотропной геодезической кривой, может быть деформирована времениподобную кривую между этими точками. Поэтому, ели — открытое множество и то как из условия

так и из условия

следует, что Отсюда и где для любого множества означает замыкание,

означает границу

Будем снова вместо писать просто представляет собой область пространства-времени, в которой события из могут причинно влиять: как видно из рис. 34, не обязательно замкнутое множество, даже если представляет собой одну точку. Кстати, этот пример иллюстрирует полезный способ построения пространства-времени с заданными свойствами причинности: начинаем с некоторого пространства-времени (при отсутствии других указаний это будет пространство Минковского), вырезаем из него какое-либо замкнутое множество и, если нужно, склеиваем его подходящим образом (т. е.

отождествляем точки . В результате получаем снова многообразие с лоренцевой метрикой, т. е. пространство-время, хотя оно и выглядит несколько неполным, поскольку некоторые точки вырезаны. Однако выше было отмечено, что эта неполнота может быть «исправлена» подходящим конформным преобразованием, которое передвинет вырезанные точки в бесконечность.

Рис. 34. При удалении из пространства Минковского одной точки причинное будущее замкнутого множества У не обязательно замкнуто. Находящиеся этой точкой части границы будущего могут быть образованы изотропными геодезическими сегментами, не имеющими в М конечных точек в прошлом.

Контур будущего (horismos) для множества 9 относительно обозначаемый через определяется как будем писать вместо (В некоторых работах отношения обозначаются соответственно как Если — открытое множество, согласно предложению 4.5.10, точки должны лежать на направленных в будущее изотропных геодезических из если же — нормальная выпуклая окрестность точки то из предложения 4.5.1 следует, что состоит из направленных в будущее изотропных геодезических в с началом образует в границу как хронологического так и причинного будущего точки В частности, это имеет место в пространстве Минковского, где такую границу образует изотропный конус точки Но в более сложных случаях такое не обязательно.

Для последующего изложения удобно расширить определение времениподобных и непространственноподобных кривых, ослабив требование кусочной дифференцируемости до

требования лишь непрерывности. Хотя в таком случае кривая может и не иметь касательного вектора, мы все же сможем говорить, что она непространстзенноподобна, если локально любые две точки кривой можно соединить кусочно дифференцируемой непространственноподобной кривой. Точнее, будем говорить, что непрерывная кривая , где — связный интервал из направлена в будущее и непространственноподобна, если для каждой существует ее окрестность в и нормальная выпуклая окрестность точки в , такие, что для любого

если

если Будем говорить, что y направлена в будущее и времениподобна, если те же самые условия выполняются при замене на Впредь, если не оговаривается иное, под времениподобной или непространственноподобной кривой мы будем подразумевать именно такую непрерывную кривую, а две кривые, которые получаются одна из другой перепараметризацией, будем считать эквивалентными. После такого обобщения мы можем доказать утверждение, которое неоднократно используется в оставшейся части главы. Сначала дадим несколько новых определений.

Точка будет называться конечной точкой в будущем непространственноподобной кривой , направленной в будущее, если для каждой окрестности Т этой точки существует такое значение что для каждого при Непространственноподобная кривая непродолжима в будущее (соответственно непродолжима в будущее в множестве ), если у нее нет конечной точки в будущем (соответственно нет конечной точки в будущем в множестве ). Точка будет называться предельной точкой бесконечной последовательности непространственноподобных кривых если любую окрестность пересекает бесконечное число этих кривых. Непростргнственноподобная кривая будет называться предельной кривой последовательности если имеется подпоследовательность последовательности такая, что для каждой сходится к

Лемма 6.2.1

Пусть — некоторое открытое множество и пусть — бесконечная последовательность непространственноподобных кривых в , которые непродолжимы в . Если — предельная точка последовательности то через можно провести непространственноподобную кривую X, которая непродолжима в будущее в У и является предельной кривой последовательности

Достаточно рассмотреть случай поскольку можно считать многообразием с лоренцевой метрикой. Допустим, что

— нормальная выпуклая координатная окрестность точки и что — открытый шар координатного радиуса а с центром в

Рис. 35. (см. скан) Проходящая через точку непространственноподобная предельная кривая к для семейства непространственноподобных кривых для этого семейства является предельной точкой.

Пусть постоянная такова, что существует, и пусть — последовательность сходящаяся к Так как -компактное множество, оно содержит предельные точки последовательности Любая такая предельная точка должна лежать либо в либо в поскольку в противном случае существовали бы

окрестности точки у и точки которые нельзя было бы соединить непространственноподобной кривой в Пусть

— одна из этих предельных точек (рис. 35) и — сходящаяся к подпоследовательность из Точка будет точкой нашей предельной кривой X. Продолжая по индукции, определим точку

как предельную точку последовательности при и подпоследовательности при пусть также -подпоследовательность подпоследовательности , сходящаяся к Другими словами, мы делим интервал на все меньшие и меньшие отрезки и получаем точки нашей предельной кривой на соответствующих сферах с центром в Поскольку любые две точки разделены непространственноподобно, замыкание объединения всех даст непространственноподобную кривую от до Теперь остается построить такую подпоследовательность последовательности чтобы для каждого сходилась к Это мы сделаем, выбирая в качестве член подпоследовательности который пересекает каждый из шаров при . Таким образом, X будет предельной кривой последовательности от до Пусть теперь — нормальная выпуклая окрестность вокруг повторим построение, используя теперь последовательность Поступая таким образом, можно продолжить X неограниченно.