4.2. Изотропные кривые

Как и в случае времениподобных кривых, тензор Римана будет влиять на скорость изменения относительного расположения изотропных кривых. Для простоты мы рассмотрим только изотропные геодезические. Они могут отображать мировые линии фотонов; влияние тензора Римана будет состоять в искривлении или фокусировке малых пучков световых лучей.

Чтобы исследовать это явление, рассмотрим уравнение девиации для конгруэнции изотропных геодезических с касательным вектором Здесь имеются два важных отличия от случая времениподобных кривых, рассмотренного в предыдущем разделе.

Во-первых, там мы располагали возможностью нормировать касательные векторы V к времениподобным кривым при помощи условия . В сущности это означает, что кривые параметризованы длиной дуги Ясно, что это невозможно для изотропных кривых, так как дуги их имеют нулевую длину. Сашое большее, что можно сделать, — это воспользоваться аффинным параметром тогда касательный вектор К подчиняется уравнению

Однако v можно умножить на функцию постоянную вдоль каждой кривой. Тогда будет другим аффинным параметром, и соответствующим касательным вектором будет Таким образом, если кривые заданы как точечные множества на многообразии, то касательный вектор будет однозначен лишь с точностью до множителя, постоянного вдоль каждой коивой.

Во-вторых, еще одно различие состоит в том, что фактор-пространство по К, теперь не изоморфно т. е. подпространству ортогональному к К: из-за того, что сам вектор К тоже содержится в На самом деле, как будет показано ниже, реальный интерес представляет не пространство

в целом, а только его подпространство состоящее из классов эквивалентности векторов из которые отличаются лишь на вектор, кратный К- В случае лучей света элемент можно рассматривать как вектор, описывающий девиацию двух близких лучей, излученных источником в одно и то же время.

Как и прежде, введем дуальные базисы пространств Т и Г в некоторой точке на кривой Однако не будем брать их ортонормированиями: выберем 4 равным К, в качестве возьмем некоторый другой изотропный вектор скалярное произведение которого с равно — 1, т. е. пусть будут единичными пространственноподобными векторами, ортогональными друг другу и векторам

Отметим, что в силу неортонормированного характера этого базиса форма будет равна форме а Можно убедиться, что образуют базис в в то время как проекции векторов на образуют базис в наконец, проекции образуют базис в Как правило, мы не будем различать вектор и его проекции на или Базис обладающий указанными свойствами, будем называть псевдоортонормированным. Параллельным переносом этих векторов вдоль геодезической мы получим псевдоорто-нормированный базис в каждой точке

Мы используем этот базис для анализа уравнения девиации изотропных геодезических. Если -вектор девиаций, изображающий относительное расположение соответствующих точек на соседних кривых, то, как и прежде, имеем

так что

и

В псевдоортонормированном базисе поскольку вектор К — касательный к геодезической. Поэтому при уравнение (4.30) можно представить как систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

где, как и прежде, греческие индексы принимают значения 1, 2, 3. Отсюда видно, что проекция на пространство подчиняется

уравнению распространения, содержащему только саму эту проекцию, без компоненты, параллельной К. Далее, поскольку Отсюда следует, что компонента постоянна вдоль геодезической Это можно интерпретировать следующим образом: девиация лучей света, испущенных одним и тем же источником в разное время, остается постоянной во времени. Коль скоро это так, наибольший интерес лредставляет поведение соседних изотропных геодезических с чисто пространственным вектором девиации, т. е. Проекции таких векторов на будут лежать тогда в подпространстве и будут подчиняться уравнению

где принимают только значения 1, 2. Оно подобно уравнению (4.7) для времениподобного случая, за тем исключением, что теперь мы имеем дело с двумерным пространством векторов соединяющих соседние кривые.

Как и в предыдущем разделе, можно выразить через его значения в некоторой точке

где — матрица , удовлетворяющая уравнениям

Как и прежде, будем называть вращением, — скоростью девиации, 0, след — расхождением; сдвиг определим как бесследовую часть Уравнения для них подобны уравнениям для аналогичных величин в предыдущем разделе:

Уравнение (4.35) является аналогом уравнения Райчаудхури для времениподобных геодезических. Снова мы видим, что вращение вызывает расхождение, в то время как сдвиг приводит к схождению. В следующем разделе мы покажем, что в нормальных условиях член с тензором Риччи отрицателен и,

следовательно, порождает фокусирование. Как и прежде, тензор Вейля непосредственно не влияет на расхождение, но вызывает искривление, которое в свою очередь приводит к схождению (ср. [127]).