2.2. Векторы и тензоры

Тензорные поля представляют собой множество геометрических объектов на многообразии, которые определяются естественным образом структурой многообразия. Тензорное поле эквивалентно заданию тензора в каждой точке многообразия. Поэтому в первую очередь мы определим тензоры в точке много рбразия. а начнем с основного понятия вектора в точке,

Кривая класса или, короче, -кривая на есть отображение класса некоторого интервала вещественной прямой Вектор (контравариантный вектор) касательный к -кривой k(t) в точке есть оператор, который ставит в соответствие каждой -функции в число Иначе говоря, есть производная в направлении по параметру

Сам параметр вдоль кривой, очевидно, удовлетворяет соотношению

Пусть локальные координаты в некоторой окрестности точки тогда

(Здесь и повсюду в книге мы пользуемся правилом суммирования, согласно которому по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование по всем значениям этого индекса.) Таким образом, любой касательный вектор в точке можно представить в виде линейной комбинации производных по координатам. Обратно, пусть дана линейная комбинация где — какие-то числа; рассмотрим кривую определяемую уравнением для из некоторого интервала тогда касательным вектором в этой кривой точке является Следовательно, касательные векторы в образуют векторное пространство над натянутое на координатные производные структура векторного пространства задана соотношением

справедливым для всех векторов чисел и функций Векторы линейно независимы. (Допустим, что они зависимы, т. е. существуют числа не все равные нулю, такие, что тогда, применив это соотношение к каждой координате, мы получим равенство

т. е. противоречие.) Таким образом, пространство всех касательных к в точке векторов, обозначаемое или просто есть -мерное векторное пространство. Это пространство, представляющее собой множество всех направлений в называется

касательным к векторным пространством в Можно представлять себе вектор в виде стрелки в направленной вдоль кривой т. е. вдоль касательного вектора V в точке при этом «длина» V зависит от выбора параметра вдолиз кривой и определяется соотношением . [Жирным шрифтом отмечено, что V — оператор; его компоненты результат действия V на функцию являются числами и печатаются курсивом.]

Пусть — какая-либо совокупность линейно независимых векторов в точке Тогда любой вектор можно записать в виде где числа суть компоненты V относительно базиса векторов в . (В частности, в качестве можно выбрать координатный базис тогда компонентами будут произвводные координат х в направлении V.)

Линейная форма (ковариантный вектор) есть вещественная линейная функция на пространстве Число, кооторое линейная форма о ставит в соответствие вектору X в тоочке будем записывать в виде (со, X); тогда из линейности следует, что при всех выполняется равенство

Подпространство в определяемое при заданной линейной форме о уравнением линейно. Поэтому линейную форму в точке можно представлять себе как пару плоскостей в таких, что вектор X лежит в одной плоскости, если и касается концом другой, если

Пусть дан базис векторов в тогда можно построить такую единственную систему из линейных форм, линейная форма отображает любой вектор X в число компоненту X относительно базиса При этом, в часттности, Определив линейные комбинации линейных форм равенством

для любых линейных форм и произвольных можно рассматривать как базис для линнейных форм, ибо любую линейную форму можно записать в виде где Таким образом, множество всех линейных форм в точке образует -мерное векторное пространство дуальное касательному пространству. Базис лишейных

форм есть базис, дуальный базису векторов Для любых число можно выразить через компоненты в дуальных базисах

Любая функция на определяет в линейную форму по правилу: для произвольного вектора X

называется дифференциалом Пусть — локальные координаты; совокупность дифференциалов в точке образует базис линейных форм, дуальный базису векторов поскольку

Дифференциал произвольной функции записывается в этом базисе в виде

Если поверхности являются -мерными многообразиями. Множество всех векторов X, для которых образует подпространство состоящее из всех векторов, которые касательны в точке к кривым, лежащим на поверхности Следовательно, можно рассматривать как нормаль к поверхности Если то также будет нормалью к этой поверхности.

Из пространства векторов в и пространства линейных форм в мы можем образовать прямое произведение

т. е. упорядоченное множество векторов и линейных форм где — произвольный вектор, — произвольная линейная форма.

Тензор типа в точке есть функция на П, линейная по каждому из аргументов. Пусть Т — тензор типа он ставит в соответствие элементу пространства число, которое запишем в виде

Тогда линейность означает, что

при любых

Пространство всех таких тензоров называется тензорным произведением

В частности,

Сложение тензоров типа определяется следующим образом: есть тензор типа в точке такой, что для произвольных

Аналогично определяется умножение тензора на скаляр а: есть тензор, такой, что для любых

В сочетании с этими правилами сложения и умножения тензорное произведение является векторным пространством размерности над

Пусть Тогда мы будем обозначать через такой элемент из который ставит в соответствие элементу из число

Аналогично, если будем обозначать через такой элемент пространства который ставит в соответствие элементу из число

Тензорные пространства в вместе с операцией умножения образуют алгебру над

Если — дуальные базисы соответственно в то

будет базисом в Произвольный тензор можно записать в этом базисе как

где — компоненты Т относительно дуальных базисов

Соотношения тензорной алгебры в можно написать для компонент тензоров:

Обычно мы будем представлять тензорные соотношения именно в такой записи ввиду ее удобства.

Если — другая пара дуальных базисов в их элементы можно записать в базисах в виде

где а — несингулярные матрицы Поскольку — дуальные базисы,

т. е. — взаимно-обратные матрицы и

Компонентами тензора Т относительно дуальных базисов являются

Они связаны с компонентами относительно базисов соотношением

Свертка тензора Т типа с компонентами относительно базисов по первому контравариантному

и первому ковариантному индексам есть по определению тензор типа компоненты которого относительно тех же базисов равны т. е.

Если — другая пара базисов, то определяемая ею свертка равна

так что свертка тензора не зависит от базиса, использованного при ее определении. Подобным же образом можно свертывать Т по любой паре контравариантных и ковариантных индексов. (Если бы мы свернули по двум контравариантным или по двум ковариантным индексам, то полученный тензор зависел бы от базиса.)

Симметричная часть тензора Т типа (2,0) есть тензор

при произвольных Будем обозначать компоненты этого тензора через тогда

Аналогично, компоненты антисимметричной части Т будем обозначать через

Вообще для обозначения компонент симметричной или антисимметричной части тензора по данной совокупности ковариантных или контравариантных индексов мы будем заключать эти индексы в круглые или квадратные скобки. Так,

и

Например,

Тензор симметричен по данной совокупности контравариантных или ковариантных индексов, если он равен своей симметричной части по этим индексам, и антисимметричен, если он равен своей антисимметричной части. Так, например, тензор Т типа (0,2) симметричен, если это свойство иначе можно выразить равенством

Особый интерес представляют тензоры типа антисимметричные по всем индексам (при этом необходимо такой тензор называется -формой. Если А и В соответственно и -формы, можно из них построить -форму где означает антисимметризованное тензорное произведение иначе говоря, есть тензор типа с компонентами

Из этого следует, что Пространство внешних форм (т. е. пространство всех -форм при всех включая линейные формы в качестве -форм и скаляры в качестве -форм) вместе с операцией умножения образуют грассманову алгебру (внешних) форм. Пусть — базис линейных форм; тогда формы образуют базис. -форм, поскольку любая -форма А может быть представлена в виде где

До сих пор мы рассматривали тензоры, определенные в некоторой фиксированной точке многообразия. Система локальных координат на открытом множестве задает базис векторов и базис линейных форм (-форм а следовательно, и базис тензоров типа в каждой точке Такой базис тензоров называется координатным базисом. По определению мы имеем тензорное поле Т типа класса (тензорное -поле) на множестве если в каждой точке множества Т задан элемент пространства такой, что компоненты Т относительно любого координатного базиса, определенного на Т, являются функциями класса

Вообще говоря, в использовании координатного базиса тензоров нет необходимости: вовсе не обязательно, чтобы на Т для заданного базиса векторов и дуального ему базиса линейных форм нашлось такое открытое подмножество, в котором существовали бы локальные координаты удовлетворяющие условию Однако использование координатного базиса приводит к некоторым упрощениям, в частности,

для любой функции выполняется соотношение эквивалентное равенству При переходе от координатного базиса к координатному базису в силу (2.2) и (2.3) имеем

Ясно, что базис общего вида можно получить из координатного базиса задав функции компоненты в базисе тогда (2.2) и (2.3) запишутся соответственно в виде причем матрица дуальна матрице