2.9. Расслоенные пространства

Некоторые из геометрических свойств многообразия легче всего рассматривать, построив многообразие, называемое расслоенным пространством. Локально оно представляет собой прямое произведение и некоторого подходящего пространства. В этом разделе мы дадим определение расслоенного пространства и рассмотрим четыре примера, которые будуг полезны в дальнейшем: касательное расслоение тензорное расслоение расслоение линейных реперов и расслоение ортонормированных реперов

С-расслоение над О-многообразием есть -многообразие и сюръективное -отображение Многообразие называется пространством расслоения, — базой и — проекцией. Там, где это не приведет к путанице, мы будем обозначать расслоение просто через Вообще говоря, образ точки при обратном отображении не обязательно гомеоморфен для другой точки Простейший пример расслоения — прямое произведение в котором — некоторое многообразие, а проекция определяется как для всех Например, выбирая в качестве окружность и в качестве действительную прямую мы получим прямое произведение над — цилиндр

Расслоение называется расслоенным пространством, если оно локально является прямым произведением. Следовательно,

расслоение есть расслоенное пространство со слоем если существует такая окрестность каждой точки что окрестность изоморфна в том смысле, что для каждой точки найдется диффеоморфизм точки на такой, что отображение определяемое как есть диффеоморфизм Поскольку паракомпактно, мы можем выбрать локально конечное покрытие такими открытыми множествами Если и — два множества такого покрытия, отображение

есть диффеоморфизм на себя для каждого Поэтому образы точек все необходимо диффеоморфны (и, значит, друг другу). Например, лист Мёбиуса есть расслоенное пространство на со слоем нужны два открытых множества чтобы получить покрытие множествами вида Из этого примера видно, что многообразие, являющееся локально прямым произведением двух других многообразий, в общем случае тем не менее не будет прямым произведением многообразий. Именно по этой причине понятие расслоенного пространства столь полезно.

Касательное расслоение есть расслоенное пространство над (-многообразием, получающееся при наделении множества естественной для него структурой многообразия и естественной проекцией на Таким образом, проекция отображает каждую точку на Структура многообразия на определяется локальными координатами следующим образом. Пусть — локальные координаты на открытом множестве Тогда любой вектор можно представить в виде Координатами в будут

Если выбрано покрытие некоторыми координатными окрестностями соответствующие карты задают -атлас на при этом становится (-многообразием (-мерным). Чтобы убедиться в этом, нужно только заметить, что в любом пересечении координаты некоторой точки являются С-функциями координат той же точки, а компоненты некоторого векторного поля будут -функциями компонент того же поля. Тогда координаты будут в -функциями координат

Слой есть , следовательно, является векторны пространством размерности Структура векторного пространства

сохраняется при отображении которое определяется как отображает вектор в точке на его компоненты относительно координат Если другая система локальных координат, отображение есть линейное отображение на себя и, следовательно, оно является элементом общей линейной группы

Тензорное расслоение типа над обозначаемое через определяется подобным же образом. Строим множество задаем проекцию как отображение каждой точки на и для любой координатной окрестности вводим в локальные координаты как где — координаты точки — координатные компоненты Т (т. е. Этим мы превращаем в -многообразие размерности любая точка соответствует единственному тензору Т типа в точке .

Расслоение линейных реперов есть расслоенное -пространство, определяемое следующим образом. Полное пространство (У состоит из всех базисов во всех точках иначе говоря, из всех множеств систем линейно независимых нулевых вектором для каждого Проекцией является естественная проекция, отображающая базис в точке в саму эту точку. Пусть -локальные координаты на открытом множестве тогда

где есть компонента вектора в координатном базисе являются локальными координатами в Общая линейная группа действует на следующим образом: если — базис в , то отображает в

Если наделена метрикой с сигнатурой можно ввести подпространство расслоения — расслоение ортонормированных базисов которое состоит из ортонормированных (относительно ) базисов во всех точках На действует подгруппа группы Эта подгруппа состоит из несингулярных вещественных матриц удовлетворяющих условию

где матрица вида

Матрица отображает В случае лоренцевой метрики (т. е. ) группу называют -мерной группой Лоренца.

С-сечение расслоения есть С-отображение такое, что есть тождественное отображение на таким образом, сечение есть установление -соответствия между каждой точкой и некоторым элементом слоя Сечение касательного расслоения есть векторное поле на сечение есть тензорное поле типа на сечение есть набор ненулевых векторных полей которые линейно независимы в каждой точке; наконец, сечение есть набор ортонормированных векторных полей на

Поскольку нулевые векторы и тензоры задают сечения в и эти расслоенные пространства всегда допускают сечения. Если ориентируемо и некомпактно или компактно с характеристикой Эйлера, равной нулю, на нем будут везде существовать ненулевые векторные поля и, следовательно, везде ненулевые сечения Расслоения и могут как допускать, так и не допускать сечений; например, их допускает, — нет. Если допускает сечение, называется параллелизуемым. Герок показал [55], что некомпактное четырехмерное лоренцево многообразие допускает спинорную структуру в том и только в том случае, когда оно параллелизуемо.

В терминах расслоенного пространства можно дать изящное геометрическое описание связности на Ее можно рассматривать как правило параллельного переноса векторов вдоль любой кривой Таким образом, если есть базис в точке есть точка и в то параллельным переносом вдоль можно однозначно построить базис в любой другой точке кривой т. е. указать единственную точку в слое Следовательно, существует в единственная кривая называемая лифтом для которой

3) базис, изображаемый точкой в переносится параллельно вдоль кривой

В терминах локальных координат кривая записывается как при этом

Рассмотрим касательное пространство к расслоенному пространству в точке . Его координатным базисом является -мерное подпространство, натянутое на касательные векторы к лифтам всех кривых, проходящих через называется горизонтальным подпространством Ни пространства Через локальные координаты

так что координатным базисом в Ни является

Таким образом, связность в определяет горизонтальные подпространства в касательном пространстве каждой точки Обратно, в можно ввести связность, задав для этого в при каждой n-мерное подпространство со свойствами:

1) если то отображение переводит горизонтальное подпространство

2) Ни не содержит ненулевых векторов, принадлежащих вертикальному подпространству

По определению вертикальное подпространство есть -мерное подпространство в натянутое на векторы, касательные к кривым в слое в терминах локальных координат натянуто на векторы Свойство (2) означает, что есть прямая сумма

Проектирующее отображение индуцирует сюръективное линейное отображение такое, что а сужение на есть взаимно однозначное отображение На на Следовательно, есть линейное отображение на . Поэтому для любого вектора и точки существует такой единственный вектор называемый горизонтальным лифтом вектора X, для которого Пусть даны кривая и начальная точка и в тогда в можно построить единственную кривую проходящую через и, касательный вектор которой есть горизонтальный лифт касательного вектора кривой Таким образом, зная горизонтальные подпространства в каждой точке можно определить

параллельное перенесение базисов вдоль любой кривой Затем можно определить ковариантные производные вдоль кривой. для любого тензорного поля Т как обыкновенные производные по компонент Т относительно параллельно перенесенного базиса.

Если на введена метрика, ковариантная производная которой равна нулю, то ортонормированность параллельно переносимых реперов сохраняется. Следовательно, горизонтальные подпространства касательны к и задают связность в

Аналогично, через параллельный перепое векторов и тензоров связность на задает -мерные горизонтальные подпространства в касательных пространствах к расслоениям Координатными базисами этих горизонтальных подпространств являются соответственно

и

Как и в случае взаимно однозначно отображает эти горизонтальные подпространства в Таким образом, снова можно обратить так, чтобы для любого вектора получить единственный горизонтальный лифт . В частном случае единственному вектору соответствует сама точка и и, следовательно, в связностью внутренним образом определено горизонтальное векторное поле в локальных координатах

Это векторное поле можно интерпретировать следующим образом: его интегральная кривая, проходящая через есть горизонтальный лифт той геодезической в касательный вектор которой в есть X. Значит, векторное поле представляет все геодезические в В частности, семейство всех геодезических, проходящих через есть семейство интегральных кривых проходящих через слой ; кривые в имеют пересечения по крайней мере в а кривые в нигде не пересекаются.