2.2. Векторы и тензоры
Тензорные поля представляют собой множество геометрических объектов на многообразии, которые определяются естественным образом структурой многообразия. Тензорное поле эквивалентно заданию тензора в каждой точке многообразия. Поэтому в первую очередь мы определим тензоры в точке много рбразия. а начнем с основного понятия вектора в точке,
Кривая
класса
или, короче,
-кривая на
есть отображение класса
некоторого интервала вещественной прямой
Вектор (контравариантный вектор)
касательный к
-кривой k(t) в точке
есть оператор, который ставит в соответствие каждой
-функции
в
число
Иначе говоря,
есть производная
в направлении
по параметру
Сам параметр
вдоль кривой, очевидно, удовлетворяет соотношению
Пусть
локальные координаты в некоторой окрестности точки
тогда
(Здесь и повсюду в книге мы пользуемся правилом суммирования, согласно которому по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование по всем значениям этого индекса.) Таким образом, любой касательный вектор в точке
можно представить в виде линейной комбинации производных по координатам. Обратно, пусть дана линейная комбинация
где
— какие-то числа; рассмотрим кривую
определяемую уравнением
для
из некоторого интервала
тогда касательным вектором в этой кривой точке
является
Следовательно, касательные векторы в
образуют векторное пространство над
натянутое на координатные производные
структура векторного пространства задана соотношением
справедливым для всех векторов
чисел
и функций
Векторы
линейно независимы. (Допустим, что они зависимы, т. е. существуют числа
не все равные нулю, такие, что
тогда, применив это соотношение к каждой координате, мы получим равенство
т. е. противоречие.) Таким образом, пространство всех касательных к
в точке
векторов, обозначаемое
или просто
есть
-мерное векторное пространство. Это пространство, представляющее собой множество всех направлений в
называется
касательным к
векторным пространством в
Можно представлять себе вектор
в виде стрелки в
направленной вдоль кривой
т. е. вдоль касательного вектора V в точке
при этом «длина» V зависит от выбора параметра
вдолиз кривой и определяется соотношением
. [Жирным шрифтом отмечено, что V — оператор; его компоненты
результат действия V на функцию
являются числами и печатаются курсивом.]
Пусть
— какая-либо совокупность
линейно независимых векторов в точке
Тогда любой вектор
можно записать в виде
где числа
суть компоненты V относительно базиса
векторов в
. (В частности, в качестве
можно выбрать координатный базис
тогда компонентами
будут произвводные координат х в направлении V.)
Линейная форма (ковариантный вектор)
есть вещественная линейная функция на пространстве
Число, кооторое линейная форма о ставит в соответствие вектору X в тоочке
будем записывать в виде (со, X); тогда из линейности следует, что при всех
выполняется равенство
Подпространство в
определяемое при заданной линейной форме о уравнением
линейно. Поэтому линейную форму в точке
можно представлять себе как пару плоскостей в
таких, что вектор X лежит в одной плоскости, если
и касается концом другой, если
Пусть дан базис
векторов в
тогда можно построить такую единственную систему
из
линейных форм,
линейная форма
отображает любой вектор X в число
компоненту X относительно базиса
При этом, в часттности,
Определив линейные комбинации линейных форм равенством
для любых линейных форм
и произвольных
можно рассматривать
как базис для линнейных форм, ибо любую линейную форму можно записать в виде
где
Таким образом, множество всех линейных форм в точке
образует
-мерное векторное пространство
дуальное касательному пространству. Базис лишейных
и первому ковариантному индексам есть по определению тензор
типа
компоненты которого относительно тех же базисов равны
т. е.
Если
— другая пара базисов, то определяемая ею свертка равна
так что свертка тензора
не зависит от базиса, использованного при ее определении. Подобным же образом можно свертывать Т по любой паре контравариантных и ковариантных индексов. (Если бы мы свернули по двум контравариантным или по двум ковариантным индексам, то полученный тензор зависел бы от базиса.)
Симметричная часть тензора Т типа (2,0) есть тензор
при произвольных
Будем обозначать компоненты
этого тензора через
тогда
Аналогично, компоненты антисимметричной части Т будем обозначать через
Вообще для обозначения компонент симметричной или антисимметричной части тензора по данной совокупности ковариантных или контравариантных индексов мы будем заключать эти индексы в круглые или квадратные скобки. Так,
и
Например,
Тензор симметричен по данной совокупности контравариантных или ковариантных индексов, если он равен своей симметричной части по этим индексам, и антисимметричен, если он равен своей антисимметричной части. Так, например, тензор Т типа (0,2) симметричен, если
это свойство иначе можно выразить равенством
Особый интерес представляют тензоры типа
антисимметричные по всем
индексам (при этом необходимо
такой тензор называется
-формой. Если А и В соответственно
и
-формы, можно из них построить
-форму
где
означает антисимметризованное тензорное произведение
иначе говоря,
есть тензор типа
с компонентами
Из этого следует, что
Пространство внешних форм (т. е. пространство всех
-форм при всех
включая линейные формы в качестве
-форм и скаляры в качестве
-форм) вместе с операцией умножения образуют грассманову алгебру (внешних) форм. Пусть
— базис линейных форм; тогда формы
образуют базис.
-форм, поскольку любая
-форма А может быть представлена в виде
где
До сих пор мы рассматривали тензоры, определенные в некоторой фиксированной точке многообразия. Система локальных координат
на открытом множестве
задает базис векторов
и базис линейных форм (
-форм
а следовательно, и базис тензоров типа
в каждой точке
Такой базис тензоров называется координатным базисом. По определению мы имеем тензорное поле Т типа
класса
(тензорное
-поле) на множестве
если в каждой точке
множества Т задан элемент пространства
такой, что компоненты Т относительно любого координатного базиса, определенного на Т, являются функциями класса
Вообще говоря, в использовании координатного базиса тензоров нет необходимости: вовсе не обязательно, чтобы на Т для заданного базиса векторов
и дуального ему базиса линейных форм
нашлось такое открытое подмножество, в котором существовали бы локальные координаты
удовлетворяющие условию
Однако использование координатного базиса приводит к некоторым упрощениям, в частности,