5.5. Решения Шварцшильда и Райсснера—Нордстрема

Хотя пространственно-однородные решения могут служить хорошими моделями для крупномасштабного распределения материи во Вселенной, они непригодны, например, для описания локальной геометрии пространства-времени в Солнечной системе. Эту геометрию в хорошем приближении можно описать решением Шварцшильда, которое представляет собой сферически-симметричное пустое пространство-время вне сферически-симметричного массивного тела. Все. эксперименты по проверке различия между ньютоновской теорией и общей теорией относительности, выполненные до сих пор, фактически основаны на предсказаниях, связанных с этим решением.

Метрику пространства Шварцшильда можно представить в виде

где . Очевидно, что это пространство-время — статическое (т. е. представляет собой градиентный времениподобный вектор Киллинга) и сферически-симметричное, т. е.

инвариантно относительно группы изометрий действующей на с приложением Б). Координата задана в этой метрической форме внутренним образом требованием, чтобы площадь этих поверхностей транзитивности была равна Решение Шварцшильда — асимптотически плоское, поскольку метрика при больших имеет вид Сравнение с ньютоновской теорией (ср. с разд. 3.4) показывает, что имеет смысл гравитационной массы, измеренной на бесконечном удалении от тела, создающего данное поле. Следует подчеркнуть, что это решение единственно: если какое-либо решение уравнений поля в пустом пространстве сферически-симметрично, то локально оно изометрично решению Шварцшильда (хотя в какой-то другой координатной системе оно, конечно, может выглядеть совсем иначе; см. приложение Б, а также [6]).

Обычно метрику Шварцильда при превышающих некоторое значение можно рассматривать как решение вне некоторого сферически-симметричного тела, внутри которого метрика имеет иной вид, определяемый тензором энергии-импульса вещества этого тела. Однако интересно посмотреть, что получится, если рассматривать эту метрику как решение в пустом пространстве при всех значениях

Тогда метрика особенна при (имеются также тривиальные сингулярности полярных координат при Следовательно, мы должны вырезать точки, в которых из многообразия, задаваемого координатами поскольку в разд. 3.1 мы приняли, что пространство-время должно представлять собой многообразие с лоренцевой метрикой. Вырезав поверхность мы разделим многообразие на две непересекающиеся компоненты, в которых Поскольку мы приняли, что пространственно-временное многообразие должно быть связным, мы должны брать в рассмотрение только одну из компонент и, очевидно, выбрать при этом ту, в которой т. е. соответствующую внешнему полю. После этого мы должны задаться вопросом, расширяемо ли многообразие со шварцшильдовой метрикой т. е. существуют ли большее многообразие в которое можно было бы вложить и нужное число раз дифференцируемая лоренцева метрика на совпадающая с на образе Ясно, что расширение можно осуществить в области, где . Вычисление показывает, что, несмотря на особенность метрики в шварцшильдовых координатах при ни один скалярный полином тензора кривизны и метрики не расходится при . Это наводит на мысль, что особенность при не является истинной физической сингулярностью, а скорее всего оказывается следствием неудачного выбора координат.

Чтобы подтвердить это и показать, что можно расширить, введем

Тогда

— опережающая изотропная координата и

— запаздывающая изотропная координата. Используя координаты получим метрику в форме Эддингтона — Финкельстейна:

Многообразием является область но метрика (5.22) не сингулярна и даже аналитична на большем многообразии для которого . Та область модели для которой фактически изометрична области метрики Шварцшильда, для которой Итак, используя другие координаты, т. е. вводя иное многообразие, мы расширили метрику Шварцшильда так, что она перестала быть особенной при Как видно из диаграмм Финкельстейна, в многообразии поверхность изотропна (рис. 23). Она является сечением пространства-времени, каждая ее точка изображает -сферу площади На этой диаграмме изображены некоторые изотропные конусы и радиальные изотропные геодезические; изображены также поверхности и видно, что становится бесконечным на поверхности

Подобное представление решения Шварцшильда обладает тем необычным свойством, что оно не симметрично во времени. Этого можно было бы ожидать из-за наличия перекрестного члена в (5.22); качественно асимметрия видна на диаграмме Финкельстейна. Ярче всего она проявляется в том, что поверхность ведет себя как полупроницаемая мембрана, пропуская направленные в будущее времениподобные или изотропные кривые только извне внутрь Ни одна направленная в прошлое времениподобная или изотропная кривая изнутри не может приблизиться к Однако любая направленная в будущее времениподобная или изотропная кривая, пересекшая достигает в пределах конечного аффинного расстояния. При скаляр расходится как Поэтому является истинной сингулярностью; пространство не имеет -расширения через (на самом деле оно не имеет даже -расширения).

(кликните для просмотра скана)

Если вместо использовать координаты то метрика примет вид

Она аналитична на многообразии задаваемом координатами при Снова ммогобразием является область и новая область пзометрнчна области метрики Шварцшильда, но эта изометрия обращает направление времени. В многообразии поверхность снова является изотропной поверхностью, действующей как полуиепроницаемая мембрана. Однако на этот раз она проницаема в противоположном направлении времени; пропускает извне внутрь только направленные в прошлое времениподобные или изотропные кривые.

На самом деле можно осуществить оба расширения одновременно, т. е. существует еще многообразие с метрикой в которое и могут быть изометрично погружены так, что они совпадут в области которая изометрична пространству Такое расширенное многообразие было построено Крускалом [95]. Чтобы получить его, рассмотрим в координатах тогда метрика имеет вид

где определяется равенством

Таким образом, -пространство представлено в изотропных конформно-плоских координатах, поскольку пространство с метрикой плоское. Самое общее координатное преобразование, оставляющее метрику этого -пространсгва конформно-плоской, а обе координаты изотропными, имеет вид где и произвольные -функции. Получающаяся при этом метрика имеет вид

Чтобы привести ее к виду, который соответствует тому, что было получено ранее для пространства-времени Минковского, положим

и придем к следующему окончательному выражению:

Конкретный вид этой метрики определяется выбором функций Крускал выбрал

Тогда для имеем уравнение

а для — формулу

На многообразии определяемом координатами при функции и [задаваемые (5.24), (5.25)] положительны и аналитичны. Пусть метрика дана формулой (5.23); область пространства определенная неравенством изометрична т. е. области решения Шварцшильда, для которой Область (области и II на рис. 24) изометрична опережающему расширению Финкельстейна Аналогично, область (области I и II на рис. 24) изометрична запаздывающему расширению Финкельстейна Имеется также область определяемая неравенством которая тоже оказывается изометричной внешнему решению Шварцшильда. Ее можно рассматривать как другую асимптотически-плоскую вселенную по ту сторону шварцшильдовской «горловины». (Рассмотрим сечение -сферы выглядят при больших так же, как в евклидовом пространстве; однако при малых их площадь убывает к минимальному значению и затем вновь возрастает, словно эти -сферы расширяются в другом асимптотически-плоском -пространстве). Из рис. 24 видно, что области I и II изометричны опережающему, а области и IV — запаздывающему расширению Финкельстейна области V. Из области I в область не проходит ни одна времениподобная или изотропная кривая. Все направленные в будущее времени-подобные и изотропные кривые, которые пересекают часть поверхности описываемую теперь уравнением стремятся к сингулярности при для которой Подобно этому направленные в прошлое времениподобные и изотропные кривые, пересекающие стремятся к другой сингулярности при где снова

Расширение Крускала -единственное аналитическое и локальное нерасширяемое расширение решения Шварцшильда. Вводя новые опережающие и запаздывающие изотропные координаты

(кликните для просмотра скана)

можно построить диаграмму Пенроуза для расширения Крускала (рис. 24,б). Ее можно сравнить с диаграммой для пространства Минковского (см. рис. 15,б). Теперь мы имеем бесконечности будущего, прошлого и изотропную бесконечность для каждой из асимптотически-плоских областей . В отличие от пространства Минковского конформная метрика теперь непрерывна, по недиффереицируема в точках

Если мы рассмотрим изотропный конус будущего какой-либо точки вне то радиальная геодезическая, направленная по радиусу наружу, достигает бесконечности, а направленная внутрь достигает сингулярность в будущем; если точка лежит внутри то обе эти геодезические попадают на сингулярность, и все будущее этой точки кончается этой сингулярностью. Таким образом, любая точка вне может избежать сингулярности (и, следовательно, сингулярность не «универсальна» в отличие от пространства Робертсона — Уокера), но как только частица оказалась внутри она обязательно достигнет сингулярности. Оказывается, этот факт тесно связан с тем об: стоятельством, что каждая точка внутри области II изображает -сферу, которая является замкнутой ловушечной поверхностью. Это означает следующее: рассмотрим какую-либо -сферу (на рис. 24 она изображается точкой) и две -сферы и образованные фотонами, которые испущены с поверхности в один и тот же момент времени от центра и к центру поверхности Площадь (она равна будет больше, а площадь будет меньше площади если все три сферы лежат в области Если же все они лежат в области II, где то площади обеих сфер: и и будут меньше площади (на рис. 24 значение убывает в области II при движении снизу вверх). В таком случае мы говорим, что является замкнутой ловушечной поверхностью. Каждая точка внутри области II является замкнутой ловушечной поверхностью при обращении времени (существование замкнутых ловушечных поверхностей — необходимое следствие того обстоятельства, что поверхности пространственноподобны), и соответственно все частицы в области II должны быть «пришельцами» из сингулярности в прошлом. В гл. 8 мы увидим, что само существование сингулярностей тесно связано с существованием замкнутых ловушечных поверхностей.

Решение Райсснера — Нордстрема описывает пространство-время вне электрически заряженного сферически-симметричного тела (которое, однако, не обладает ни спином, магнитным днпольным моментом, вследствие чего это решение не может служить хорошим описанием поля тяготения вокруг электрона). Следовательно, тензор энергии-импульса такой же, как у электромагнитного поля, созданного зарядом этого тела. Решение

Райсспера — Нордстрема — единственное асимптотически-пло-ское сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна — Максвелла и локально оно напоминает решение Шварцшильда: существуют координаты, в которых метрика имеет вид

где — гравитационная масса и — электрический заряд тела. Это асимптотически-плоское решение естественно рассматривать как решение только вне тела, а внутри должна быть какая-то другая метрика; но интересно посмотреть, что получится, если мы будем считать, что решение имеет смысл для всех

Если метрика неособенна везде, за исключением неустранимой особенности при которую можно рассматривать как точечный заряд — источник поля. Если метрика имеет особенности также в где она регулярна в областях (если существуют только первая и третья области). Как и в случае Шварцшильда, эти сингулярности можно устранить введением подходящих координат и расширением многообразия до получения максимального аналитического многообразия [21, 64]. Главные отличия возникают из-за того, что множитель перед имеет два пуля, а не один, как в случае Шварцшильда. В частности, это приводит к тому, что первая и третья области — обе статические, тогда как вторая область (если она существует) — пространственно-однородна, но не статична.

Чтобы получить максимально расширенное многообразие, мы будем действовать аналогично шварцшильдову случаю, Введем координату

тогда для

Вводя опережающие и запаздывающие координаты

приведем метрику (5.26) к изотропному виду

В случае определим новые координаты следующим образом:

Тогда метрика (5.27) принимает вид

где определяется неявно уравнением

Максимальное расширение мы получим, если примем (5.28) в качестве метрики а в качестве — максимальное многообразие, на котором принадлежит классу

Диаграмма Пенроуза этого максимального расширения приведена на рис. 25. Имеется бесконечное число асимптотически-плоских областей, где они обозначены цифрой I. Эти области соединены промежуточными областями II и III, где соответственно. По-прежнему в каждой области III имеется неустранимая сингулярность при но в отличие от решения Шварцшильда она времениподобна, и направленная в будущее времениподобная кривая из области I, пересекающая поверхность может избежать этой сингулярности. Такая кривая может пройти через области II, III и II и появиться в другой асимптотически-плоской области I. Возникает захватывающая возможность совершить путешествие в другие вселенные через «ходы», проделанные зарядами. К сожалению, скорее всего такой путешественник не сможет вернуться обратно в нашу Вселенную и рассказать о том, что же он видел «по ту сторону».

Метрика (5.28) аналитична всюду, за исключением поверхности на которой она по меньшей мере класса Можно ввести другие координаты

(кликните для просмотра скана)

где целое число, причем . В этих координатах метрика аналитичиа всюду, за исключением где она по меньшей мере класса Координаты - аналитические функции координат и всюду вне поверхностей Таким образом, многообразие может быть покрыто аналитическим атласом, состоящим из локальных координатных окрестностей, определяемых координатами при и координатами при . В этом атласе метрика аналитична.

В случае расширение осуществляется подобным же образом; в случае модель нерасширяема уже в исходных координатах. Диаграммы Пенроуза для этих двух случаев приведены на рис. 26.

Во всех этих случаях сингулярность времениподобиа. Это означает, что в отличие от решения Шварцшильда временипо-добные и изотропные кривые всегда могут избежать встречи с сингулярностью. Фактически это выглядит так, словно сингулярности отталкивают частицы: времениподобные геодезические не могут столкнуться с сингулярностью, хотя это может произойти с радиальными изотропными геодезическими и негеодезическкми времениподобными кривыми. Следовательно, эти пространства времениподобны (но не изотропны) и геодезически полны. Времениподобный характер сингулярности означает также, что в этих пространствах нет поверхностей Коши: для любой данной пространственноподобной поверхности можно найти времениподобную или изотропную кривую, которая достигает сингулярности, не пересекая эту поверхность. Например, в случае можно найти пространственноподобную поверхность , которая пересекает две асимптотически-плоские области (см. рис. 25). Она будет поверхностью Коши для этих двух областей и соседних областей но в соседних более поздних областях III существуют направленные в прошлое непродолжимые времениподобные и изотропные кривые, которые подходят к сингулярности, но не пересекают поверхность Поэтому можно сказать, что эта поверхность представляет собой горизонт Коши будущего для . Расширение решения за пределы не определяется данными Коши на Продолжение, которое мы произвели, является единственным локально нерасширяемым аналитическим продолжением, но существуют другие, неаналитические -продолжения, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна-Максвелла.

Наблюдатель О, чья мировая линия остается вне и продолжается до бесконечности будущего (см. рис. 25), наблюдал бы частицу Р, пересекающую поверхность с бесконечным красным смещением. В области II между поверхности пространственноподобны и

(кликните для просмотра скана)

следовательно, каждая точка рисунка изображает -сферу, которая является замкнутой ловушечной поверхностью. Наблюдатель Р, пересекающий поверхность обозрел бы всю историю одной из асимптотически плоских областей за конечное время. Объекты этой области поэтому были бы видны с бесконечным фиолетовым смещением по мере приближения к . Это дает основание думать, что поверхность возможно, неустойчива относительно малых возмущений начальных данных на пространственноподобной поверхности и что такие возмущения, вообще говоря, приведут к сингулярности на