Глава 7. Задача Коши в общей теории относительности

В этой главе вкратце рассмотрена задача Коши в общей теории относительности. Мы покажем, что при задании определенных данных на пространственноподобной 3-поверхности существует единственная максимальная область Коши и что метрика на множестве зависит только от начальных данных на . Мы установим также, что эта зависимость непрерывна, если обладает компактным замыканием в Обсуждение этого вопроса включено сюда как потому, что он интересен сам по себе, так и потому, что при этом используются некоторые результаты предыдущей главы, и, наконец, для того чтобы показать, что уравнения поля Эйнштейна действительно удовлетворяют постулату (а) разд. 3.2, согласно которому сигнал может быть передан из одной точки в другую, только когда эти точки можно соединить непространственноподобной кривой. Однако в последующих трех главах результаты данной главы фактически не используются, и поэтому читатель, больше интересующийся сингулярностями, может ее пропустить.

В разд. 7.1 обсуждается специфика рассматриваемой задачи и дана ее точная формулировка. Для того чтобы связь между тензором Риччи и метрикой, установленную в области покрытой одной координатной системой, представить в форме, справедливой на всем многообразии, в разд. 7.2 вводится глобальная фоновая метрика На ковариантные производные физической метрики относительно фоновой метрики мы налагаем четыре калибровочных условия. При этом исключаются четыре степени свободы, соответствующие возможности диффеоморфизмов решений уравнений Эйнштейна, и мы приходим к приведенным гиперболическим уравнениям Эйнштейна второго порядка для метрики относительно фоновой метрики . В силу уравнений сохранения эти калибровочные условия выполняются во все моменты времени, если они и их первые производные удовлетворяются в начальный момент.

В разд. 7.3 будет показано, что существенную часть начальных данных для на трехмерном многообразии можно выразить через два трехмерных тензорных поля на . При этом трехмерное многообразие вкладывается в четырехмерное многообразие М, а метрика определяется на так, что

и становятся соответственно первой и второй фундаментальными формами на 9 в метрике Это можно сделать так, чтобы на 9 выполнялись калибровочные соотношения. В разд. 7.4 мы установим некоторые основные неравенства для гиперболических уравнений второго порядка. Они связывают интегралы от квадратичных выражений по первым производным решений с начальными данными для этих решений. В разд. 7.5 мы докажем существование и единственность решений приведенных уравнений Эйнштейна с (пустое пространство) в виде малых возмущений какого-либо заданного решения в пустом пространстве. После этого существование и единственность локальных решений для произвольных начальных данных доказываются путем деления начальной гиперповерхности на малые почти плоские области и последующего соединения полученных решений.

В разд. 7.6 будет показано, что при фиксированных начальных данных существует единственное максимальное решение в пустом пространстве и что его зависимость от начальных данных в определенном смысле непрерывна. Наконец, в разд. 7.7 мы наметим путь для распространения этих результатов на решения при наличии материи.